Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier :

Le 21 mars 2005 à -

Présentée par Hanrot Guillaume - LORIA, INRIA Lorraine

« L'équation de Catalan »

En 1844, Eugène Catalan, alors répétiteur à l'Ecole polytechnique, publie une courte note au journal de Crelle, dans laquelle il conjecture que les deux seules puissances pures consecutives $>1$ sont 8 et 9. Il indique n'avoir "pas réussi à la démontrer complètement". Plus d'un siècle et demi après, Mihailescu fournit une preuve complète, et d'essence essentiellement élémentaire, du résultat. Cette preuve a été ultérieurement ré-exposée de façon plus simple par Bilu. On fera un tour d'horizon historique des résultats successivement obtenus sur l'équation de Catalan, avant de donner quelques idées sur les points-clés de la preuve de Mihailescu.