Colloquium de Mathématiques :

Le 10 octobre 2013 à 15:00 - Salle TD 30 - RdC Bâtiment 9

Présentée par Biane Philippe - Université de Marne-la-Vallée

Le mystère des triangles Gog et Magog

les triangles Gog et Magog (ainsi nommés par Zeilberger) sont formés d'entiers positifs satisfaisant certaines inégalités, par exemple 1-2-3-4 -1-2-4- --1-3-- ---2--- ou 1-1-3-3 -1-1-3- --1-2-- ---1--- Je donnerai la définition précise. Ils apparaissent dans de nombreuses questions d'algèbre et de combinatoire: le lambda-déterminant et les matrices à signes alternants, l'ordre de Bruhat sur le groupe symétrique, les partitions planes, les pavages par dimères, ou des modéles de physique statistique, notamment le modèle à six sommets, le modèle des boucles compactes, ou encore le modèle O(1). Le mystère du titre est le fait que ces deux sortes de triangles, dont les définitions sont totalement élémentaires, sont comptés par les mêmes nombres suivant la taille, (la suite 1,2,7,42,429,... (A005130 =Robbins numbers dans Sloane Encyclopedia of Integer Sequences). En fait beaucoup plus de coincidences énumératives sont connues, ce qui suggère l'existence d'une structure commune sous-jacente, toutefois on ne connait aucune bijection explicite entre ces deux types de triangles, et la recherche d'une telle bijection est un problème majeur en combinatoire énumérative actuelle. La plus grande partie de l'exposé sera très élémentaire. Vers la fin j'esquisserai une approche récente du problème de la bijection qui a donné le premier résultat non trivial dans cette direction.