Séminaire des Doctorant·e·s :

Le 21 mars 2012 à 17h15 - Salle 431

Présentée par Sebbah Matthieu - UM2

Stabilité des solutions d'inégalités variationnelles et prox-régularité.

Dans cet exposé, nous étudions une inégalité variationnelle modélisant plusieurs problèmes mathématiques comme des problèmes de minimisation sous contrainte, ou encore, d'équilibre de Nash en théorie des jeux. Cette inégalité impliquant un cône normal à un ensemble paramétré pénalisé par une fonction elle aussi paramétrée, nous nous intéressons naturellement à la question de stabilité des solutions, à savoir, étant donné un paramètre pour lequel l'inégalité a une solution, le problème admet-il toujours une solution au voisinage de ce paramètre ? Et si oui, comment évolue la solution en fonction du paramètre (continuité, différentiabilité, etc.) ? Les résultats présentés sont la généralisation dans le cadre Hilbertien des résultats de dimension finie obtenus par Robinson grâce au concept de fonction normale localisée. Notre étude s'effectuera en trois parties. Nous rappellerons brièvement la méthode pour résoudre ce type de problème dans le cadre convexe en introduisant le concept de fonction normale. Puis nous verrons comment généraliser cette méthode sous certaines "bonnes hypothèses" en localisant cette fonction normale. Et nous terminerons en exhibant une classe d'ensembles paramétrés vérifiant ces "bonnes hypothèses", appelés ensembles prox-réguliers avec paramétrisation compatible.