Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 13 avril 2006 à 11:15 - salle 431

Présentée par Paris Luis - Université de Bourgogne

Problème d'isomorphisme pour les groupes d'Artin

Les groupes d'Artin ont \'et\'e introduits par Tits, Brieskorn, Deligne et Saito dans les ann\'ees 70 en relation avec l'\'etude de certaines vari\'et\'es alg\'ebriques appel\'ees vari\'et\'es de type discriminant. Un groupe d'Artin est un groupe ayant une pr\'esentation de la forme \[ A= \langle \sigma_1, \dots, \sigma_n\ | \underbrace{\sigma_i \sigma_j \dots}_{m_{i\,j}\ \mathrm{termes}} = \underbrace{\sigma_j \sigma_i \dots}_{m_{i\,j}\ \mathrm{termes}}\ \mathrm{pour\ tous}\ 1 \le i< j\le n \rangle\,,\] où $m_{i\,j} \in \{2, 3, 4, \dots \} \cup \{ +\infty\}$ et $m_{i\,j} = +\infty$ signifie qu’il n'y a pas de relation entre $\sigma_i$ et $\sigma_j$. Appelons $\mathcal{M}= \{ m_{i\,j} ; 1 \le i l'ensemble de d\'efinition du groupe d'Artin A. Une question importante dans le sujet, connue sous le nom de probl\`eme d'isomorphisme pour les groupes d'Artin, est de d\'eterminer si deux ensembles de d\'efinition peuvent d\'eterminer le m\^eme groupe d'Artin \`a isomorphisme pr\`es. Plus g\'en\'eralement, il s'agit de classer les groupes d'Artin \`a isomorphisme pr\`es.
Cet expos\'e sera une invitation aux groupes d'Artin. Seront donn\'ees les d\'efinitions et propri\'et\'es \'el\'ementaires illustr\'ees par des exemples importants, puis nous aborderons des questions r\'ecentes dont certains r\'esultats sur le probl\`eme d'isomorphisme.