Séminaire Gaston Darboux :

Le 04 octobre 2013 à 11:15 - salle 431

Présentée par Fradelizi Matthieu - Université Paris-Est Marne-la-Vallée

Un théorème de Busemann pour les mesures convexes, systèmes d'ombres et applications au produit volumique des ensembles convexes

Le théorème de Busemann classique établit une forme de concavité du volume des sections centrales d'un corps convexe symétrique de $\mathbb{R}^n$. Par polarité, ce résultat est équivalent à un théorème de Campi-Gronchi sur la concavité du volume du polaire d'un système d'ombre associé à un corps convexe symétrique de $\mathbb{R}^{n+1}$. Appliquée à la symétrisation de Steiner, cette propriété de concavité permet de démontrer l'inégalité de Blaschke-Santalo sur le produit volumique des convexes et des cas particuliers de la conjecture de Mahler. Nous présenterons ces résultats et leur généralisation récente aux mesures convexes, c'est à dire les mesures absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et dont la densité à une bonne propriété de concavité, comme par exemple la mesure de Lebesgue, les mesures gaussiennes ou les mesures de Cauchy.