Séminaire Gaston Darboux :

Le 23 janvier 2015 à 11:15 - salle 431

Présentée par Potyagailo Leonid - Université de Lille

Actions similaires d'un groupe relativement hyperbolique.

La question generale à laquelle on s'interesse est de comparer des actions "géométriques" d'un groupe G. Action "géométrique" va d'abord signifier d'agir par homeomorphismes et de façon convergeante, i.e de façon discontinue sur l'ensemble des triplets distincts (on appelle une telle action 3-discontinue). Notons que toutes les actions du groupe fondamental d'une "bonne" variété (e.g. à courbure négative) sur son revêtement universel et son bord sont comme ceci. On dit que deux actions non-triviales 3-discontinues d'un groupe G sur les compacta X et Y possèdent un "pullback" Z si G agit sur un troixieme compact Z de façon 3-discontinue et il existe deux applications equivariantes f:Z\to X et f:Z\to Y. Il se trouve qu'un contre-exemple a cette question meme si G est de type fini provient d'un contre-exemple recent de Baker-Riley sur à la conjecture de Cannon-Thurston pour les groupes hyperboliques. Nous modifions la question ci dessus en supposant en plus que les actions sur X et Y sont 2-cocompactes, i.e. le quotient de l'ensemble des paires distinctes de chaque compact par G est compact. La dérniere condition est équivalente à la hyperbolicité rélative du groupe. Nous donnons un critère lorsque deux actions 2-cocompactes et 3-discontinues sur X et Y possedent un pullback. Nous fournissons un exemple lorsque deux telles actions du groupe libre de rank dénombrable ne possedent pas de pullback (notons que si G est type fini un tel contre-exemple est impossible). L'un des corollaires de notre théorème est que si deux actions 2-cocompactes et 3-discontinues d'un groupe admettent les mêmes systèmes des sous-groupes maximaux paraboliques alors les actions sont conjugués par un homéomorphisme. Ceci fournit une similitude plus forte entre deux actions d'un groupe.