Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier :

Le 14 février 2005 à -

Présentée par Michel Philippe - Université Montpellier II

« Sous-convexité des fonctions L et équidistribution de point spéciaux sur les variétés de Shimura quaternioniques »

Dans cet exposé, nous exposons certains cas récents du problème de sous-convexité pour les fonctions $L$: celui des fonctions de Rankin/Selberg associées à des paires de représentations automorphes sur $GL_2$ (non-nécessairement cuspidales), l'une des représentations étant "fixe" (mais de type arbitraire a l'infini) l'autre de conducteur croissant et de caractère central arbitraire. Nous exposons deux méthodes qui ne sont pas totalement indépendantes.
La première méthode marche sur $Q$, et utilise des méthodes classiques de la théorie analytique des nombres. Elle peut être également utilisée pour résoudre des questions de non-annulation de fonctions $L$ (travail en commun avec G. Harcos.)
La seconde méthode est basée sur, et étend, l'approche très récente du problème de sous-convexité de A. Venkatesh, qui utilise directement les périodes. Elle marche pour les corps de nombres arbitraires (travail en commun avec A. Venkatesh.)
Si le temps le permet, certaines applications de ces résultats seront évoquées: le problème de majorer non-trivialement la norme $L^\infty$ des formes de Maass de grand niveau et le problème de l'équirépartition des sous-orbites toriques (notamment les orbites galoisiennes) de points spéciaux pour les variétés de Shimura associées aux algèbres de quaternions sur les corps totalement réels.