Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier :

Le 30 janvier 2006 à 15:00 - salle 431

Présentée par Bugeaud Yann - Université Louis Pasteur Strasbourg I

« Equations diophantiennes exponentielles »

Apr\`es un rapide survol des r\'esultats obtenus par Thue, Siegel et Mahler, nous expliquons comment la th\'eorie des formes lin\'eaires de logarithmes, d\'evelopp\'ee par Alan Baker, s'applique aux \'equations diophantiennes et permet de calculer des bornes explicites pour la taille des solutions de certaines familles d'\'equations. Ces bornes sont helas! trop \'elev\'ees pour esp\'erer une r\'esolution compl\`ete par simple \'enum\'eration. N\'eanmoins, de tr\`es importants progr\`es ont \'et\'e accomplis depuis une dizaine d'ann\'ees et, en combinant des m\'ethodes vari\'ees, il est d\'esormais possible d'achever la r\'esolution de certaines \'equations. Par exemple, en collaboration avec Mignotte et Siksek, nous avons d\'emontr\'e que 1, 8 et 144 sont les seules puissances parfaites dans la suite de Fibonacci.