Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 05 janvier 2023 à 10:00 - salle 430

Présentée par Pippi Massimo -

La conjecture de Deligne-Milnor unipotente

Soit (C^n,0)->(C,0) un germe d'une fonction holomorphe avec une singularité isolée. La formule de Milnor calcule la différence des caractéristiques d'Euler de la fibre singulière et de la fibre générique en termes du nombre de Milnor, i.e. de la dimension (complexe) de l'algèbre Jacobienne.  Soit S un trait hensélien de caractéristique résiduelle p et soit X un S-schéma plat, séparé, de type fini et régulier. On suppose que le morphisme structurel n'a qu'une singularité isolée. La formule de Deligne-Milnor, conjecturée par P. Deligne, généralise la formule de Milnor au cas de caractéristique positive ou mixte. Elle calcule la différence des caractéristiques d'Euler (l-adiques, pour l un nombre premier différent de p) des fibres géométriques de X/S en termes d'un nombre de nature algébrique (qui s'appelle aussi nombre de Milnor) et d'un nombre de nature arithmétique (le conducteur de Swan de la cohomologie de la fibre générique géométrique). Le cas où S est d'équi-caractéristique positive a été démontré par P. Deligne (ainsi que le cas de dimension relative de X/S nulle et le cas des singularités quadratiques ordinaires). En caractéristique mixte, la conjecture est ouverte en dehors des cas précédents et du cas de dimension relative de X/S égal à 1, obtenu par des théorèmes de S. Bloch et de F. Orgogozo. Dans cet exposé, en suivant des idées de B. Toën et G. Vezzosi, on discutera comment démontrer la formule de Deligne-Milnor sous l'hypothèse additionelle d'action unipotente du groupe d'inertie sur la cohomologie de la fibre générique géométrique en utilisant la géométrie non commutative et la géométrie dérivée. Cela nous donne des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique mixte. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec D. Beraldo: arXiv:2211.11717.