Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Aspects arithmétiques des groupes de Baumslag-Solitar résolubles

La propriété Dα mesure à quel point la croissance du diamètre d'une suite de graphes est proche d'être linéaire: pour 0 < α ≤ 1, une suite de graphe (Xk) connexes d-réguliers, d ≥ 2 possède la propriété Dα s'il existe une constante C > 0 telle que diam(Xk) ≥ C|Xk|α. Nous étudions cette propriétés pour les box spaces arithmétiques des groupes de Baumslag-Solitar résolubles BS(1,N), N ≥ 2: ces box spaces sont obtenus en plongeant BS(1,N) dans les matrices triangulaires supérieures de GL2(Z[1/N]) et en l'intersectant avec une famille MNk de sous-groupes de congruence de GL2(Z[1/N]), où les niveaux Nk sont premiers avec N, et tels que Nk | Nk+1 pour tout k ≥ 1. Nous démontrons que si un box space arithmétique a Dα, alors α ≤ 1/2, si la famille (Nk) de niveaux est supportée sur un nombre fini de premiers, le box space correspondant a D1/2, si la famille (Nk) de niveaux est supportée sur une famille de nombre premiers de densité primitive analytique positive, le box space correspondant n'a pas D1/2.