Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 22 octobre 2009 à 11:15 - salle 431

Présentée par Ressayre Nicolas - Université Montpellier II

Une description des cones de valeurs propres sans cohomologie en type A, B et C.

Le cône de Horn $H_n$ est un cône convexe polyédral dans ${\mathbb R}^{3n}$ dont la description est équivalente à la question suivante : Que peut-on dire du spectre de la somme $A+B$ de deux matrices hermitiennes $n\times n$ $A$ et $B$ en fonction du spectres de $A$ et de $B$ ? En combinant des travaux de Klyachko(98) et Knutson-Tao(2000), on obtient une preuve de la conjecture de Horn qui décrit de manière élémentaire et inductive une famille d'inégalités caractérisant $H_n$. Cette liste d'inégalités est redondante : la description (due à Belkale (2000) et Knutson-Tao-Woodward (2004)) de la liste minimale d'inégalités requiert l'introduction de la cohomologie des Grassmanniennes. Nous donnerons ici une description qui se veut "à la Horn" de cette liste minimale d'inégalités. Le cône $H_n$ a une interprétation naturelle en termes du groupe ${\rm SU}_n({\mathbb C})$. Nous expliquerons comment les cônes correspondant pour les groupes de type $B$ et $C$ peuvent être décrit de manière élémentaire (sans utiliser de cohomologie) La preuve de se résultat révèle des relations intimes entre les anneaux de cohomologie des grassmanniennes isotropes et symplectiques d'un coté et ordinaire de l'autre.