Soutenances de thèses :

Le 05 juillet 2013 à 14 - S.C. 10.01

Présentée par Blanc Anthony - I3M

Invariants topologiques des espaces non-­commutatifs

Jury
M. Bertrand TOëN Université Montpellier 2 Directeur de thèse
M. Denis-­Charles CISINSKI IMT, Toulouse Rapporteur
M. Boris TSYGAN Northwestern University Rapporteur
M. Carlos SIMPSON Université de Nice-­Sophia-­Antipolis Examinateur
M. Bernhard KELLER Université Paris Diderot -­ Paris 7 Examinateur
M. Michel VAQUIé IMT, Toulouse Examinateur

Résumé
Dans cette thèse, on donne une définition de la K-­théorie topologique des espaces non-­ commutatifs de Kontsevich (c'est-­à-­dire des dg-­catégories) définis sur les nombres complexes. L'introduction de ce nouvel invariant initie la recherche des invariants de nature topologique des espaces non-­commutatifs, comme "simplifications" des invariants algébriques (K-­théorie algébrique, homologie cyclique, périodique comme étudiés dans les travaux de Tsygan, Keller). La motivation principale vient de la théorie de Hodge non-­commutative au sens de Katzarkov-­-­ Kontsevich-­-­Pantev. En géométrie algébrique, la partie rationelle de la structure de Hodge est donnée par la cohomologie de Betti rationnelle, qui est la cohomologie rationnelle de l'espace des points complexes du schéma. La recherche d'un espace associé à une dg-­catégorie trouve une première réponse avec le champ (défini par Toën-­-­Vaquié) classifiant les dg-­modules parfaits sur cette dg-­catégorie. La définition de la K-­théorie topologique a pour ingrédient essentiel le foncteur de réalisation topologique des préfaisceaux en spectres sur le site des schémas de type fini sur les complexes. La partie connective de la K-­théorie semi-­topologique peut être définie comme la réalisation topologique du champ en monoïdes commutatifs des dg-­ modules parfaits. Cependant pour atteindre la K-­théorie négative, on réalise le préfaisceau donné par la K-­théorie algébrique non-­connective. Un de nos résultats principaux énonce l'existence d'une équivalence naturelle entre ces deux définitions dans le cas connectif. On montre que la réalisation topologique du préfaisceau de K-­théorie algébrique connective pour la dg-­catégorie unité donne le spectre de K-­théorie topologique usuel. Puis que c'est aussi vrai pour la K-­théorie algébrique non-­connective, en utilisant la propriété de restriction aux lisses de la réalisation topologique. En outre, cette propriété de restriction aux schémas lisses nécessite de montrer une généralisation de la descente propre cohomologique de Deligne, dans le cadre homotopique non-­abélien. La K-­théorie topologique est alors définie en localisant par rapport à l'élément de Bott. Cette définition repose donc sur des résultats non-­triviaux. On montre alors que le caractère de Chern de la K-­théorie algébrique vers l'homologie périodique se factorise par la K-­théorie topologique, donnant un candidat naturel pour la partie rationnelle d'une structure de Hodge non-­commutative sur l'homologie périodique, ceci étant énoncé sous la forme de la conjecture du réseau. Notre premier résultat de comparaison concerne le cas d'un schéma lisse de type fini sur les complexes -­-­ la conjecture du réseau est alors vraie pour de tels schémas. On montre ensuite que cette conjecture est vraie dans le cas des algèbres associatives de dimension finie.