Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 18 novembre 2010 à 11:15 - salle 431

Présentée par Dongho Joseph - Université d'Angers

Sur la cohomologie de Poisson logarithmique.

Dans l'optique de comprendre le processus gouvernant le passage d'une particule d'un système classique représenté par une variété de Poisson, vers un système quantique représenté par un espace de Hilbert, la physique mathématique développa la théorie de la quantification. Cette dernière a eu deux développements essentiels en mathématiques : 1. la quantification par déformation ; 2. la quantification géométrique. Depuis la démonstration par M. Kontsevitch du théorème de formalité, la théorie de quantification par déformation a connu des progrès considérables, avec de multiples applications. La seconde théorie n'a quant à elle pas beaucoup évolué depuis les derniers travaux de I. Vaisman (1991), étendant ceux de B. Kostant, Soureau et Kirillov à une variété de Poisson. Nos travaux s'inscrivent dans cette seconde théorie. Plus précisément, nous nous intéressons à des classes particulières de structures de Poisson possédant des singularités le long d'un diviseur de Saito. Nous montrons que de telles structures de Poisson induisent une structure de Lie-Rinehart sur le module des différentielles de Kahler logarithmiques. Grâce à cette dernière, nous construisons un co-complexe duquel on déduit une cohomologie appelée Cohomologie de Poisson Logarithmique. On montre que cette dernière mesure les obstructions à la préquantification de ces types de structures de Poisson. Dans notre exposé, nous nous concentrerons sur la construction de cet outil cohomologique.