Séminaire ACSIOM :

Le 20 novembre 2007 à 10:00 -

Présentée par Désidéri Jean-Antoine - INRIA Sophia Antipolis

Partage de territoire en optimisation multicritere.

On propose une méthodologie pour le traitement numérique d'un problème d'optimisation concourante dans lequel deux critères sont à considérer, l'un, $J_A$, étant plus critique que le second $J_B$ (cas d'une "discipline fragile"). A convergence de la minimisation paramétrique, éventuellement sous contraintes, de la seule fonctionnelle principale, $J_A$, des approximations du gradient et de la matrice hessienne, ainsi que des $K$ gradients de contraintes sont par hypothèse disponibles ou calculées en utilisant des métamodèles. Alors, on partage l'espace paramétrique entier (un sous-ensemble de $\RR^{n+1}$) en deux sous-espaces supplémentaires sur la base d'un critère lié à la seconde variation. La construction est telle qu'à partir du point initial de convergence de la minimisation de la fonctionnelle principale en dimension complète, des perturbations infinitésimales des paramètres dans le second sous-espace, dont la dimension $p \leq n+1-K$ est spécifiée, causent potentiellement la moindre dégradation de la valeur de la fonctionnelle principale. Ce sous-espace est choisi comme support de la stratégie de paramétrisation de la seconde fonctionnelle, $J_B$, dans une optimisation concourante mise en oeuvre par un algorithme simulant un jeu de Nash entre des joueurs associés aux deux fonctionnelles respectivement. On demontre que ce choix est optimal dans un sens qui sera précisé. On prouve un deuxième résultat selon lequel le point optimum original du problème principal en dimension complète est Pareto-optimal vis-à-vis d'un problème trivial d'optimisation concourante. Ce dernier résultat nous permet de définir un continuum de points d'équilibre de Nash ayant pour origine le point optimum initial, donnant ainsi au concepteur la possibilité de choisir un point opérationnel. Tertio, on démontre que l'optimum initial mono-critère est robuste. Un exercice difficile d'optimisation aero-structurale est traite avec succes par cette methode. Dans cet exemple, d'autres partages des parametres initiaux ont ete testes, et se sont reveles moins performants, ou meme catastrophiques pour certains. Enfin on note que la hiérarchie introduite entre les critères s'applique au partage des paramètres en préparation d'un jeu de Nash. Le biais est donc par nature différent de celui qu'introduirait un jeu de type Stackelberg.