Séminaire Gaston Darboux :

Le 27 avril 2007 à 11:15 - salle 431

Présentée par Elmir Chady - Montpellier

Sur la systole des variétés de Bieberbach non orientables de dimension 3

La systole d'une vari\'et\'e riemannienne compacte (non simplemnt connexe) $(M^n,g)$ est la plus petite longueur d'une g\'eod\'esique ferm\'ee non homotope \' a un point. Un r\'esultat fondamental de M. Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute m\'etrique $g$ sur $M^n$, \begin{equation} \mathrm{vol}(g)\ge c(M)(\mathrm{sys}(g))^n \end{equation} Les surfaces compactes autres que $S2$ sont essentielles, et le th\'eor\' eme de Gromov est une g\'en\'eralisation profonde des m\^emes r\'esultats pour le tore $T2$ (C. Loewner),pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétes la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension sup\'erieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous int\'eressons aux vari\'et\'es de Bieberbach de dimension 3 c'est \'a dire aux vari\'et\'es compactes de dimension 3 qui portent une m\'etrique riemannienne plate et donnons des exemples o\`u les m\'etriques optimales ne sont pas plates.