Colloquium de Mathématiques :

Le 11 mars 2010 à 15:00 - Salle 331 - Bâtiment 9

Présentée par Burq Nicolas - Université Paris-Sud

Equations aux derivees partielles et series aleatoires.

(Collaboration avec N. Tzvetkov et L. Thomann) Le point de départ de cet exposé est un théorème de Paley et Zygmun qui dit que pour toute série trigonométrique $l^2$ sur le tore $T^1$, même si on sait qu’en général la fonction somme (qui est trivialement dans $L^2(T)$) n’est dans aucun espace $L^p(T)$ ($2$ < $p$), si on change aléatoirement et indépendamment les signes des coefficients de la série, alors presque sûrement la fonction somme est dans tous les espaces $L^p(T)$ ($2$ < $p$ < $\infty$). Ce thème des séries trigonométriques aléatoires a par la suite été l’objet de nombreux travaux d’un point de vue analyse harmonique (Kahane, Pisier,...), mais curieusement, ce phénomène n’avait pas été exploré du point de vue "équations aux dérivées partielles". L’objet de cet exposé est précisement de montrer comprendre comment on peut exploiter ce type de phénomènes du point de vue E.D.P., et plus généralement comment le fait de considérer des données initiales "au hasard" permet d’obtenir de meilleurs résultats pour les solutions d’équations aux dérivées partielles que ceux donnés par la théorie déterministe (où on se place toujours dans un scénario du type "le pire possible").