Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 28 février 2019 à 11:30 - salle 430

Présentée par Gerber Thomas - Aix-la-Chapelle

Polynômes de Kostka-Foulkes et charge en type C

Soit g une algèbre de Lie complexe semi-simple. Il a été prouvé par Lusztig que les multiplicités des poids pour g peuvent être déformées en des polynômes à coefficients non-negatifs. Ces polynômes coïncident avec les polynômes de Kostka-Foulkes dans la théorie des fonctions symétriques, et ont de nombreuses interprétations en théorie des représentations. En type A, c'est-à-dire pour g=sl_n, Lascoux et Schützenberger ont défini une statistique sur les tableaux de Young semi-standards appelée charge, qui permet de calculer les polynômes de Kostka-Foulkes et de déduire la non-négativité de leur coefficients de manière combinatoire. En type C, c'est-à-dire pour g=sp_2n, Lecouvey a défini une statistique similaire sur les tableaux de Kashiwara-Nakashima (qui jouent le rôle des tableaux semi-standards dans ce cas), et conjecturé qu'elle permet de calculer les polynômes de Kostka-Foulkes de manière analogue à la charge de Lascoux et Schützenberger. Récemment, cette conjecture a été prouvée pour le poids nul et les tableaux comportant une seule colonne. Dans cet exposé, je présenterai de nouvelles avancées ainsi que quelques idées pour traiter le cas général. Il s'agit d'un travail en cours avec Jacinta Torres.