Séminaire de Probabilités et Statistique :

Le 10 mai 2010 à 15:00 - UM2, salle 431, bât. 9

Présentée par Ciuperca Gabriela - Université Claude Bernard Lyon 1

Inférence statistique dans un modèle de rupture

L'identification des possibles changements à des moments inconnus et l'estimation de la localisation de ces changements dans un processus stochastique est appelé « problème de change-point ou de rupture ». Ce problème a été introduit dans le contrôle de qualité mais les applications sont très nombreuses. Les difficultés théoriques surviennent du fait que le modèle peut ne pas être identifiable et en plus, pour l'estimer, la fonction d'optimisation est non-régulière aux points de rupture considérés comme paramètres. La plupart des modèles de rupture considérés auparavant par d'autres auteurs n'ont qu'un seul point de rupture et surtout, dans chaque phase, le modèle est linéaire, ce qui facilite beaucoup les démonstrations. Pour des modèles paramétriques non-linéaires, avec des observations indépendantes, on considère comme méthode d'estimation le maximum de vraisemblance et ensuite on généralise les résultats pour les M-estimateurs. Si les erreurs du modèle suivent une loi qui peut avoir des outliers, la méthode des moindres carrés ou du maximum de vraisemblance donnent des estimateurs avec une large variance. Dans ce cas, on propose d'abord de minimiser la somme des valeurs absolues des erreurs et ensuite d'améliorer les résultats par pénalisation. Pour toutes ces méthodes, des critères consistants de choix du nombre de ruptures sont proposés et étudiés. La consistance, la vitesse de convergence et la loi asymptotique des estimateurs des points de rupture et des paramètres de régression sont également étudiées. Si les erreurs et les régresseurs sont Gaussiens à longue mémoire dans un modèle linéaire avec un seul point de rupture, les paramètres sont estimés en utilisant la S-méthode. On montre que dans ce cas la longue mémoire modifie la vitesse de convergence des estimateurs. Elle est plus lente. Des simulations numériques sont réalisées pour illustrer les résultats théoriques obtenus. Un exemple concret est également présenté.