Séminaire Gaston Darboux :

Le 10 juin 2016 à 11:15 - salle 430

Présentée par Dufour Jean Paul - Université de Montpellier II

La conjecture de Gronwall pour les 3-tissus du plan.

Un 3-tissu plan est un triplet de feuilletages de codimension 1 du plan en position générale. Comme cas particuliers, on a les 3-tissus linéaires (resp. parallèle) dont les feuilles des trois feuilletages sont des segments de droite (resp. dont chaque feuilletage est formé de segments de droite parallèles). On dit que deux 3-tissus du plan sont (localement) isomorphes s'il existe un difféomorphisme (local) qui envoie les feuilles des feuilletages du premier sur des feuilles des feuilletages du second. On dit qu'un 3-tissu est linéarisable (resp. plat) s'il est isomorphe à un 3-tissu linéaire (resp. parallèle). Pour des raisons historiques, que j'expliquerai, on s'est intéressé dès le XIX-ième siècle à la détermination des 3-tissus linéarisables. En 1912 T.-H. Gronwall publia un article où il donnait des résultats généraux concernant les 3-tissus linéaires et prouvait que ceux obtenus par dualité projective à partir de courbes algébriques de degré 3 étaient plats. Ceci montrait en particulier qu'un tissu plat (évidemment linéarisable) avait une infinité de linéarisations différentes à homographie près. A contrario, dans son introduction, il annonçait que dans un futur travail il montrerait qu'un 3-tissu non plat ne peut avoir qu'une linéarisation à homographie près. Malgré de multiples tentatives ce résultat n'a jamais été prouvé. Actuellement c'est ce que l'on appelle la Conjecture de Gronwall. Dans cet exposé je vais donner les résultats les plus récents concernant cette conjecture : la finitude des linéarisations de tissus non-plats, sous quelles hypothèses supplémentaires on a démontré la conjecture et je donnerai une piste pour la prouver via Maple.