Séminaire Gaston Darboux :

Le 24 septembre 2010 à 11:15 - salle 431

Présentée par Arnaud Marie-Claude - Université d'Avignon

Un théorème de Birkhoff multidimensionnel pour les hamiltoniens de Tonelli.

L'introduction des dynamiques conservatives qui dévient la verticales est due à H. Poincaré; au début du 20e siècle, lors de l'étude du système Lune-Terre-Soleil et après un certain nombre de réductions, il se trouva amené à une de ces dynamiques définie sur l'anneau 2-dimensionnel. L'étude systématique de ces dynamiques 2-dimensionnelles fut alors entreprise par Birkhoff, dont un célèbre résultat s'énonce ainsi: "toute courbe non homotope à un point qui est invariante par une telle dynamique est un graphe." Depuis une vingtaine d'année, plusieurs auteurs (Herman, Bialy, Polterovich) ont donné des versions de ce résultat en dimension plus grande; mais chacune de ces extensions demandait une hypothèse sur la dynamique restreinte à la variété (qui remplace la courbe) invariante. Nous montrons que dans le cadre des hamiltoniens convexes, cette hypothèse n'est pas nécessaire. Ceci sera l'occasion d'introduire brièvement et d'utiliser la récente théorie KAM faible élaborée par Albert Fathi à la fin des années 90. On expliquera aussi pourquoi l'hypothèse convexe est nécessaire.