Soutenances de thèses :

Le 25 octobre 2024 à 14h30 - SC 25.01 campus Triolet

Présentée par Moulard Victor - IMAG, Université de Montpellier

Invariants secondaires L2 et indice relatif

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la généralisation de la suite exacte maximale de Higson-Roe à six termes au cas d'un groupoïde étale $G$, en étudiant particulièrement le cas du groupoïde de transformation $X\rtimes\Gamma$ associé à une action topologique d'un groupe discret dénombrable $\Gamma$ sur un espace compact $X$.
Rappelons que la conjecture de Baum-Connes stipule qu'un morphisme d'assemblage universel associé à un groupe $\Gamma$ est un isomorphisme, et l'idée de Higson et Roe était de construire une suite exacte maximale universelle à six termes contenant la flèche d'assemblage maximale de Baum-Connes. Le morphisme de Baum-Connes est également bien défini pour $G$ et la flèche réduite a également été conjecturée comme étant un isomorphisme.
Dans la première partie de cette thèse, nous construisons une algèbre de Roe duale maximale appropriée et un idéal de Roe maximal à l'aide d'une généralisation du module de Connes-Skandalis. Nous prouvons que les morphismes de Paschke-Higson sont compatibles avec les flèches de Baum-Connes maximales, et nous obtenons la suite exacte à six termes maximale voulue.
Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous restreignons au groupoïde de transformation $X\rtimes\Gamma$. Dans ce cas, nous démontrons des résultats de fonctorialité sur les groupes de $K$-théorie de la suite exacte maximale, et ainsi nous obtenons la suite exacte maximale universelle à six termes pour le groupoïde $X\rtimes\Gamma$. Enfin, dans la troisième partie nous construisons des algèbres de von Neumann $\maM_i$ et des algèbres duales $\ell^2$ correspondantes associées à la suite exacte maximale. Nous définissons également une trace sur $\maM_i$ associée à une mesure borélienne $\Gamma$-invariante sur $X$. Nous prouvons à nouveau la fonctorialité de cette construction, et ainsi nous définissons des groupes de structure analytique $\ell^2$. Nous obtenons ainsi une suite exacte analytique, plus calculable que la suite exacte universelle.