Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 22 janvier 2004 à 11:00 - salle 431

Présentée par Alev Jacques - Université de Reims

Le corps enveloppant d'une algèbre de Lie

Soit $g$ une algèbre de Lie sur un corps $k$, $U(g)$ l'algèbre enveloppante, $K(g)$ le corps enveloppant et $C(g)$ le centre de $K(g)$. Soit par ailleurs $A_n(k)$ l'algèbre de Weyl, anneau des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux, et $D_n(k)$ le corps des fractions de $A_n(k)$. L'hypothèse fondamentale de Gelfand et Kirillov stipule que si $g$ est algébrique de dimension finie sur $k$ de caractéristique $0$, $K(g)$ est isomorphe à $D_n(k(T_1,…,T_s))$ pour $n$ et $s$ convenables. Il s'agit d'un résultat de rationalité commutative en ce qui concerne $C(g)$ et de rationnalité non commutative en ce qui concerne $K(g)$. Lors de cet exposé, nous allons présenter le développement historique de cette conjecture et insisterons sur les résultats analogues récents dans les situations suivantes : quantique, dimension infinie, caractéristique $p>0$.