Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 30 septembre 2021 à 10:00 - salle 430

Présentée par Brochier Adrien - Paris 7

Vers une quantification de la correspondance de Riemann-Hilbert pour les surfaces.

Étant donné un groupe réductif complexe G Alekseev--Kosmann-Schwarzbach--Malkin--Meinrenken ont introduit des notions de variété G-(quasi-)Poisson et d'applications moment à valeur dans G, ainsi que certaines opérations sur ces structures (réduction Hamiltonienne et fusion). Ce formalisme fournit une construction combinatoire de la structure de Poisson d'Atiyah-Bott et Goldman sur les variétés des caractères des surfaces. Les opérations de fusion et de réduction Hamiltonienne correspondent respectivement au recollement de deux surfaces le long d'un intervalle sur leur bords, et au recollement d'un disque sur le bord d'une surface. Ces auteurs introduisent également une opération d'exponentation, qui transforme une variété de Poisson équipée d'une application moment au sens usuel (à valeur dans le dual de l'algèbre de Lie de G) en une variété quasi-Poisson avec une application moment à valeur dans G. Cette construction permet de prouver une sorte de version combinatoire de la correspondance de RIemann-Hilbert, un isomorphisme de Poisson formel entre la variété des caractères d'une surface, et la variété des connexions plates sur cette surface.

Toutes ces constructions ont des analogues en remplaçant les variétés par des champs, en utilisant le langage des structures de Poisson décalées au sens de Calaque-Pantev-Toën-Vaquie-Vezzossi. Le but de cet exposé sera de présenter un travail en cours visant à quantifier cette opération d'exponentiation ainsi que sa compatibilité avec les opérations de fusion et de réduction Hamiltonienne en utilisant la théorie des associateurs de Drinfeld et l'homologie de factorisation. Dans le cas du tore on obtient une généralisation du théorème de Kohno-Drinfeld, prouvant en particulier l'équivalence entre les représentations du groupe de tresses du tore obtenue par Calaque-Enriquez-Etingof via la monodromie d'une généralisation des équations KZ, et celles, explicites, provenant de certaines algèbres quantiques. En principe, ce formalisme devrait aussi donner une construction combinatoire de versions en genre supérieure des associateurs, ainsi qu'une nouvelle preuve d'un résultat récent de Campos-Idrissi-Willwacher sur l'homotopie rationnelle des espaces de configuration.