Séminaire de Recherche en Didactique et Epistémologie des Mathématiques :

Le 23 octobre 2014 à 17h15 - Campus Triolet - Bâtiment 9

Présentée par VIVIER Laurent - Université Paris Diderot

Le corps Q et l'égalité 0,999...=1

Résumé : L'objectif de cette présentation est de traiter d'un n?ud des mathématiques sur les nombres réels et rationnels dont l'emblème est le cas de l'égalité entre 0,999? et 1. J'insisterai sur le rôle des opérations arithmétiques de base, et plus particulièrement sur la somme et la différence, dans la constitution en tant que nombres des écritures décimales illimitées périodiques. La comparaison entre 0,999... et 1 est un thème qui est depuis longtemps étudié en didactique des mathématiques. Je donnerai en première partie des éléments issus de la recherche en didactique des mathématiques tout en apportant un éclairage historique. Je présenterai également quelques preuves de cette égalité, toujours contextualisé dans un ensemble qui est supposé déjà constitué, avec des propriétés de type algébrique ou topologique selon les cas qui, implicitement, nous plongent dans le paradigme de l'analyse standard. La deuxième partie, plus mathématique, exposera rapidement une construction du corps Q à partir des écritures décimales en proposant des algorithmes pour les opérations usuelles sur ces objets (des compléments historiques seront également donnés). Le point clé est de concevoir la période comme un objet à part entière, objet que nous avons appelé "mot circulaire". Ce point de vue mathématique sur les écritures décimales offre des opportunités pour de nouvelles recherches en didactique des mathématiques. C'est l'objet de la troisième partie qui se propose d'exposer des recherches effectuées en didactique ainsi que des perspectives de recherche.