Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique :

Le 06 février 2003 à - salle 431

Présentée par Le Potier Joseph - Université Paris 7

Dualité étrange sur les surfaces

Soit $X$ une surface algébrique projective complexe, lisse et irréductible. On suppose en outre que $X$ est simplement connexe. On désigne par $K_{top}(X)$ l'algèbre de Grothendieck topologique de $X$; sur $K_{top}(X)$ on dispose d'une forme quadratique naturelle $c \mapsto \chi(c^2)$. Soit $M_c$ l'espace de modules des faisceaux semi-stables sur $X$ relativement à une polarisation générique sur $X$. A toute classe de Grothendieck $c*$ dans $K_{top}(X)$ orthogonale à $c$ on peut associer un fibré inversible $D_{c,c*}$ sur $M_c$ appelé fibré déterminant, qui généralise le classique fibré déterminant de Donaldson. Les phénomènes de dualité étrange concernent la description de l'espace vectoriel des sections de ce fibré inversible. Modulo quelques conditions supplémentaires, on peut construire une application linéaire canonique à inversibles près $$H^0(M_{c*}, D_{c*,c})^* \longrightarrow H^0(M_{c*},D_{c,c*})$$ appelé morphisme étrange. Nous donnons quelques exemples où ce morphisme étrange est un isomorphisme.