Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier :

Le 20 octobre 2008 à 14:30 - salle 431

Présentée par Mahé Valéry - Université Montpellier 2

Courbes hyperelliptiques et dix-septième problème de Hilbert.

Le dix-septième problème de Hilbert consiste en l'étude de la représentabilité des polynômes positifs comme somme de carrés de fractions rationnelles. Historiquement, ce problème est à l'origine de l'étude des corps réels et de l'introduction de la notion de formes de Pfister. Etudiant une variante quantitative de son dix-septième problème, Hilbert prouve que tout élément positif de R(x, y) est somme de quatre carrés dans R(x, y). Par analogie avec le théorème des trois carres pour Q, il est alors naturel de demander une caractérisation effective des sommes de trois carrés dans R(x,y). Cette question n'a malheureusement pas encore été résolue. Cependant, en 1971, Cassels, Ellison et Pfister prouvent que le polynôme de Motzkin est positif mais n'est pas somme de trois carrés. Dans cet exposé j'expliquerai comment l'étude de la jacobienne de certaines courbes hyperelliptiques sur R(x) permet de généraliser la méthode de Cassels, Ellison et Pfister afin de construire de nombreux polynômes en deux variables, positifs qui ne sont pas somme de trois carrés dans R(x,y).