DUALITÉ TANNAKIENNE POUR LES QUASI-GROUPOÏDES QUANTIQUES

Alain Bruguières

Institut de mathématiques de Jussieu – UMR CNRS 9994, Université Paris 7 – Case Postale 7012, 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05 France. e-mail: bruguier@mathp7.jussieu.fr

abstract. This paper is the sequel of a previous one [2] where we extended the Tannaka-Krein duality results to the non-commutative situation, i.e. to ‘quantum groupoids’. Here we extend those results to the quasi-monoidal situation, corresponding to ‘quasi-quantum groupoids’ as defined in [3] (‘quasi-’ stands for quasi-associativity à la Drinfeld). More precisely, let B be a commutative algebra over a field k. Given a tensor autonomous category T , we define the notion of a quasi-fibre functor ω:T ⟶proj B (here, ‘quasi-’ means without compatibility to associativity constraints). On the other hand, we define the notion of a transitive quasi-quantum groupoid over B. We then show that the category of tensor autonomous categories equipped with a quasi-fibre functor (with suitable morphisms), is equivalent to the category of transitive quasi-quantum groupoids (5.4.2).

Moreover, we classify quasi-fibre functors for a semisimple tensor autonomous category (6.1.2), and give a few examples : a family of quantum groups having the same tensor category of representations as Sl_{2}( ), but with non-isomorphic underlying coalgebras, constructed by means of an R-matrix introduced by Gurevich ([9]) in a manner suggested to the author by Lyubashenko (6.2.1 and 6.2.2), and quasiquantum groups which cannot be obtained from quantum groups by a Drinfeld twist (6.2.1).

0. Introduction

0.1. La dualité tannakienne est un principe général qui établit, idéalement, un dictionnaire bilingue entre des données de type catégorique, d’une part, et des données de type algébrique de l’autre.

L’exemple fondamental est le suivant. Soit k un corps. Alors la donnée d’une catégorie abélienne k -linéaire C, munie d’un foncteur k -linéaire fidèle exact F de C vers la catégorie des k -espaces vectoriels de dimension finie, est équivalente à la donnée d’une k -cogèbre.

La correspondance associe à une k -cogèbre L la catégorie comod L des L-comodules à droite de dimension finie sur k, munie du foncteur oubli u_{L} : comod L ⟶ vect k. La construction inverse consiste à associer au foncteur F : C ⟶ vect k la cogèbre L(F) des coendomorphismes de F.

Sur ces ‘fondations’, on peut ‘bâtir les étages’. Dans le dictionnaire tannakien, toute superstructure de la catégorie C et du foncteur F se traduit, de façon concomitante, par une superstructure de la cogèbre L. Ainsi, munir C d’une structure tensorielle, et F d’une structure de foncteur monoïdal, revient à faire de L une bigèbre. Si de plus, C est autonome, L est une bigèbre de Hopf. Que de surcroît C soit symétrique, ainsi que F, et L devient l’algèbre des fonctions d’un schéma en groupes G sur k. Cette situation correspond à la dualité tannakienne ‘classique’ : C est la catégorie des représentations de dimension finie de G, et G est le schéma en groupes des automorphismes monoïdaux du foncteur F.

Les bigèbres de Hopf, ou ‘groupes quantiques’, sont devenus un objet d’étude à part entière; d’une part, ce sont des objets algébriques intéressants en tant que tels, et d’autre part, leurs catégories de représentations ont été utilisées pour définir des invariants topologiques nouveaux en petite dimension. D’où l’intérêt d’étudier la dualité tannakienne pour ces objets. Drinfeld [8] a montré qu’on peut affaiblir l’associativité de la multiplication d’un groupe quantique, de sorte que la catégorie des représentations reste monoïdale; par contre, le foncteur oubli n’est plus compatible aux contraintes d’associativité. (En fait, Drinfeld s’intéresse aux algèbres enveloppantes plutôt qu’aux algèbres de fonctions : pour lui, les représentations sont les modules, et c’est la coassociativité du coproduit qu’il affaiblit; c’est le point de vue dual qu’on adopte ici.)

On peut généraliser l’exemple fondamental en introduisant une k -algèbre B, et en considérant, du côté catégorique, les catégories C munies d’un foncteur F de C vers la catégorie des B -modules à droite projectifs de type fini, et du côté algébrique, les cogébroïdes de base B (Deligne, [4]). Dans [2], j’avais formulé une version pour cogébroïdes de la dualité tannakienne, pour ensuite, rajoutant les étages, en donner une version pour ‘groupoïdes quantiques’. Le but du présent article est d’étendre ces résultats aux ‘quasi-groupoïdes quantiques’ (notion introduite dans [3]).

Étant donnée une catégorie tensorielle autonome T , nous définissons la notion de quasi-foncteur fibre de T sur une algèbre commutative B. Il s’agit d’un foncteur k -linéaire exact de T dans Mod B, à valeurs dans proj B, muni d’une structure quasi-monoïdale (où ‘quasi’ signifie sans condition de compatibilité aux contraintes d’associativité, cf. 1.2), et admettant une structure autonome (i.e. un isomorphisme de compatibilité aux duaux, cf. 1.3).

D’autre part, nous introduisons la notion de quasi-bigébroïde de Hopf transitif de base B. (Pour k parfait, ce sont les quasi-bigébroïdes de Hopf dont le B ⊗ B -module sousjacent est projectif et partout non nul, cf. 5.3.3). Le théorème 5.4.2 établit alors une équivalence de catégories entre, d’une part, la catégorie QTan_{B} des catégories tensorielles autonomes munies d’un quasi-foncteur fibre sur B, et d’autre part, la catégorie QBig_{B} des quasi-bigébroïdes de Hopf transitifs de base B.

Puis, nous classifions les quasi-foncteurs fibres pour une catégorie tensorielle autonome semi-simple (6.1.2), et nous passons en revue quelques exemples. En particulier, il existe une famille de groupes quantiques ayant même catégorie de représentations que Sl_{2} , bien que les cogèbres sous-jacentes soient deux à deux non isomorphes; V. Lyubashenko m’en a suggéré une construction utilisant une R-matrice introduite par D. I. Gourévitch (6.2.1 et 6.2.2). Il existe aussi des catégories tensorielles autonomes admettant un quasi-foncteur fibre, mais pas de foncteur fibre (6.2.3).

0.2. Plan. Dans la section 1, nous rappelons ce qu’est une catégorie monoïdale, et nous introduisons les notions de foncteur quasi-monoïdal, et de foncteur autonome. Après quelques généralités sur les cogébroïdes, regroupées dans la section 2, nous construisons dans la section 3 la catégorie Cat_{B}, dont les objets sont des catégories munies d’un foncteur vers proj B, et le foncteur L : Cat_{B} ⟶ Cog_{B}, qui associe à un foncteur F : C ⟶ proj B le cogébroïde L(F) des coendomorphismes de F; lorsque B est commutative, ce foncteur est monoïdal.

La section 4 introduit la notion de quasi-bigébroïde, qui généralise la notion de bigébroïde (4.1); on y montre que si C est monoïdale et F quasi-monoïdal, L(F) devient un quasi-bigébroïde, noté L(F) (4.2). On définit la catégorie QBig_{B} des quasi-bigébroïdes de base B, avec pour flèches les quasi-morphismes (notion qui, généralisant la notion naïve de morphisme, prend en compte les ‘twists de Drinfeld’). On définit d’autre part une catégorie QMon_{B}, dont les objets sont les catégories monoïdales C munies d’un foncteur quasi-monoïdal F : C ⟶ proj B, de sorte que F ↦ L(F) s’interprète comme un foncteur L : QMon_{B} ⟶ QBig_{B} (4.3). On définit la notion d’antipode dans un quasi-bigébroïde, on discute l’unicité de l’antipode (4.4.4), et on montre que si C est autonome et F quasimonoïdal autonome, L(F) est un quasi-bigébroïde de Hopf (4.4.5).

La section 5 est consacrée à la dualité tannakienne proprement dite; en 5.1, nous reformulons les résultats de [2] sur les cogébroïdes semi-transitifs, sous la forme d’une équivalence de catégories. En 5.2, nous définissons la notion de quasi-foncteur fibre, et en 5.3, celle de quasi-bigébroïde de Hopf transitif, pour aboutir au théorème de dualité tannakienne pour les quasi-bigébroïdes en 5.4.

La section 6 s’intéresse au cas particulier des catégories tensorielles semi-simples : classification des quasi-foncteurs fibre de ces catégories (6.1), et étude de quelques exemples (6.2).

0.3. Notations. Dans tout ce travail, k désigne un anneau commutatif. On note ⊗ le produit tensoriel sur k. Par algèbre, on entend k -algèbre associative. Si k est un corps, on note Vect k (resp. vect k) la catégorie des k -espaces vectoriels (resp. des k -espaces vectoriels de dimension finie).

Si B est une algèbre, Mod B (resp. mod B, resp. Proj B, resp. proj B) est la catégorie des B -modules à droite quelconques (resp. de type fini, resp. projectifs, resp. projectifs de type fini); On note B^{o} l’algèbre opposée à B, de sorte que Mod B^{o} est la catégorie des B -modules à gauche.

Soient A, B deux algèbres. On note Bimod(A, B) la catégorie des (A, B)-bimodules, qu’on identifiera à Mod(A^{o} ⊗ B) en munissant tout (A, B)-bimodule M de la structure de A^{o} ⊗ B -module à droite donnée par : m · (a ⊗ b) = a · m · b. Un tel bimodule M peut aussi être vu comme un (B^{o}, A^{o})-bimodule; on le note alors M^{o}.

On note B^{e} l’algèbre enveloppante B^{o} ⊗ B, de sorte que Bimod(B, B) s’identifie à Mod B^{e}.

1. Catégories monoïdales

1.1. Rappel de quelques notions

1.1.1. Une catégorie monoïdale est la donnée d’une catégorie C, d’un foncteur ⊗ de C × C vers C (appelé produit tensoriel), d’un objet I de C (l’ objet unité), et d’isomorphismes fonctoriels a_{X,Y,Z} : (X ⊗Y)⊗Z →^{∼} X ⊗(Y ⊗Z) (la contrainte d’associativité), l_{X} : I ⊗X →^{∼} X (la contrainte d’unité à gauche) et r_{X} : X ⊗ I →^{∼} X (la contrainte d’unité à droite), avec les axiomes suivants :

(1_{X} ⊗a_{Y,Z,T}) a_{X,Y ⊗Z,T} (a_{X,Y,Z} ⊗ 1_{T}) = a_{X,Y,Z⊗T} a_{X⊗Y,Z,T}
(1_{X} ⊗l_{Y}) a_{X,I,Y} = r_{X} ⊗ 1_{Y} .

Le premier de ces axiomes s’appelle le pentagone de MacLane.

La catégorie monoïdale C est dite stricte lorsque les conditions suivantes sont remplies :

1) le produit tensoriel est associatif sur les objets [(X ⊗ Y) ⊗ Z = X ⊗ (Y ⊗ Z)];

2) l’objet unité est neutre pour le produit tensoriel [I ⊗ X = X = X ⊗ I];

3) les contraintes a, l, r sont les identités [a_{X,Y,Z} = 1_{X⊗Y ⊗Z} , l_{X} = 1_{X} = r_{X}]. Il résulte de ces hypothèses que le produit tensoriel est associatif sur les morphismes

de C, et que 1_{I} est neutre pour ce produit.

1.1.2. Soit C une catégorie monoïdale. Une dualité de C est une donnée (X, Y, e, h), où X, Y sont des objets de C, e est un morphisme X ⊗ Y ⟶ I, l’ évaluation, et h un morphisme I ⟶ Y ⊗ X, la coévaluation, avec les conditions :

l_{X}(e ⊗ 1_{X})a_{X,Y,X}^{−1}(1_{X} ⊗ h)r_{X}^{−1} = 1_{X}
r_{Y} (1_{Y} ⊗ e)a_{Y,X,Y} (h ⊗ 1_{Y})l_{Y}^{−1} = 1_{Y} .

On dit alors que (X, e, h) est un dual à gauche de Y, et (Y, e, h) un dual à droite de X.

Une catégorie monoïdale est dite autonome à gauche (resp. autonome à droite) lorsque tout objet admet un dual à gauche (resp. à droite), et autonome si elle est autonome à gauche et à droite.

Soit C une catégorie monoïdale autonome à gauche. On appelle structure autonome à gauche sur C la donnée, pour chaque objet X, d’une dualité (^{∨}X, X, e_{X}, h_{X}); une structure autonome à gauche sur C définit un foncteur dual à gauche ^{∨}? : C^{o} ⟶ C. C’est une équivalence de catégories si et seulement si C est autonome. Pour tout objet X de C, le foncteur ^{∨}X⊗? est adjoint à gauche au foncteur X⊗?, et le foncteur ? ⊗^{∨}X est adjoint à droite au foncteur ? ⊗ X. Autrement dit, on a des isomorphismes d’adjonction

Hom_{C}(^{∨}X ⊗ Y, Z) ≃ Hom_{C}(Y, X ⊗ Z) et Hom_{C}(Y, Z ⊗^{∨}X) ≃ Hom_{C}(Y ⊗ X, Z) .

Deux structures autonomes à gauche définissent des foncteurs dual à gauche isomorphes.

1.1.3. Exemples.

1) Soit B une algèbre; la catégorie Bimod(B, B) des (B, B)-bimodules, munie du produit tensoriel ⊗_{B}, est une catégorie monoïdale d’objet unité le (B, B)-bimodule B, avec pour contraintes les isomorphismes canoniques

(M ⊗_{B} M′) ⊗_{B} M′′ ≃ M ⊗_{B} (M′ ⊗_{B} M′′) et B ⊗_{B} M ≃ M ≃ M ⊗_{B} B .

Par la suite, on fera systématiquement l’abus consistant à considérer ces isomorphismes canoniques comme des identités, ce qui revient à voir Bimod(B, B) comme une catégorie monoïdale stricte.

Un (B, B)-bimodule admet un dual à gauche dans Bimod(B, B) si et seulement s’il est projectif de type fini comme B -module à droite.

Plus généralement, soient A, B deux algèbres, et M un (A, B)-bimodule; supposons M projectif de type fini en tant que B -module à droite. On appelle dual à gauche de M le (B, A)-bimodule ^{∗}M = Hom_{B}(M, B). (Il est projectif de type fini en tant que B - module à gauche.) Soit ∂_{M} l’antécédent de 1_{M} par l’application (A, A)-linéaire canonique M ⊗_{B} ^{∗}M ⟶ End_{B}(M), qui est bijective; notons coev_{M} l’application A ⟶ M ⊗_{B} ^{∗}M, a ↦ a∂_{M} = ∂_{M}a, et ev_{M} : ^{∗}M ⊗_{A} M ⟶ B l’évaluation. On a alors (1_{M} ⊗_{B} ev_{M})(coev_{M} ⊗_{A} 1_{M}) = 1_{M} et (ev_{M} ⊗_{B} 1_{^{∗}M})(1_{^{∗}M} ⊗_{A} coev_{M}) = 1_{^{∗}M} ([2], exemple p. 5824).

Dans le cas particulier où A = B, (^{∗}M, M, ev_{M}, coev_{M}) est une dualité de Bimod(B, B).

2) Soit B une algèbre commutative. Alors Mod B, munie du produit tensoriel ⊗_{B}, est une catégorie monoïdale d’objet unité B, avec les contraintes canoniques. Elle s’identifie à la sous-catégorie monoïdale pleine de Bimod(B, B) des bimodules dont les deux structures de B -module coïncident. Il résulte donc de l’exemple 1) qu’ un B -module N admet un dual à gauche si et seulement s’il est projectif de type fini. De plus, si tel est le cas, N admet un dual à gauche canonique ^{∗}N = Hom_{B}(N, B), l’évaluation étant le morphisme d’évaluation ordinaire ev_{N} : ^{∗}N ⊗_{B} N ⟶ B, et la coévaluation, le morphisme coev_{N} : B ⟶ N ⊗_{B} ^{∗}N défini ci-dessus.

Ainsi, la catégorie monoïdale proj B est munie d’une structure autonome à gauche canonique, pour laquelle le foncteur dual à gauche est ^{∗}? = Hom_{B}( ?, B);

1.2. Foncteurs quasi-monoïdaux

Soient C et C′ deux catégories monoïdales. Soit F un foncteur C ⟶ C′, et, pour tous X, Y objets de C, donnons-nous un isomorphisme fonctoriel

Φ_{2}_{X,Y} : F (X) ⊗′ F (Y) →^{∼} F (X ⊗ Y) .

On peut alors définir deux isomorphismes fonctoriels

Φ_{3}^{1}_{X,Y,Z} = Φ_{2}_{X⊗Y,Z}(Φ_{2}_{X,Y} ⊗′ 1_{F (Z)}) : (F (X) ⊗′ F (Y)) ⊗′ F (Z) →^{∼} F ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ,

Φ_{3}^{2}_{X,Y,Z} = Φ_{2}_{X,Y ⊗Z}(1_{F (X)} ⊗′Φ_{2}_{Y,Z}) : F (X) ⊗′ (F (Y) ⊗′ F (Z)) →^{∼} F (X ⊗ (Y ⊗ Z)) .

On considère la condition

(CA)  F (a_{X,Y,Z})Φ_{3}^{1}_{X,Y,Z} = Φ_{3}^{2}_{X,Y,Z} a′_{F (X),F (Y),F (Z)} ,

qu’on appelle compatibilité aux contraintes d’associativité.

Supposons donné, d’autre part, un isomorphisme Φ_{0} : I′ →^{∼} F (I). On peut alors définir deux isomorphismes fonctoriels :

L_{X} = F (l_{X})Φ_{2}_{I,X}(Φ_{0} ⊗′ 1_{F (X)}) : I′ ⊗′ F (X) →^{∼} F (X) ,

R_{X} = F (r_{X})Φ_{2}_{X,I}(1_{F (X)} ⊗′Φ_{0}) : F (X) ⊗′ I′ →^{∼} F (X) .

On considère la condition

(CU)  L_{X} = l′_{F (X)} et R_{X} = r′_{F (X)} ,

qu’on appelle compatibilité aux contraintes d’unité.

1.2.1. Définition. Une telle donnée (F, Φ_{2}, Φ_{0}) est appelée foncteur prémonoïdal de C vers C′. On dit que c’est un foncteur quasi-monoïdal (resp. un foncteur monoïdal) s’il vérifie la condition (CU) (resp. les conditions (CA) et (CU)). On appelle équivalence de catégories monoïdales tout foncteur monoïdal dont le foncteur sous-jacent est une équivalence de catégories.

D’autre part, le foncteur prémonoïdal (F, Φ_{2}, Φ_{0}) est dit strict s’il vérifie les conditions suivantes : F (X) ⊗′ F (Y) = F (X ⊗ Y), I′ = F (I), et Φ_{2}_{X,Y} et Φ_{0} sont les identités.

On compose les foncteurs prémonoïdaux de la façon évidente; le composé de deux foncteurs quasi-monoïdaux (resp. monoïdaux) est un foncteur quasi-monoïdal (resp. monoïdal).

1.2.2. Définition. Soient C, C′ deux catégories monoïdales, et (F, Φ_{2}, Φ_{0}) et (G, Ψ_{2}, Ψ_{0}) deux foncteurs prémonoïdaux de C vers C′. Soit γ un morphisme fonctoriel de F vers G. On dit que γ est quasi-monoïdal s’il vérifie

γ_{I}Φ_{0} = Ψ_{0} ;

on dit qu’il est monoïdal s’il est quasi-monoïdal, et qu’en outre il vérifie

γ_{X⊗Y} Φ_{2}_{X,Y} = Ψ_{2}_{X,Y} (γ_{X} ⊗′ γ_{Y}) .

1.2.3. Deux catégories monoïdales C et C′ sont dites monoïdalement équivalentes s’il existe une équivalence de catégories monoïdales de C vers C′. La donnée d’une telle équivalence identifie essentiellement C à C′.

Plus précisément, soit (F, Φ_{2}, Φ_{0}) une équivalence de catégories monoïdales de C vers C′, et soit G un quasi-inverse de F; donnons-nous des isomorphismes fonctoriels u : F G →^{∼} 1_{C′} et v : 1_{C} →^{∼} GF. Alors G admet une unique structure de foncteur monoïdal pour laquelle u et v sont des isomorphismes fonctoriels monoïdaux.

Le théorème de cohérence de MacLane affirme que lorsqu’on travaille dans une catégorie monoïdale, on peut “faire comme si” les contraintes d’associativité et d’unité étaient des identités. On peut formuler ce théorème comme suit : toute catégorie monoïdale est monoïdalement équivalente à une catégorie monoïdale stricte (voir MacLane, [13]).

1.2.4. Remarque. S’il existe un isomorphisme fonctoriel entre deux foncteurs quasimonoïdaux, il en existe un qui est quasi-monoïdal. En effet, soient C, C′ deux catégories monoïdales strictes et (F, Φ_{2}, Φ_{0}), (G, Ψ_{2}, Ψ_{0}) deux foncteurs quasi-monoïdaux de C vers C′. Soit γ un isomorphisme fonctoriel de F vers G, et posons c = Φ_{0}^{−1}γ_{I}^{−1}Ψ_{0} . Alors γ′ = c ⊗′ γ est un isomorphisme fonctoriel quasi-monoïdal de F vers G.

1.2.5. Proposition. Soit (F, Φ_{2}, Φ_{0}) un foncteur prémonoïdal de C vers C′, et supposons C et C′ strictes pour simplifier les notations, de sorte qu’on a L_{X} = Φ_{2}_{I,X}(Φ_{0} ⊗′ 1_{F (X)}) et R_{X} = Φ_{2}_{X,I}(1_{F (X)} ⊗′Φ_{0}). Posons Φ′_{2} = Φ_{2}(R^{−1} ⊗′ L^{−1}), et Φ′_{0} = Φ_{2}_{I,I}(Φ_{0} ⊗′ Φ_{0}). Alors :

1) (Φ′_{2}, Φ′_{0}) vérifie (CU);

2) si Φ_{2} vérifie (CA), Φ′_{2} la vérifie aussi.

Démonstration.

1) Observons qu’on a Φ′_{0} = R_{I}Φ_{0} = L_{I}Φ_{0} . On a donc Φ′_{2}_{I,X}(Φ′_{0} ⊗′ 1_{F (X)}) = Φ_{2}_{I,X}(R_{I}^{−1}Φ′_{0} ⊗′ L_{X}^{−1}) = Φ_{2}_{I,X}(Φ_{0} ⊗′ 1_{F (X)})(Φ_{0}^{−1}R_{I}^{−1}Φ′_{0} ⊗′ L_{X}^{−1}) = L_{X}L_{X}^{−1} = 1_{F (X)} , et Φ′_{2}_{X,I}(1_{F (X)} ⊗′Φ′_{0}) = 1_{F (X)} par un calcul semblable.

2) On fait l’hypothèse (CA) pour Φ_{2} , et, procédant par étapes, on la vérifie pour Φ′_{2} .

(i) R_{X} et L_{X} commutent. En effet R_{X}L_{X} = Φ_{2}_{X,I}(1_{F (X)} ⊗′Φ_{0})Φ_{2}_{I,X}(Φ_{0} ⊗′ 1_{F (X)}) = Φ_{2}_{X,I}(Φ_{2}_{I,X} ⊗′ 1_{F (I)})(Φ_{0} ⊗′ 1_{F (X)} ⊗′Φ_{0}); un calcul similaire montre que L_{X}R_{X} est égal à Φ_{2}_{I,X}(1_{F (I)} ⊗′Φ_{2}_{X,I})(Φ_{0} ⊗′ 1_{F (X)} ⊗′Φ_{0}), donc à R_{X}L_{X} en vertu de (CA). (ii) On a R_{X⊗Y} Φ_{2}_{X,Y} = Φ_{2}_{X,Y} (1_{F (X)} ⊗′R_{Y}) et L_{Y ⊗Z}Φ_{2}_{Y,Z} = Φ_{2}_{Y,Z}(L_{Y} ⊗′ 1_{F (Z)}). En effet, R_{X⊗Y} Φ_{2}_{X,Y} = Φ_{2}_{X⊗Y,I}(Φ_{2}_{X,Y} ⊗′ Φ_{0}) = Φ_{2}_{X,Y} (1_{F (X)} ⊗′Φ_{2}_{Y,I}(1_{F (Y)} ⊗′Φ_{0})) = Φ_{2}_{X,Y} (1_{F (X)} ⊗′R_{Y}) (par (CA)); et la seconde égalité se vérifie de même. (iii) Vérifions (CA) pour Φ′_{2} . Il s’agit de montrer :

Φ_{2}_{X⊗Y,Z}(R_{X⊗Y}^{−1} Φ_{2}_{X,Y} (R_{X}^{−1} ⊗′ L_{Y}^{−1})⊗′ L_{Z}^{−1}) = Φ_{2}_{X,Y ⊗Z}(R_{X}^{−1} ⊗′ L_{Y ⊗Z}^{−1}Φ_{2}_{Y,Z}(R_{Y}^{−1} ⊗′ L_{Z}^{−1})) .

Or, en vertu de (ii), le premier membre vaut Φ_{2}_{X⊗Y,Z}(Φ_{2}_{X,Y} (R_{X}^{−1} ⊗′ R_{Y}^{−1}L_{Y}^{−1}) ⊗′ L_{Z}^{−1}), et le second, Φ_{2}_{X,Y ⊗Z}(R_{X}^{−1} ⊗′ Φ_{2}_{Y,Z}(L_{Y}^{−1}R_{Y}^{−1} ⊗′ L_{Z}^{−1})). Ces deux termes sont donc égaux en vertu de (i) et de (CA). ⊓ ⊔

1.2.6. Remarque. La proposition (1.2.5) signifie que la condition (CU) est anodine : partant d’un foncteur prémonoïdal (F, Φ_{2}, Φ_{0}), on peut toujours, en modifiant Φ_{2} et Φ_{0} , en faire un foncteur quasi-monoïdal. On peut en faire un foncteur monoïdal si le Φ_{2} donné vérifie (CA).

Par contre, la condition (CA) est une hypothèse forte : étant donné un foncteur prémonoïdal, il n’existe pas toujours de foncteur monoïdal ayant même foncteur sousjacent, comme en témoigne l’exemple suivant.

1.2.7. Exemple. Il s’agit d’un exemple dû à R. Dijkgraaf, V. Pasquier, et P. Roche ([7]). Soit G un groupe, et k un anneau commutatif. Soit C la catégorie définie comme suit : les objets de C sont les éléments de G, et pour g, h ∈ G, Hom_{C}(g, h) = k si g = h, 0 sinon; la composition des flèches est la multiplication de k. Soit ⊗ le foncteur C × C ⟶ C défini sur les objets par la loi de composition interne de G, i. e. g ⊗ h = gh, et sur les flèches, par la multiplication de k.

Alors C, munie du produit tensoriel ⊗, est une catégorie monoïdale stricte d’objet unité l’élément neutre e de G.

Donnons-nous une application a : G^{3} ⟶ k^{∗}, et deux applications l, r : G ⟶ k^{∗}. On peut voir a (resp. l, r) comme un isomorphisme fonctoriel g_{1} ⊗ g_{2} ⊗ g_{3} →^{∼} g_{1} ⊗ g_{2} ⊗ g_{3} (resp. e ⊗ g →^{∼} g, resp. g ⊗ e →^{∼} g). Alors (C, ⊗, e, a, l, r) est une catégorie monoïdale si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

a(g_{2}, g_{3}, g_{4})a(g_{1}, g_{2}g_{3}, g_{4})a(g_{1}, g_{2}, g_{3}) = a(g_{1}, g_{2}, g_{3}g_{4})a(g_{1}g_{2}, g_{3}, g_{4}) ,
l(g_{2})a(g_{1}, e, g_{2}) = r(g_{1}) .

La première condition, traduction du pentagone de McLane, signifie que a est un 3-cocycle de G à valeurs dans k^{∗}. Elle entraîne en particulier a(g, e, g′) = a(g, e, e)a(e, e, g′).

Ainsi, étant donné un 3-cocycle a : G^{3} ⟶ k^{∗}, les couples r, l vérifiant la seconde condition sont donnés par r(g) = c a(g, e, e) et l(g) = c a(e, e, g)^{−1} pour un élément c de k^{∗}. Deux valeurs distinctes de c définissent clairement des catégories monoïdalement équivalentes. On note C^{a} la catégorie monoïdale obtenue pour c = 1.

Soient a et a′ deux 3-cocycles de G à valeurs dans k^{∗}. Soit ϕ_{2} : G^{2} ⟶ k^{∗} et ϕ_{0} ∈ k^{∗}. Alors (1_{C}, ϕ_{2}, ϕ_{0}) est un foncteur quasi-monoïdal de C^{a} vers C^{a′} si et seulement s’il vérifie a(e, e, g)^{−1}ϕ_{2}(e, g)ϕ_{0} = a′(e, e, g)^{−1} et a(g, e, e)ϕ_{2}(g, e)ϕ_{0} = a′(g, e, e). Il est monoïdal si et seulement s’il vérifie en outre

a(g_{1}, g_{2}, g_{3})ϕ_{2}(g_{1}g_{2}, g_{3})ϕ_{2}(g_{1}, g_{2}) = ϕ_{2}(g_{1}, g_{2}g_{3})ϕ_{2}(g_{2}, g_{3})a′(g_{1}, g_{2}, g_{3}) ,

ce qui signifie que aa′^{−1} est le bord de ϕ_{2} .

Par conséquent, le foncteur identité admet toujours une structure de foncteur quasimonoïdal de C^{a} vers C^{a′}, mais il admet une structure de foncteur monoïdal si et seulement si a et a′ définissent la même classe dans H^{3}(G, k^{∗}), par 1.2.6.

1.3. Foncteurs autonomes

1.3.1. Définition. Donnons-nous deux catégories monoïdales autonomes à gauche C et C′, munies de structures autonomes à gauche. On note respectivement ^{∨}? et ^{∗}? les foncteurs dual à gauche de C et C′.

Soit F un foncteur de C vers C′. On appelle structure autonome à gauche sur F tout isomorphisme fonctoriel Φ_{1} : ^{∗}? ∘ F →^{∼} F ∘^{∨}? .

Le foncteur F est dit autonome à gauche si, étant données des structures autonomes à gauche sur C et C′, il existe une structure autonome à gauche sur F; cette condition est indépendante du choix des structures autonomes à gauche sur C et C′, en raison de l’unicité des foncteurs dual à gauche à isomorphisme près.

1.3.2. Remarque. Soit (F, Φ_{2}, Φ_{0}) un foncteur prémonoïdal de C dans C′. Pour X objet de C, on a choisi une dualité (^{∨}X, X, e_{X}, h_{X}) de C. On pose E_{X} = Φ_{0}^{−1}F (e_{X})Φ_{2}_{^{∨}X,X} : F (^{∨}X) ⊗′ F (X) ⟶ I′ et H_{X} = Φ_{2}_{X,^{∨}X}^{−1}F (h_{X})Φ_{0} : I′ ⟶ F (X) ⊗′ F (^{∨}X).

1) Dans le cas où (F, Φ_{2}, Φ_{0}) est monoïdal, (F (^{∨}X), F (X), E_{X}, H_{X}) est une dualité de C′; d’où un isomorphisme fonctoriel ^{∗}F (X) →^{∼} F (^{∨}X). Autrement dit, tout foncteur monoïdal d’une catégorie monoïdale autonome à gauche dans une autre est autonome à gauche.

2) Dans le cas général, supposons donnée une structure autonome à gauche Φ_{1} sur F. On peut alors voir F (^{∨}X) comme un dual à gauche de F (X) via l’isomorphisme Φ_{1}_{X}. La donnée de Φ_{1} définit deux endomorphismes du foncteur F, α et β : α_{X} et β_{X} sont les images respectives de E_{X} et de H_{X} dans les isomorphismes d’adjonction

Hom_{C′}(F (^{∨}X) ⊗′ F (X), I′) →^{∼} End_{C′}(F (X)) et Hom_{C′}(I′, F (X) ⊗′ F (^{∨}X)) →^{∼} End_{C′}(F (X))

(cf. 1.1.2).

2. Généralités sur les cogébroïdes

2.1. Définitions et rappels

2.1.1. Soit B une algèbre. Un cogébroïde de base B est une cogèbre dans la catégorie monoïdale Bimod(B, B). Autrement dit, c’est un (B, B)-bimodule L muni de morphismes de (B, B)-bimodules Δ : L ⟶ L ⊗_{B} L et ε : L ⟶ B, appelés respectivement coproduit et coünité, vérifiant les axiomes suivants :

(1_{L} ⊗_{B}Δ)Δ = (Δ ⊗_{B} 1_{L})Δ ,
(1_{L} ⊗_{B} ε)Δ = 1_{L} = (ε ⊗_{B} 1_{L})Δ .

Un morphisme de cogébroïdes de base B est un morphisme de cogèbres dans la catégorie Bimod(B, B), autrement dit un morphisme de (B, B)-bimodules compatible aux coproduits et aux coünités. On note Cog_{B} la catégorie des cogébroïdes de base B.

Le (B, B)-bimodule B^{e} est muni d’une structure de cogébroïde, dont le coproduit est donné par Δ(x ⊗ y) = (x ⊗ 1) ⊗_{B} (1 ⊗ y) et la coünité par ε(x ⊗ y) = xy.

Si L est un cogébroïde de base B, L^{o} est naturellement muni d’une structure de cogébroïde de base B^{o}.

2.1.2. Soit L un cogébroïde de base B. Un L-comodule à droite est un B -module à droite V muni d’une coaction à droite de L, c’est-à-dire un morphisme de B -modules à droite δ : V ⟶ V ⊗_{B} L vérifiant les axiomes suivants :

(δ ⊗_{B} 1_{L})δ = (1_{V} ⊗_{B}Δ)δ ,
(1_{V} ⊗_{B}ε)δ = 1_{V} .

Un morphisme de L-comodules à droite est un morphisme de B -modules à droite compatible aux coactions. On note Comod L la catégorie des L-comodules à droite, comod L la sous-catégorie pleine de Comod L des comodules dont le B -module sous-jacent est de type fini, et U_{L} le foncteur oubli Comod L ⟶ Mod B.

Tout morphisme f : L ⟶ L′ de cogébroïdes de base B induit un foncteur image directe

f_{∗} : Comod L ⟶ Comod L′
(V, δ) ↦ (V, (1_{V} ⊗_{B}f)δ) .

On définit de même les notions de coaction à gauche et de comodule à gauche. Se donner une coaction à gauche de L sur un B -module à gauche V revient à se donner une coaction à droite de L^{o} sur le B^{o} -module à droite V^{o}.

2.1.3. Remarque. Soit X = (V, δ) un L-comodule à droite, et supposons V projectif de type fini comme B -module. Soit ^{∗}V = Hom_{B}(V, B) : si l’on considère V comme un (k, B)- bimodule, ^{∗}V n’est autre que le dual à gauche de V tel qu’il est défini en 1.1.3. Alors ∗V est naturellement muni d’une structure de L-comodule à gauche, ou, si l’on préfère, de L^{o} -comodule à droite, la coaction de L étant le composé des morphismes

∗V  w^{1^{∗}^{V} ⊗ coev_{V}} ^{∗}V ⊗ V ⊗_{B} ^{∗}V  w^{1^{∗}^{V} ⊗ δ⊗_{B}1^{∗}_{V}} ^{∗}V ⊗ V ⊗_{B} L ⊗_{B} ^{∗}V  w^{ev_{V} ⊗_{B} 1_{L⊗_{B}^{∗}V}} L ⊗_{B} ^{∗}V .

2.1.4. Soient ϕ : B ⟶ C un morphisme d’algèbres, et L un cogébroïde de base B. Alors C ⊗_{B} L ⊗_{B} C est naturellement muni d’une structure de cogébroïde de base C, qu’on note ϕ_{∗}L. Ceci définit un foncteur image directe ϕ_{∗} : Cog_{B} ⟶ Cog_{C}.

De même, si X = (V, δ) est un L-comodule à droite, V ⊗_{B} C est naturellement muni d’une coaction à droite de ϕ_{∗}L; d’où un foncteur image directe, noté encore ϕ_{∗} : Comod L ⟶ Comod ϕ_{∗}L.

Si, pour i = 1, 2, L_{i} est un cogébroïde de base B_{i}, de coproduit Δ_{i} et de coünité ε_{i}, L_{1} ⊗ L_{2} est naturellement muni d’une structure de cogébroïde de base B_{1} ⊗ B_{2} .

De plus, si X_{i} = (V_{i}, δ_{i}) est un L_{i} -comodule à droite pour i = 1, 2, alors V_{1} ⊗ V_{2} admet une structure naturelle de L_{1} ⊗ L_{2} -comodule à droite, qu’on note X_{1} ⊗ X_{2} ; d’où un foncteur ⊗ : Comod L_{1} × Comod L_{2} ⟶ Comod(L_{1} ⊗ L_{2}).

2.1.5. Supposons B commutatif. La multiplication de B, notée μ_{B}, est un morphisme d’algèbres B ⊗ B ⟶ B. Si L_{1} et L_{2} sont deux cogébroïdes de base B, L = μ_{B}_{∗}(L_{1} ⊗ L_{2}) est un cogébroïde de base B qu’on note L_{1} ⊗_{B^{e}} L_{2} . (Cette notation se justifie par le fait qu’en tant que B^{e} -module, L s’identifie canoniquement au produit tensoriel de L_{1} et L_{2} sur B^{e}.)

Le produit tensoriel ⊗_{B^{e}} ainsi défini fait de Cog_{B} une catégorie monoïdale stricte,^{1} d’objet unité B^{e}.

Pour i = 1, 2, soit L_{i} un cogébroïde de base B et X_{i} = (V_{i}, δ_{i}) un L_{i} -comodule à droite. Alors μ_{B}_{∗}(X_{1} ⊗X_{2}) est un L_{1} ⊗_{B^{e}} L_{2} -comodule à droite, de B -module sous-jacent V_{1} ⊗_{B} V_{2} , et qu’on notera X_{1} ⊗_{B} X_{2} .

2.2. Produit de convolution

2.2.1. Définition. Soient B une algèbre, et L un cogébroïde de base B. Si M est un (B, B)-bimodule, on note C(L, M) le module des applications (B, B)-linéaires de L vers M.

Soient M et N deux (B, B)-bimodules. Si φ ∈ C(L, M) et ψ ∈ C(L, N), l’application (φ⊗_{B} ψ)Δ : L ⟶ M ⊗_{B} N est un élément de C(L, M ⊗_{B} N) appelé produit de convolution de φ et ψ et noté φ ∗ ψ.

Le produit de convolution est associatif, et admet pour élément neutre ε ∈ C(L, B). En particulier, il fait de C(L, B) une algèbre, et de C(L, M) un (C(L, B), C(L, B))-bimodule.

Soient X = (V, δ) un L-comodule à droite, et M un (B, B)-bimodule. Si φ ∈ C(L, M), on note φ_{X} l’application B -linéaire à droite (1_{V} ⊗_{B} φ)δ : V ⟶ V ⊗_{B} M. Lorsque M = B, on définit ainsi sur V une structure de C(L, B)-module à gauche.

2.2.2. Notations. Supposons B commutatif. Si L est un cogébroïde de base B, on pose L^{(n)} = L ⊗_{B^{e}} L ⊗_{B^{e}} ⋯ ⊗_{B^{e}} L (n fois) pour n ∈ ; on note ε^{(n)} la coünité de L^{(n)} . Si M est un (B, B)-bimodule, on pose C^{n}(L, M) = C(L^{(n)}, M). Notons que C^{n}(L, M) s’identifie à l’ensemble des applications de L^{n} dans M qui sont B -linéaires à gauche et à droite en chaque variable. Nous utiliserons indifféremment ces deux points de vue.

Si, pour i = 1,…, n, X_{i} = (V_{i}, δ_{i}) est un L-comodule à droite, X_{1} ⊗_{B} ⋯ ⊗_{B} X_{n} est un L^{(n)} -comodule à droite; pour tout (B, B)-bimodule M et tout φ ∈ C^{n}(L, M), on notera φ_{X_{1},...,X_{n}} l’application φ_{X_{1}⊗_{B}···⊗_{B}X_{n}} : V_{1} ⊗_{B} ⋯ ⊗_{B} V_{n} ⟶ V_{1} ⊗_{B} ⋯ ⊗_{B} V_{n} ⊗_{B} M.

Pour σ ∈ 𝔖_{n} et ψ ∈ C^{n}(L, M) on note ψ_{σ}, ou ψ_{σ(1),...,σ(n)} , l’élément de C^{n}(L, M) défini par la formule :

ψ_{σ}(x_{1},…, x_{n}) = ψ(x_{σ(1)},…, x_{σ(n)}) .

Soit j une injection de {1,…, m} dans {1,…, n}. Pour Ψ ∈ C^{m}(L, B), on définit un élément de C^{n}(L, B), noté Ψ_{j}, ou Ψ_{j(1),...,j(m)} , par la formule :

Ψ_{j}(x_{1},…, x_{n}) = Ψ(x_{j(1)},…, x_{j(n)}) ∏_{i∈{1,...,n}\ Im(j)} ε(x_{i}) .

1 Dans la mesure où on considère Mod B^{e} comme stricte.

3. Cogébroïdes de coendomorphismes

3.1. Définitions

3.1.1. Soient C une catégorie essentiellement petite, B une algèbre, et F un foncteur de C dans proj B. Si M est un (B, B)-bimodule, on entend par morphisme fonctoriel de F vers F ⊗_{B} M la donnée pour chaque objet X de C d’une application B -linéaire à droite φ_{X} : F (X) ⟶ F (X) ⊗_{B} M de telle sorte que, pour tout morphisme f : X ⟶ Y de C, on ait :

(F (f) ⊗_{B} 1_{M})φ_{X} = φ_{Y} F (f) .

On note C(F, M) l’ensemble des morphismes fonctoriels de F vers F ⊗_{B} M. Si N est un second (B, B)-bimodule, on définit un produit de composition

C(F, M) × C(F, N) ⟶ C(F, M ⊗_{B} N)
(φ, ψ) ↦ φ ∘ ψ = (φ ⊗_{B} 1_{N})ψ .

Ce produit est associatif, et admet pour élément neutre 1_{F} ∈ C(F, B).

Le foncteur

Bimod(B, B)⟶ Ens
M ↦ C(F, M)

est représentable. Autrement dit, il existe un (B, B)-bimodule, noté L(F), équipé d’un élément δ_{0} ∈ C(F, L(F)), et tel que pour tout (B, B)-bimodule M et tout φ ∈ C(F, M), il existe un unique morphisme de (B, B)-bimodules φ̃ : L(F) ⟶ M vérifiant φ = (1_{F} ⊗_{B}φ̃)δ_{0} .

En particulier, les élément δ_{0} ∘ δ_{0} ∈ C(F, L(F) ⊗_{B} L(F)) et 1_{F} ∈ C(F, B) correspondent à des application (B, B)-linéaires Δ : L(F) ⟶ L(F) ⊗_{B} L(F) et ε : L(F) ⟶ B; et (L(F), Δ, ε) est un cogébroïde de base B, appelé cogébroïde des coendomorphismes de F.

3.1.2. Étant donné un cogébroïde L de base B, on appelle coaction à droite de L sur F un morphisme fonctoriel δ : F ⟶ F ⊗_{B} L tel que, pour chaque objet X de C, δ_{X} soit une coaction à droite de L sur F (X).

Lorsqu’on munit L(F) de la structure de cogébroïde de base B définie ci-dessus, δ_{0} est une coaction à droite de L(F) sur F, la coaction universelle, et L(F) représente le foncteur

Cog_{B} ⟶ Ens

L ⟶ {coactions à droite de L sur F } .

Pour tout (B, B)-bimodule M, la propriété universelle du bimodule L(F) définit une bijection canonique de C(L(F), M) sur C(F, M); dans cette bijection, le produit de convolution correspond à la composition des morphismes fonctoriels définie ci-dessus. Désormais nous identifierons C(F, M) à C(L(F), M).

3.1.3. La coaction universelle définit un foncteur

F̃ : C ⟶ Comod L(F)
X ↦ (F (X), δ_{0}_{X})

rendant commutatif le diagramme :

Comod L(F) uU_{L}(F)

C w F^{h h hh j} F̃

Mod B .

3.1.4. Remarque. Soient C une catégorie essentiellement petite, et F un foncteur de C dans proj B. Notons F^{%} le foncteur C^{o} ⟶ proj B^{o}, X ⟼ Hom_{B}(F (X), B). En vertu de la remarque 2.1.3, pour tout cogébroïde L de base B, la donnée d’une coaction à droite de L sur F^{%} équivaut à la donnée d’une coaction à gauche de L sur F; d’où un isomorphisme canonique L(F^{%}) →^{∼} L(F)^{o}.

3.2. Fonctorialités

3.2.1. Soient C une catégorie essentiellement petite, et F, F′ deux foncteurs de C vers proj B. Alors tout isomorphisme fonctoriel γ : F →^{∼} F′ définit un isomorphisme de cogébroïdes ad(γ) : L(F) →^{∼} L(F′), correspondant à la coaction à droite de L(F′) sur F via γ. D’autre part, tout foncteur H : C′ ⟶ C définit un morphisme de cogébroïdes L(H) : L(F H) ⟶ L(F), correspondant à la coaction à droite de L(F) sur F H.

3.2.2. On se propose de construire une catégorie Cat_{B}, dont les objets seront les foncteurs F : C ⟶ proj B, de sorte que les fonctorialités ci-dessus s’expriment par l’existence d’un foncteur L : Cat_{B} ⟶ Cog_{B}. Idéalement, on aimerait faire de L une équivalence de catégories; cet aspect de la question fera l’objet du théorème 5.1.4.

Soit Cat_{B}^{0} la catégorie suivante. Les objets de Cat_{B}^{0} sont les foncteurs F : C ⟶ proj B, où C est une catégorie essentiellement petite. Si F : C ⟶ proj B et F′ : C′ ⟶ proj B sont deux objets de Cat_{B}^{0} , les flèches de F vers F′ dans Cat_{B}^{0} sont les couples (H, γ), où H est un foncteur de C vers C′, et γ un isomorphisme fonctoriel F →^{∼} F′H. Si F′′ : C′′ ⟶ proj B est un troisième objet de Cat_{B} et (H′, γ′) une flèche de F′ vers F′′, alors la composée (H′, γ′) ∘ (H, γ) est (H′H, γ′H ∘ γ). L’identité de F est (1_{C}, 1_{F}).

On définit un foncteur L^{0} : Cat_{B}^{0} ⟶ Cog_{B}, sur les objets, par F ↦ L(F), et sur les flèches, par (H, γ) ↦ L(H) ∘ ad(γ).

On considère sur Cat_{B}^{0} la relation d’équivalence R définie comme suit. Si (H, γ) et (H′, γ′) sont deux flèches de Cat_{B}^{0} , de source F et de but F′, alors (H, γ) R (H′, γ′) si et seulement s’il existe un isomorphisme fonctoriel g : H →^{∼} H′ tel que γ′ = F′(g)γ. On observe que deux flèches équivalentes ont même image par L^{0} .

On note Cat_{B} la catégorie quotient de Cat_{B}^{0} par R, et L le foncteur Cat_{B} ⟶ Cog_{B} obtenu par passage au quotient de L^{0} . On note [H, γ] l’image dans Cat_{B} d’une flèche (H, γ) de Cat_{B}^{0} ; c’est un isomorphisme de Cat_{B} si et seulement si H est une équivalence de catégories.

3.2.3. Proposition. Soit [H, γ] un morphisme de Cat_{B} de source F : C ⟶ proj B et de but F′ : C′ ⟶ proj B. Soient M un (B, B)-bimodule, et Ψ un élément de C(L(F′), M), qu’on voit comme un morphisme fonctoriel de F′ vers F′⊗_{B} M (cf. 3.1.2). Alors l’élément Ψ ∘ L(H, γ) ∈ C(L(F), M) correspond au morphisme fonctoriel (γ^{−1} ⊗_{B} 1_{M}) ∘ ΨH ∘ γ : F ⟶ F ⊗_{B} M. ⊓ ⊔

3.2.4. Supposons B commutatif. Si F : C ⟶ proj B et F′ : C′ ⟶ proj B sont deux objets de Cat_{B}, on définit F ⊗_{B} F′ : C × C′ ⟶ proj B par F ⊗_{B} F′ = ⊗_{B} ∘ (F × F′) (autrement dit (F ⊗_{B} F′)(X, Y) = F (X) ⊗_{B} F′(Y)).

D’autre part, notons ∗ la catégorie réduite à un seul objet et un seul morphisme, et si X est un objet d’une catégorie A, notons X_{∗} l’unique foncteur de ∗ vers A prenant la valeur X sur l’unique objet de ∗. En particulier, B_{∗} est un foncteur de ∗ vers proj B.

Le produit tensoriel défini ci-dessus fait de Cat_{B} une catégorie monoïdale d’objet unité le foncteur B_{∗} (avec les contraintes évidentes).

De plus, on a des isomorphismes naturels L(F) ⊗_{B^{e}} L(F′) ≃ L(F ⊗_{B} F′) et B^{e} ≃ L(B_{∗}), faisant de L un foncteur monoïdal de Cat_{B} vers Cog_{B}.

4. Bigébroïdes et quasi-bigébroïdes

Dans toute la section 4, B désigne une algèbre commutative.

4.1. Définitions

4.1.1. Définition. Un bigébroïde de base B est une algèbre dans la catégorie monoïdale des cogébroïdes de base B.

De façon équivalente, c’est un cogébroïde L de base B, muni d’éléments μ ∈ C^{2}(L, L) et η ∈ C^{0}(L, L) vérifiant : (B1) μ : L ⊗_{B^{e}} L ⟶ L est un morphisme de cogébroïdes de base B; (B2) η : B^{e} ⟶ L est un morphisme de cogébroïdes de base B; (B3) η est neutre à gauche et à droite pour μ [on a μ ∘ (η ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = 1_{L} = μ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}η)]; (B4) μ est associatif [on a μ ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = μ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ)].

4.1.2. Définition. Un quasi-bigébroïde de base B est un cogébroïde L de base B muni d’éléments μ ∈ C^{2}(L, L), η ∈ C^{0}(L, L) et Φ ∈ C^{3}(L, B), vérifiant les axiomes suivants :

(QB1) μ : L ⊗_{B^{e}} L ⟶ L est un morphisme de cogébroïdes de base B; (QB2) η : B^{e} ⟶ L est un morphisme de cogébroïdes de base B; (QB3) η est neutre à droite et à gauche pour μ; (QB4) Φ ∗ (μ ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L})) = (μ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ)) ∗ Φ dans C^{3}(L, L); (QB5) (Φ∘(1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}}μ))∗(Φ∘(μ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L})) = Φ_{234} ∗(Φ∘(1_{L} ⊗_{B^{e}}μ⊗_{B^{e}} 1_{L}))∗Φ_{123}

dans C^{4}(L, B); (QB6) Φ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}η ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = ε^{(2)} dans C^{2}(L, B); (QB7) Φ est inversible dans C^{3}(L, B) pour le produit de convolution.

4.1.3. Remarques.

1) La notion de bigébroïde a été introduite par G. Maltsiniotis dans [15] (la définition donnée dans [15] est différente, mais équivalente), et celle de quasi-bigébroïde, dans [3].

2) Soit (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B. On définit deux applications s , b : B ⟶ L, appelées respectivement source et but, par s(x) = η(1 ⊗ x) et b(x) = η(x ⊗ 1).

Il résulte de (QB2) que εη est la multiplication de B, donc on a εs = εb = 1_{B}; en particulier si B ≠ 0, on a L ≠ 0.

3) Si (L, μ, η) est un bigébroïde de base B, (L, μ, η, ε^{(3)}) est un quasi-bigébroïde de base B. Inversement, si (L, μ, η, Φ) est un quasi-bigébroïde tel que Φ = ε^{(3)} , (L, μ, η) est un bigébroïde.

On identifie le bigébroïde (L, μ, η) au quasi-bigébroïde (L, μ, η, ε^{(3)}); ainsi la notion de quasi-bigébroïde généralise la notion de bigébroïde.

4) Soit L = (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B. Si M est un (B, B)-bimodule et φ ∈ C^{n}(L, M), notons φ^{o} l’élément de C^{n}(L^{o}, M^{o}) défini par φ^{o}(x_{1},…, x_{n}) = φ(x_{n},…, x_{1}). Alors L^{o} = (L^{o}, μ^{o}, η^{o}, Φ^{o}) est un quasi-bigébroïde de base B^{o} = B.

5) Soient L = (L, μ, η, Φ) et L′ = (L′, μ′, η′, Φ′) deux quasi-bigébroïdes, de bases respectives B et B′. Alors L⊗L′ est naturellement muni d’une structure de quasi-bigébroïde de base B ⊗B′, qu’on note L⊗L′. Plus précisément, si M est un (B, B)-bimodule, M′ un (B′, B′)-bimodule, φ ∈ C^{n}(L, M) et φ′ ∈ C^{n}(L′, M′), notons φ⊗_{c}φ′ l’élément de C^{n}(L⊗ L′, M ⊗ M′) défini par (φ ⊗_{c} φ′)(x_{1} ⊗ y_{1},…, x_{n} ⊗ y_{n}) = φ(x_{1},…, x_{n}) ⊗ φ′(y_{1},…, y_{n}). Alors L ⊗ L′ = (L ⊗ L′, μ ⊗_{c} μ′, η ⊗_{c} η′, Φ ⊗_{c} Φ′).

6) De même, si L est un quasi-bigébroïde de base B, de cogébroïde sous-jacent L, et si f : B ⟶ C est un morphisme d’algèbres commutatives, f_{∗}L est naturellement muni d’une structure de quasi-bigébroïde de base C, qu’on note f_{∗}L.

7) Drinfeld a introduit dans [8] la notion de quasi-bigèbre. Dans ce travail, nous appellerons quasi-bigèbre la notion, duale à celle de Drinfeld, introduite par Majid [14] et Yetter [20] (de sorte que le dual restreint d’une quasi-bigèbre au sens de Drinfeld sera pour nous une quasi-bigèbre). Avec cette terminologie, une quasi-bigèbre n’est autre qu’un quasi-bigébroïde de base B = k.

4.2. Quasi-bigébroïdes et foncteurs quasi-monoïdaux

4.2.1. Théorème. Soit B une algèbre commutative.

1) Soit L = (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B. Alors il existe sur la catégorie Comod L une structure monoïdale naturelle; on note Rep L la catégorie monoïdale ainsi définie. En outre, le foncteur oubli Comod L ⟶ Mod B est un foncteur quasimonoïdal strict de Rep L vers Mod B, qu’on notera U_{L}. Si L est un bigébroïde, U_{L} est monoïdal strict.

2) Soient C une catégorie monoïdale essentiellement petite, et F un foncteur quasimonoïdal de C dans proj B. Alors L(F) est muni d’une structure naturelle de quasibigébroïde de base B, qu’on note L(F). En outre, le foncteur F̃ : C ⟶ Comod L(F) admet une structure naturelle de foncteur monoïdal de C vers Rep L(F), et le diagramme :

Rep L(F) uU_{L(F)}

C  w F^{h h hh j} F̃  Mod B

est un diagramme commutatif de foncteurs quasi-monoïdaux.

Si F est monoïdal, et seulement dans ce cas, L(F) est un bigébroïde.

Si L est un quasi-bigébroïde, on appellera catégorie des représentations de L la catégorie monoïdale Rep L; une représentation de L sera dite de type fini si son B -module sous-jacent est de type fini, et on notera rep L la sous-catégorie monoïdale pleine de Rep L ayant pour objets les représentations de type fini.

Démonstration. (Voir aussi [8] et [20] pour le cas B = k).

L’assertion 1) est démontrée dans [3]. Rappelons la construction de la structure monoïdale sur Comod L.

On définit un produit tensoriel ⊗_{L} : Comod L×Comod L ⟶ Comod L comme suit. Si X_{1} = (V_{1}, δ_{1}) et X_{2} = (V_{2}, δ_{2}) sont des L-comodules à droite, on définit un L-comodule à droite X_{1} ⊗_{L} X_{2} = (V_{1} ⊗_{B} V_{2}, δ), où δ = μ_{X_{1},X_{2}} : V_{1} ⊗_{B} V_{2} ⟶ V_{1} ⊗_{B} V_{2} ⊗_{B} L (cf. 2.2.2). Que δ soit une coaction à droite résulte par un simple calcul de la condition (QB1). Cette construction est clairement fonctorielle.

L’application η est un morphisme de cogébroïdes de B^{e} dans L par (QB2), donc définit une coaction à droite s de L sur B par s(x) = η(1 ⊗ x). On pose I_{L} = (B, s). La condition (QB3) signifie que I_{L} est neutre à droite et à gauche pour le produit tensoriel. Pour X objet de Comod L, posons r_{X} = l_{X} = 1_{X}.

Soient trois L-comodules à droite X_{i} = (V_{i}, δ_{i}), pour i = 1, 2, 3. Posons a_{X_{1},X_{2},X_{3}} = Φ_{X_{1},X_{2},X_{3}} : V_{1} ⊗_{B} V_{2} ⊗_{B} V_{3} ⟶ V_{1} ⊗_{B} V_{2} ⊗_{B} V_{3} . Il résulte de (QB4) que a_{X_{1},X_{2},X_{3}} est un morphisme de comodules de (X_{1} ⊗_{L} X_{2}) ⊗_{L} X_{3} vers X_{1} ⊗_{L} (X_{2} ⊗_{L} X_{3}). De plus, a est clairement fonctoriel. Des axiomes (QB5) et (QB6) résultent respectivement le pentagone de MacLane et la condition de compatibilité entre a, l et r. Enfin, (QB7) exprime que a est un isomorphisme.

Ainsi, Rep L = (Comod L, ⊗_{L}, I_{L}, a, l, r) est une catégorie monoïdale. En outre, le foncteur oubli U = U_{L} : Comod L ⟶ Mod B vérifie U(X_{1}) ⊗_{B} U(X_{2}) = V_{1} ⊗_{B} V_{2} = U(X_{1} ⊗_{L} X_{2}), et U(I_{L}) = B, donc c’est un foncteur quasi-monoïdal strict de Rep L vers Mod B. Si Φ = ε^{(3)} , a est l’identité, donc U est monoïdal.

Démontrons l’assertion 2), et supposons C stricte pour simplifier. Notons ⊗^{3} le foncteur C^{3} ⟶ C, (X, Y, Z) ↦ X ⊗ Y ⊗ Z. Soit (F, Φ_{2}, Φ_{0}) un foncteur quasi-monoïdal de C vers proj B. Posons L = L(F). Par définition, Φ_{2} est un isomorphisme de F ⊗_{B} F vers F ⊗; autrement dit, M = [⊗, Φ_{2}] est un morphisme de F ⊗_{B} F vers F dans Cat_{B} (cf. 3.2.2). De même, Φ_{0} est un isomorphisme de B vers F (I), donc, avec nos notations (3.2.4), E = [I_{∗}, Φ_{0}] est un morphisme de B_{∗} vers F dans Cat_{B}. On peut donc poser

μ = L(M) : L ⊗_{B^{e}} L ⟶ L et η = L(E) : B^{e} ⟶ L .

Notons que si (F, Φ_{2}, Φ_{0}) est monoïdal, (F, M, E) est une algèbre de Cat_{B}; et comme L est un foncteur monoïdal de Cat_{B} vers Cog_{B}, (L(F), μ, η) est une algèbre de Cog_{B}, c’est-à-dire un bigébroïde de base B.

Revenons au cas général. Soient Φ_{3}^{1}_{X,Y,Z} et Φ_{3}^{2}_{X,Y,Z} les deux isomorphismes fonctoriels de F (X) ⊗_{B} F (Y) ⊗_{B} F (Z) vers F (X ⊗ Y ⊗ Z) définis par :

Φ_{3}^{1}_{X,Y,Z} = Φ_{2}_{X⊗Y,Z}(Φ_{2}_{X,Y} ⊗_{B} 1_{F (Z)}) et Φ_{3}^{2}_{X,Y,Z} = Φ_{2}_{X,Y ⊗Z}(1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{2}_{Y,Z}) .

Posons Φ = (Φ_{3}^{2})^{−1}Φ_{3}^{1} ; c’est un automorphisme de F ⊗_{B} F ⊗_{B} F; on peut donc le considérer comme un élément de C^{3}(L, B). On a

Φ = ε^{(3)} dans C^{3}(L, B) ⟺ Φ_{3}^{1} = Φ_{3}^{2} ⟺ F est monoïdal .

Vérifions maintenant les axiomes (QB1)—(QB7).

Par définition, μ et η sont des morphismes de cogébroïdes; d’autre part, les identités

Φ_{2}_{I,X}(Φ_{0} ⊗_{B} 1_{F (X)}) = 1_{F (X)} = Φ_{2}_{X,I}(1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{0})

se traduisent par M(E ⊗_{B} 1_{F}) = 1_{F} = M(1_{F} ⊗_{B}E) dans Cat_{B}, d’où

μ ∘ (η ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = 1_{L} = μ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}η) ;

ainsi, les axiomes (QB1), (QB2) et (QB3) sont satisfaits.

L’élément Φ de C^{3}(L, B) est inversible, car il correspond à un automorphisme fonctoriel, d’où l’axiome (QB7).

D’autre part, on a dans Cat_{B} les relations M(M ⊗_{B}1_{F}) = [⊗^{3}, Φ_{3}^{1}] et M(1_{F} ⊗_{B}M) = [⊗^{3}, Φ_{3}^{2}], donc M(M ⊗_{B} 1_{F}) = M(1_{F} ⊗_{B}M) ∘ [1_{C^{3}}, Φ]; appliquant à cette identité le foncteur L, et utilisant 3.2.3, on obtient μ(μ ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = Φ^{−1} ∗ μ(1_{L} ⊗_{B^{e}}μ) ∗ Φ, d’où (QB4).

Considérons les cinq isomorphismes fonctoriels de F (X) ⊗_{B} F (Y) ⊗_{B} F (Z) ⊗_{B} F (T) vers F (X ⊗ Y ⊗ Z ⊗ T) définis par :

Φ_{4}^{1}_{X,Y,Z,T} = Φ_{2}_{X⊗Y ⊗Z,T} (Φ_{3}^{1}_{X,Y,Z} ⊗_{B} 1_{F (T)})
= Φ_{3}^{1}_{X⊗Y,Z,T} (Φ_{2}_{X,Y} ⊗_{B} 1_{F (Z)} ⊗_{B} 1_{F (T)}) ,
Φ_{4}^{2}_{X,Y,Z,T} = Φ_{2}_{X⊗Y ⊗Z,T} (Φ_{3}^{2}_{X,Y,Z} ⊗_{B} 1_{F (T)})
= Φ_{3}^{1}_{X,Y ⊗Z,T} (1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{2}_{Y,Z} ⊗_{B} 1_{F (T)}) ,
Φ_{4}^{3}_{X,Y,Z,T} = Φ_{2}_{X,Y ⊗Z⊗T} (1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{3}^{1}_{Y,Z,T})
= Φ_{3}^{2}_{X,Y ⊗Z,T} (1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{2}_{Y,Z} ⊗_{B} 1_{F (T)}) ,
Φ_{4}^{4}_{X,Y,Z,T} = Φ_{2}_{X,Y ⊗Z⊗T} (1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{3}^{2}_{Y,Z,T})
= Φ_{3}^{2}_{X,Y,Z⊗T} (1_{F (X)} ⊗_{B} 1_{F (Y)} ⊗_{B}Φ_{2}_{Z,T}) ,
Φ_{4}^{5}_{X,Y,Z,T} = Φ_{3}^{1}_{X,Y,Z⊗T} (1_{F (X)} ⊗_{B} 1_{F (Y)} ⊗_{B}Φ_{2}_{Z,T})
= Φ_{3}^{2}_{X⊗Y,Z,T} (Φ_{2}_{X,Y} ⊗_{B} 1_{F (Z)} ⊗_{B} 1_{F (T)}) .

On a (Φ_{4}^{2})^{−1}Φ_{4}^{1} = Φ ⊗_{B} 1_{F} , autrement dit, on a dans C^{4}(L, B) : (Φ_{4}^{2})^{−1}Φ_{4}^{1} = Φ_{123} , et de même : (Φ_{4}^{4})^{−1}Φ_{4}^{3} = Φ_{234} .

D’autre part, calculons (Φ_{4}^{5})^{−1}Φ_{4}^{1} . On a :

((Φ_{4}^{5})^{−1}Φ_{4}^{1})_{X,Y,Z,T} = (Φ_{2}_{X,Y} ⊗_{B}1_{F (Z)} ⊗_{B} 1_{F (T)})^{−1}Φ_{X⊗Y,Z,T} (Φ_{2}_{X,Y} ⊗_{B}1_{F (Z)} ⊗_{B} 1_{F (T)}) ;

d’où (Φ_{4}^{5})^{−1}Φ_{4}^{1} = Φ ∘ L(M ⊗_{B} 1_{F} ⊗_{B} 1_{F}) = Φ ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L}) par 3.2.3.

Par un calcul semblable, il vient : (Φ_{4}^{4})^{−1}Φ_{4}^{5} = Φ∘(1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}}μ), et (Φ_{4}^{3})^{−1}Φ_{4}^{2} = Φ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ ⊗_{B^{e}} 1_{L}).

Dans C^{4}(L, B), (Φ_{4}^{4})^{−1} ∗ Φ_{4}^{1} est égal d’une part à :

(Φ_{4}^{4})^{−1} ∗ Φ_{4}^{3} ∗ (Φ_{4}^{3})^{−1} ∗ Φ_{4}^{2} ∗ (Φ_{4}^{2})^{−1} ∗ Φ_{4}^{1} = Φ_{234} ∗ (Φ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ ⊗_{B^{e}} 1_{L})) ∗ Φ_{123} ,

et d’autre part, à :

(Φ_{4}^{4})^{−1} ∗ Φ_{4}^{5} ∗ (Φ_{4}^{5})^{−1} ∗ Φ_{4}^{1} = (Φ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}}μ)) ∗ (Φ ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L})) ,

d’où l’axiome (QB5).

Enfin, on a pour X et Y objets de C, Φ_{X,I,Y} = 1_{F (X)} ⊗_{B} 1_{F (Y)} . Il en résulte dans C^{2}(L, B) la relation : Φ(1_{L} ⊗_{B^{e}}η ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = ε^{(2)} , c’est-à-dire (QB6).

Ainsi, L = (L, μ, η, Φ) est un quasi-bigébroïde de base B.

On a vu en 1) comment munir la catégorie Comod L d’une structure monoïdale, notée Rep L, faisant du foncteur oubli un foncteur quasi-monoïdal strict U_{L}. Reste à munir le foncteur F̃ : C ⟶ Rep L d’une structure monoïdale, de sorte que F soit, en tant que foncteur quasi-monoïdal, le composé de U_{L} et de F̃. Cette dernière condition ne nous laisse pas le choix : F̃ doit être muni des mêmes isomorphismes Φ_{2} et Φ_{0} que F. Il se trouve que, pour X, Y ∈ Ob C, Φ_{2}_{X,Y} : F (X) ⊗_{B} F (Y) ⟶ F (X ⊗ Y) est un morphisme de comodules de F̃(X)⊗_{L} F̃(Y) vers F̃(X ⊗Y) par définition de μ, et que Φ_{0} : B ⟶ F (I) est un morphisme de comodules de (B, s) vers F̃(I) par définition de η. La condition (CU) est automatique; quant à la condition (CA), elle est vraie par définition de Φ. ⊓ ⊔

4.2.2. Remarque. Soient L un quasi-bigébroïde de base B, et I_{L} = (B, s) la représentation unité de L. Alors End_{Rep L}(I_{L}) = {x ∈ B | s(x) = b(x)}, où s (resp. b) dénote le morphisme source (resp. but) de L.

4.3. Morphismes de quasi-bigébroïdes et “twists de Drinfeld”

4.3.1. Définition. Soient L = (L, μ, η, Φ) et L′ = (L′, μ′, η′, Φ′) deux quasi-bigébroïdes de base B. Un morphisme de quasi-bigébroïdes de L vers L′ est un morphisme de cogébroïdes f : L ⟶ L′ vérifiant f ∘ μ = μ′ ∘ (f ⊗_{B^{e}} f), f ∘ η = η′, et Φ = Φ′ ∘ (f ⊗_{B^{e}} f ⊗_{B^{e}} f).

On note QBig′_{B} la catégorie ayant pour objets les quasi-bigébroïdes de base B, et pour flèches les morphismes de quasi-bigébroïdes.

La proposition suivante résulte directement des constructions données dans la démonstration du théorème 4.2.1.

4.3.2. Proposition.

1) Soient L et L′ deux quasi-bigébroïdes de base B, et f un morphisme de quasibigébroïdes de L vers L′.

Alors le foncteur f_{∗} : Comod L ⟶ Comod L′ est un foncteur monoïdal strict de Rep L vers Rep L′ rendant commutatif le diagramme de foncteurs quasi-monoïdaux :

Rep L′ uU_{L′}

Rep L w U_{L}^{h h hh j} f_{∗}

Mod B

2) Soient C et C′ deux catégories monoïdales, F : C ⟶ proj B un foncteur quasimonoïdal, et H un foncteur monoïdal C′ ⟶ C. Alors L(H) est un morphisme de quasibigébroïdes de L(F H) vers L(F).

3) Soient L un quasi-bigébroïde de base B, et V la sous-catégorie monoïdale pleine de Rep L dont les objets sont les représentations de L dont le B -module sous-jacent est projectif de type fini. Soit u_{L} : V ⟶ proj B le foncteur oubli. Le morphisme de cogébroïdes défini par la coaction à droite de L sur u_{L} est un morphisme de quasi-bigébroïdes L(u_{L}) ⟶ L. ⊓ ⊔ 4.3.3. Définition. Soit L = (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B. Notons Tw(L) l’ensemble des t ∈ C^{2}(L, B) inversibles vérifiant la condition

(Tw)  t ∘ (η ⊗_{B^{e}} 1_{L}) = ε = t ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}η) .

Pour tout t ∈ Tw(L), posons

μ^{t} = t^{−1} ∗ μ ∗ t, Φ^{t} = (ε ⊗_{B^{e}} t^{−1}) ∗ (t^{−1} ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ)) ∗ Φ ∗ (t ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L})) ∗ (t ⊗_{B^{e}} ε) .

Alors (L, μ^{t}, η, Φ^{t}) est un quasi-bigébroïde de base B, qu’on appelle twist de Drinfeld de L par t, et qu’on note L^{t}.

4.3.4. Proposition.

1) Soit L un quasi-bigébroïde de base B, de cogébroïde sous-jacent L, et soit t ∈ Tw(L). Alors l’identité de Comod L, munie de Φ_{2}_{X,Y} = t_{X,Y} et de Φ_{0} = 1_{B}, est une équivalence de catégories monoïdales de Rep L vers Rep L^{t}.

2) Soient C une catégorie monoïdale, et F, G deux foncteurs quasi-monoïdaux de C vers proj B. Alors tout isomorphisme fonctoriel quasi-monoïdal γ : F ⟶ G définit un élément t_{γ} ∈ Tw(L(F)) tel que ad(γ) soit un isomorphisme de quasi-bigébroïdes de L(F)^{t_{γ}} sur L(G).

Démonstration.

1) Soient X, Y deux L-comodules à droite, et V , W les B -modules sous-jacents. Par définition de μ^{t}, t_{X,Y} : V ⊗_{B} W ⟶ V ⊗_{B} W est un isomorphisme de comodules de X ⊗_{L^{t}} Y vers X ⊗_{L} Y . Ainsi (1_{Comod L}, Φ_{2}, Φ_{0}) est un foncteur prémonoïdal de Rep L vers Rep L^{t}. Les conditions (CA) et (CU) résultent respectivement de la définition de Φ^{t} et du fait que t vérifie (Tw).

2) Les foncteurs quasi-monoïdaux F et G sont en réalité des données (F, Φ_{2}, Φ_{0}) et (G, Ψ_{2}, Ψ_{0}). Soit t l’automorphisme de F ⊗_{B} F défini par

t_{X,Y} = Φ_{2}_{X,Y}^{−1} γ_{X⊗Y}^{−1} Ψ_{2}_{X,Y} (γ_{X} ⊗_{B} γ_{Y}) .

On a γ_{I}Φ_{0} = Ψ_{0} , donc t_{X,I} = Φ_{2}_{X,I}^{−1}γ_{X}^{−1}Ψ_{2}_{X,I}(γ_{X} ⊗_{B} Ψ_{0}Φ_{0}^{−1}) = Φ_{2}_{X,I}^{−1}(1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{0}^{−1}) = 1_{F (X)} ⊗_{B} 1_{F (I)} ; et de même, t_{I,X} = 1_{F (I)} ⊗_{B} 1_{F (X)} . Ainsi t s’identifie à un élément inversible de C^{2}(L(F), B) vérifiant (Tw); c’est donc un élément de Tw(L(F)).

Montrons à présent que le morphisme de cogébroïdes ad(γ) : L(F) ⟶ L(G) est un morphisme de bigébroïdes de L(F)^{t} vers L(G). Soit (F, Φ′_{2}, Φ_{0}) l’unique structure quasimonoïdale sur F telle que γ soit monoïdal de (F, Φ′_{2}, Φ_{0}) vers (G, Ψ_{2}, Ψ_{0}). Alors ad(γ) est un isomorphisme de quasi-bigébroïdes de L(F, Φ′_{2}, Φ_{0}) sur L(G). Or on a t = Φ_{2}^{−1}Φ′_{2} , et par construction L(F, Φ′_{2}, Φ_{0}) = L(F, Φ_{2}, Φ_{0})^{t}. Ainsi t_{γ} = t convient. ⊓ ⊔

Les considérations précédentes amènent à considérer un nouveau type de morphismes entre quasi-bigébroïdes.

4.3.5. Définition. Soient L et L′ deux quasi-bigébroïdes de base B. Un quasi-morphisme de quasi-bigébroïdes de source L et de but L′ est un couple (f, t), où t ∈ Tw(L) et f est un morphisme de quasi-bigébroïdes de L^{t} vers L′.

On note QBig_{B} la catégorie ayant pour objets les quasi-bigébroïdes de base B et pour flèches les quasi-morphismes. (Si (f, t) : L ⟶ L′ et (f′, t′) : L′ ⟶ L′′ sont deux flèches de QBig_{B}, leur composée est (f′f, t ∗ (f^{∗}t′)), où f^{∗}t′ = t′ ∘ (f ⊗_{B^{e}} f); l’ identité de L est (1_{L}, ε^{(2)}).)

La catégorie QBig′_{B} apparaît comme une sous-catégorie de QBig_{B} lorsqu’on identifie tout morphisme de quasi-bigébroïdes f : L ⟶ L′ au quasi-morphisme (f, ε^{(2)}).

Soit ϕ = (f, t) : L ⟶ L′ un quasi-morphisme de quasi-bigébroïdes de base B. Alors t définit une équivalence de catégories monoïdales Rep L ⟶ Rep L^{t} (4.3.4), et f définit un foncteur monoïdal Rep L^{t} ⟶ Rep L′ (4.3.2); donc, par composition, ϕ définit un foncteur monoïdal ϕ_{∗} : Rep L ⟶ Rep L′.

Le diagramme de foncteurs quasi-monoïdaux

Rep L′ uU_{L′}

Rep L w U_{L}^{h h hh j} ϕ_{∗}

Mod B

est commutatif lorsque ϕ est un morphisme de quasi-bigébroïdes. En général, les foncteurs sous-jacents à U_{L} et à U_{L′}ϕ_{∗} sont égaux, et l’identité est un isomorphisme fonctoriel quasi-monoïdal (mais non nécéssairement monoïdal) de U_{L} vers U_{L′}ϕ_{∗}.

4.3.6. On se propose maintenant de construire une catégorie QMon_{B}, dont les objets seront les foncteurs quasi-monoïdaux F : C ⟶ proj B, C étant une catégorie monoïdale, de sorte que les propriétés de fonctorialité de L s’expriment par l’existence d’un foncteur L : QMon_{B} ⟶ QBig_{B}. On s’inspire pour cela du travail fait en (3.2.2).

Soit QMon_{B}^{0} la catégorie suivante. Les objets de QMon_{B}^{0} sont les foncteurs quasimonoïdaux F : C ⟶ proj B, où C est une catégorie monoïdale essentiellement petite. Si F : C ⟶ proj B et F′ : C′ ⟶ proj B sont deux objets de QMon_{B}^{0} , les morphismes de F vers F′ dans QMon_{B}^{0} sont les couples (H, γ), où H est un foncteur monoïdal de C vers C′, et γ un isomorphisme fonctoriel quasi-monoïdal F →^{∼} F′H.

Si (H, γ) est une telle flèche, H définit un morphisme de quasi-bigébroïdes L(H) : L(F′H) ⟶ L(F′) (4.3.2), et γ définit un quasi-isomorphisme de quasi-bigébroïdes (ad(γ), t_{γ}) : L(F) ⟶ L(F′H) (4.3.4) qu’on note Ad(γ). On définit un foncteur L^{0} : QMon_{B}^{0} ⟶ QBig_{B}, sur les objets, par F ↦ L(F), et sur les flèches, par (H, γ) ↦ L(H) ∘ Ad(γ).

On considère sur QMon_{B}^{0} la relation d’équivalence R définie comme suit. Si (H, γ) et (H′, γ′) sont deux flèches de QMon_{B}^{0} , de source F et de but F′, alors (H, γ) R (H′, γ′) si et seulement s’il existe un isomorphisme fonctoriel monoïdal g : H →^{∼} H′ tel que γ′ = F′(g)γ. On observe que deux flèches équivalentes ont même image par L^{0} .

On note QMon_{B} la catégorie quotient de QMon_{B}^{0} par R, et L le foncteur de QMon_{B} vers QBig_{B} obtenu par passage au quotient de L^{0} . On note [H, γ] l’image dans QMon_{B} d’une flèche (H, γ) de QMon_{B}^{0} . C’est un isomorphisme de QMon_{B} si et seulement si H est une équivalence de catégories monoïdales.

On notera QMon′_{B} la sous-catégorie de QMon_{B} ayant mêmes objets, et dont les flèches sont les [H, γ] avec γ monoïdal. L’image de QMon′_{B} par L est contenue dans QBig′_{B} (4.3.2).

4.4. Antipode

4.4.1. Conventions. Soit L = (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B. On note s le morphisme source, et b le morphisme but (cf. 4.1.3, 2)).

On note _{s}L_{s} (resp. _{b}L_{s}, resp. _{s}L_{b}, resp. _{b}L_{b}) la structure de (B, B)-bimodule sur L définie en posant, pour x, y ∈ B et m ∈ L, x · m · y = mxy (resp. xmy, resp. ymx, resp. xym). On a donc _{b}L_{s} = L et _{s}L_{b} = L^{o}.

D’autre part, on fera l’abus consistant à noter encore μ les composées de μ avec les surjections canoniques L⊗_{B} L^{o} ⟶ L^{(2)} et L^{o} ⊗_{B} L ⟶ L^{(2)} ; de même on notera Φ (resp. Φ^{−1} ) la composée de Φ (resp. Φ^{−1} ) avec la surjection canonique de L ⊗_{B} L^{o} ⊗_{B} L (resp. L^{o} ⊗_{B} L ⊗_{B} L^{o}) sur L^{(3)} .

4.4.2. Définition. Soit L = (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B. On appelle antipode de L la donnée d’un élément S de C^{1}(L, L^{o}) et de deux éléments α, β de C^{1}(L, B) vérifiant :

(A1) S : L ⟶ L^{o} est un morphisme de cogébroïdes;

(A2) s ∘ α = μ ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L}) dans C^{1}(L, _{s}L_{s}); (A3) b ∘ β = μ ∘ (1_{L} ∗β ∗ S) dans C^{1}(L, _{b}L_{b}); (A4) Φ ∘ (1_{L} ∗β ∗ S ∗ α ∗ 1_{L}) = ε = Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β ∗ S) dans C^{1}(L, B). On dit que L est un quasi-bigébroïde de Hopf s’il possède un antipode (S, α, β) avec

S bijectif.

4.4.3. Remarque. Si L (resp. L′) est un quasi-bigébroïde de base B (resp. B′), et si (S, α, β) (resp. (S′, α′, β′) ) est un antipode de L (resp. L′), alors (S ⊗_{c} S′, α⊗_{c} α′, β ⊗_{c} β′) est un antipode de L ⊗ L′. En particulier, si L et L′ sont des quasi-bigébroïdes de Hopf, il en va de même de L ⊗ L′.

De même, si L est un quasi-bigébroïde de Hopf, et (S, α, β) un antipode de L, alors (S^{o}, β^{o}, α^{o}) est un antipode de L^{o}. En particulier, si L est un quasi-bigébroïde de Hopf, il en va de même de L^{o}.

4.4.4. Proposition. Soit L = (L, μ, η, Φ) un quasi-bigébroïde de base B.

1) Soit u un élément inversible de C^{1}(L, B); si (S, α, β) est un antipode de L, il en va de même de (u^{−1} ∗ S ∗ u, u^{−1} ∗ α, β ∗ u).

2) Soient (S, α, β) et (S′, α′, β′) deux antipodes de L. Alors il existe un unique élément inversible u de C^{1}(L, B) vérifiant S′ = u^{−1} ∗ S ∗ u, α′ = u^{−1} ∗ α, β′ = β ∗ u.

Démonstration.

L’assertion 1) résulte d’un simple calcul. Vérifions l’assertion 2). La démonstration est essentiellement la même que celle du résultat analogue pour les quasi-bigèbres ([8], proposition 1.1). Si u vérifie les conditions indiquées, on a u = ε ∗ u = Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β ∗ S) ∗ u = Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β ∗ S ∗ u) = Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β′ ∗ S′), d’où l’unicité.

Soit u = Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β′ ∗ S′). Dans C^{3}(L, L), l’identité (QB4) peut s’écrire

(μ ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L})) ∗ Φ^{−1} = Φ^{−1} ∗ (μ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ)) .

Or un calcul fastidieux à écrire, mais sans réelle difficulté, utilisant le fait que S et S′ sont des morphismes de cogébroïdes de L vers L^{o}, ainsi que l’égalité μ(S ∗α∗1_{L}) = sα, montre que {(μ∘(μ⊗_{B^{e}} 1_{L}))∗Φ^{−1}}∘(S ∗α∗1_{L} ∗β′ ∗S′) est égal à u∗S′; et de même, utilisant cette fois l’égalité μ(1_{L} ∗β′∗S′) = bβ′, on montre que {Φ^{−1}∗(μ∘(1_{L} ⊗_{B^{e}}μ))}∘(S ∗α∗1_{L} ∗β′∗S′) est égal à S ∗ u, d’où u ∗ S′ = S ∗ u.

Considérons maintenant dans C^{4}(L, B) l’identité (QB5), qu’on écrit sous la forme

Φ_{234} ∗ (Φ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}}μ ⊗_{B^{e}} 1_{L})) = (Φ ∘ (1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}}μ)) ∗ (Φ ∘ (μ ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L})) ∗ Φ_{123}^{−1} .

Lorsqu’on compose le premier membre de cette identité avec l’élément U = S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β′ ∗ S′ ∗ α′ ∗ 1_{L} de C(L, L^{o} ⊗_{B} L ⊗_{B} L^{o} ⊗_{B} L), on obtient un élément de C(L, B) qui, par un calcul du même type que le précédent, est égal à α. D’autre part, lorsqu’on compose le second membre de l’identité avec le même élément U, on obtient u ∗ α′ (par un calcul utilisant entre autres l’identité Φ∘(1_{L} ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}}η) = ε^{(2)} , qui résulte de (QB1)—(QB7)). On a donc α = u∗α′, et, par raison de symétrie, β∗u = β′. En particulier, u∗S′∗α′ = S∗α, et S ∗ β ∗ u = S′ ∗ β′.

Pour conclure, montrons que u est inversible. Soit v = Φ^{−1} ∘ (S′ ∗ α′ ∗ 1_{L} ∗β ∗ S); alors u ∗ v = Φ^{−1} ∘ (u ∗ S′ ∗ α′ ∗ 1_{L} ∗β ∗ S) = Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗β ∗ S) = ε, et, de même, v ∗ u = ε. ⊓ ⊔

4.4.5. Théorème. Soit B une algèbre commutative.

1) Soit L un quasi-bigébroïde de base B, et soit V la sous-catégorie monoïdale pleine de Rep L ayant pour objets les représentations de L dont le B -module sous-jacent est projectif de type fini. La donnée d’un antipode (S, α, β) de L définit sur la catégorie V une structure autonome à gauche, pour laquelle le foncteur oubli u_{L} : V ⟶ proj B est autonome à gauche. Si on suppose de plus S bijectif, V est autonome.

2) Soit C une catégorie monoïdale munie d’une structure autonome à gauche ^{∨}? et soit F : C ⟶ proj B un foncteur quasi-monoïdal. Alors la donnée d’une structure autonome à gauche Φ_{1} sur F définit un antipode (S, α, β) de L(F). Si de plus C est autonome, S est bijectif.

Démonstration.

L’assertion 1) est démontrée dans [3]. Rappelons la construction de la structure autonome à gauche sur V associée à un antipode (S, α, β).

On peut voir S comme un morphisme de cogébroïdes de L^{o} vers L, qu’on note S^{o}. Soit X = (V, δ) un L-comodule à droite tel que V soit un B -module projectif de type fini; soit (^{∗}V , V, ev_{V} , coev_{V}) la dualité canonique (voir 1.1.3, exemple 2)). Alors ^{∗}V est naturellement muni d’une structure de L^{o} -comodule à droite (cf. 2.1.3). Soit ^{∨}X le Lcomodule à droite image directe de ^{∗}V par S^{o}.

Posons e_{X} = ev_{V} ∘(1_{V^{∗}} ⊗_{B}α_{X}) et h_{X} = (β_{X} ⊗_{B} 1_{V^{∗}}) ∘ coev_{V} . Il résulte de (A2) et (A3) respectivement que e_{X} est un morphisme de comodules de ^{∨}X ⊗_{L} X vers I_{L}, et h, de I_{L} vers X ⊗_{L} ^{∨}X. Il résulte de (A4) que (^{∨}X, X, e_{X}, h_{X}) est une dualité de Rep L. On vérifie que ^{∗}? ∘ u_{L} = u_{L} ∘^{∨}?, donc l’identité est une structure autonome à gauche sur u_{L}.

Démontrons l’assertion 2).

Posons L = L(F). L’isomorphisme fonctoriel Φ_{1}_{X} : ^{∗}F (X) →^{∼} F (^{∨}X) définit un morphisme [^{∨}?, Φ_{1}] de F^{%} vers F dans Cat_{B}; alors L(^{∨}?, Φ_{1}) est un morphisme de cogébroïdes de L(F^{%}), qui s’identifie à L^{o} par 3.1.4, vers L; on peut aussi le voir comme un morphisme de cogébroïdes S : L ⟶ L^{o}. La catégorie C est autonome si et seulement si ^{∨}? est une équivalence de catégories, ce qui implique la bijectivité de S.

Soit X un objet de C. Puisque F (X) est muni d’une coaction à droite de L, ^{∗}F (X) est muni, par 2.1.3, d’une coaction à droite de L^{o}. Ainsi, F (^{∨}X) est muni d’une coaction à droite de L, et, par transport de structure via l’isomorphisme Φ_{1}_{X} : ^{∗}F (X) →^{∼} F (^{∨}X), d’une coaction à droite de L^{o}. Par construction de S, la structure de L-comodule à droite de F (^{∨}X) est l’image directe par S^{o} : L^{o} ⟶ L de sa structure de L^{o} -comodule à droite. Soient e′_{X} = ev_{F (X)}(Φ_{1}_{X}^{−1} ⊗_{B} 1_{F (X)}) et h′_{X} = (1_{F (X)} ⊗_{B}Φ_{1}_{X}) coev_{F (X)} . Alors (F (^{∨}X), F (X), e′_{X}, h′_{X}) est une dualité de proj B. Par définition de S, on a pour tout (B, B)-bimodule M et tout ψ ∈ C^{3}(L, M) l’identité :

(*)  {ψ ∘ (1_{L} ∗S ∗ 1_{L})}_{X} = (1_{F (X)} ⊗_{B} e′_{X} ⊗_{B} 1_{M}) ∘ ψ_{X,^{∨}X,X} ∘ (h′_{X} ⊗_{B} 1_{F (X)}) .

Posons E_{X} = Φ_{0}^{−1}F (e_{X})Φ_{2}_{^{∨}X,X} et H_{X} = Φ_{2}^{−1}_{X,^{∨}X}F (h_{X})Φ_{0} , et soient α et β les deux endomorphismes fonctoriels de F construits en 1.3.2 et caractérisés par

E_{X} = e′_{X}(1_{F (^{∨}X)} ⊗_{B} α_{X}) et H_{X} = (β_{X} ⊗_{B} 1_{F (^{∨}X)}) .

On observe que E_{X} est un morphisme de L-comodules de F (^{∨}X)⊗_{B}F (X) vers (B, s); ceci se traduit par l’identité s ∘ E_{X} = (E_{X} ⊗_{B} 1_{L})μ_{^{∨}X,X} dans Hom_{B}(F (^{∨}X) ⊗_{B} F (X), L). Dans l’isomorphisme naturel Hom_{B}(F (^{∨}X) ⊗_{B} F (X), L) →^{∼} Hom_{B}(F (X), F (X) ⊗_{B} L), cette équation se lit

(s ∘ α)_{X} = (1_{F (X)} ⊗_{B} e′_{X} ⊗_{B} 1_{M}) ∘ ψ_{X,^{∨}X,X} ∘ (h′_{X} ⊗_{B} 1_{F (X)}) ,

où ψ = ε ⊗_{B^{e}} μ((1_{L} ∗α) ⊗_{B^{e}} 1_{L}); donc par (∗), (s ∘ α)_{X} = {μ ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L})}_{X}, d’où la relation (A2). De même, la relation (A3) traduit le fait que H_{X} est un morphisme de L-comodules de (B, s) vers F (X) ⊗_{B} F (^{∨}X).

Enfin, on a 1_{X} = (1_{X} ⊗ e_{X})(h_{X} ⊗ 1_{X}), donc 1_{F (X)} = F ((1_{X} ⊗ e_{X})(h_{X} ⊗ 1_{X})). Or F (h_{X} ⊗ 1_{X}) = Φ_{3}^{1}_{X,^{∨}X,X}(H_{X} ⊗_{B} 1_{F (X)}) et F (1_{X} ⊗ e_{X}) = (1_{F (X)} ⊗_{B}E_{X})(Φ_{3}^{2})_{X,^{∨}X,X}^{−1} ; donc 1_{F (X)} = (1_{F (X)} ⊗_{B}E_{X})Φ_{X,^{∨}X,X}(H_{X} ⊗_{B} 1_{F (X)}) = {Φ(1_{L} ∗ β ∗ S ∗ α ∗ 1_{L})}_{X} par (∗) appliquée à ψ = Φ((1_{L} ∗ β) ⊗_{B^{e}} 1_{L} ⊗_{B^{e}}(α ∗ 1_{L})); d’où la première identité de (A4). De même, (e_{X} ⊗ 1_{^{∨}X})(1_{^{∨}X} ⊗ h_{X}) = 1_{^{∨}X}, donc 1_{F (^{∨}X)} = F ((e_{X} ⊗ 1_{^{∨}X})(1_{^{∨}X} ⊗h_{X})); et on constate que, dans l’isomorphisme canonique End_{B}(F (^{∨}X)) ≃ End_{B}(F (X)), cette relation se lit 1_{F (X)} = {Φ^{−1} ∘ (S ∗ α ∗ 1_{L} ∗ β ∗ S)}_{X}, d’où la seconde identité de (A4). ⊓ ⊔

4.4.6. Remarque. En raison de la non-unicité de l’antipode, mise en évidence dans la proposition 4.4.4, il peut se révéler utile de définir la notion de quasi-bigébroïde ‘localement de Hopf’, correspondant à la situation où l’antipode existe seulement localement par rapport à la base B. Conjointement, on peut définir la notion de foncteur ‘localement autonome’ (pour lequel Φ_{1} existe seulement localement par rapport à la base). Le théorème 4.4.5 admet évidemment une version locale. Cependant, dans les situations qui nous intéresseront, on pourra se limiter au cas où la base est un corps, et dans ce cadre, les notions globales coïncident avec les notions locales.

5. Dualité tannakienne

Dans toute la section 5, k désigne un corps commutatif.

5.1. Cogébroïdes semi-transitifs

Définition. Une catégorie k -linéaire A est dite localement de type fini si 1) pour tous objets X, Y de A, Hom_{A}(X, Y) est de dimension finie sur k;

2) tout objet de A est de longeur finie.

5.1.1. Définition. Soit B une algèbre. Un k -cogébroïde L de base B est dit semi-transitif s’il vérifie les trois conditions suivantes : ST1 tout objet de comod L est projectif en tant que B -module; ST2 tout objet de Comod L est limite inductive filtrante d’objets de comod L; ST3 la catégorie k -linéaire comod L est localement de type fini.

5.1.2. Remarques.

1) Une cogèbre, vue comme cogébroïde de base B = k, est toujours semi-transitive.

2) Soit L un cogébroïde semi-transitif de base B. Alors (i) les catégories comod L et Comod L sont abéliennes, l’inclusion comod L ⟶ Comod L et le foncteur oubli U_{L} : Comod L ⟶ Mod B sont exacts; (ii) U_{L} est à valeurs dans Proj B; (iii) Comod L est équivalente à la catégorie des Ind-objets de comod L ([2], 5.1).

3) Si un cogébroïde L, de base B, est projectif en tant que B^{e} -module et vérifie ST3, il est semi-transitif. La réciproque est vraie lorsque k est parfait ([2], théorème 6.1).

5.1.3. Notons Ab_{B} la sous-catégorie pleine de Cat_{B} dont les objets sont les foncteurs F : A ⟶ proj B vérifiant les conditions suivantes :

— A est une catégorie abélienne k -linéaire, localement de type fini;

— le composé de F avec le foncteur d’inclusion proj B ⟶ Mod B est k -linéaire, fidèle et exact (ce qui détermine la structure k -linéaire de A).

Notons d’autre part Cog s tr_{B} la sous-catégorie pleine de Cog_{B} dont les objets sont les cogébroïdes semi-transitifs de base B. On a alors le théorème suivant.

5.1.4. Théorème.

Soit B une algèbre. La restriction à Ab_{B} du foncteur L : Cat_{B} ⟶ Cog_{B} est à valeurs dans Cog s tr_{B}; le foncteur

\underline{L} : Ab_{B} ⟶ Cog s tr_{B}

ainsi défini est une équivalence de catégories.

Plus précisément, pour L objet de Cog s tr_{B}, le foncteur oubli u_{L} : comod L ⟶ proj B est un objet de Ab_{B}, d’où un foncteur \underline{u} : Cog s tr_{B} ⟶ Ab_{B} qui est un quasi-inverse de \underline{L}.

Démonstration. Le théorème 5.2 de [2] affirme que si F : A ⟶ proj B est un objet de Cat_{B}, L(F) est un cogébroïde semi-transitif, et le foncteur F̃ induit une équivalence de catégories A ⟶ comod L(F) au-dessus de proj B. D’autre part, si L est un cogébroïde semi-transitif de base B, la catégorie comod L est abélienne localement de type fini, et le foncteur oubli u_{L} : comod L ⟶ Mod B est exact et prend ses valeurs dans proj B (cf 5.1.2); c’est donc un objet de Ab_{B}. En outre, le morphisme naturel de cogébroïdes L(u_{L}) ⟶ L est un isomorphisme ([2], 5.8).

Les foncteurs \underline{L} et \underline{u} sont donc bien définis, et on a des isomorphismes naturels

F →^{∼} \underline{u} ∘ \underline{L}(F) et \underline{L} ∘ \underline{u}(L) →^{∼} L. ⊓ ⊔

5.2. Quasi-foncteurs fibre

Rappelons que k est un corps commutatif. On appelle catégorie tensorielle sur k, ou simplement catégorie tensorielle, une catégorie abélienne k -linéaire T munie d’une structure monoïdale telle que le produit tensoriel ⊗ soit k -linéaire en chaque variable, et l’objet unité I vérifie End(I) = k.

5.2.1. Définition. Soient T une catégorie tensorielle autonome, et B une algèbre commutative. On appelle quasi-foncteur fibre de T sur B tout foncteur quasi-monoïdal autonome ω : T ⟶ proj B dont le foncteur sous-jacent, vu comme un foncteur à valeurs dans Mod B, est k -linéaire exact à droite.

Si B est non nulle, on dit que le quasi-foncteur fibre ω est non trivial.

5.2.2. Proposition. Soient T une catégorie tensorielle autonome, et ω un quasi-foncteur fibre de T sur B. Alors :

(i) le foncteur sous-jacent à ω est exact de T vers Mod B, et si B ≠ 0, il est fidèle; (ii) pour tout morphisme d’algèbres commutatives B ⟶ C, ω ⊗_{B} C est un quasi-foncteur

fibre de T sur C; (iii) pour tout objet X de T , l’application canonique

Hom_{T} (I, X) ⊗ B ⟶ Hom_{B}(ω(I), ω(X))
f ⊗ x ↦ ω(f)x

est injective; (iv) en particulier, si T admet un quasi-foncteur fibre non trivial, elle est localement de

type fini.

Démonstration.

(i) On voit ω comme un foncteur de T dans Mod B. Montrons son exactitude. Puisque T est autonome, le foncteur ^{∨}? est une équivalence de catégories de T^{o} dans T (en particulier, il est exact); il suffit donc de vérifier que ω ∘^{∨}? est exact. Soit

0 ⟶ Y′ ⟶ Y ⟶ Y′′ ⟶ 0

une suite exacte courte de T . Le foncteur ω étant par hypothèse exact à droite, on a les suites exactes

ω(Y′) ⟶ ω(Y) ⟶ ω(Y′′) ⟶ 0 et ω(^{∨}Y′′) ⟶ ω(^{∨}Y) ⟶ ω(^{∨}Y′) ⟶ 0 ;

le foncteur Hom_{B}(?, B) étant exact à gauche, on a donc la suite exacte

0 ⟶ ^{∗}ω(Y′′) ⟶ ^{∗}ω(Y) ⟶ ^{∗}ω(Y′) ,

et en vertu de l’existence d’un isomorphisme fonctoriel ω(^{∨}X) ≃ ^{∗}ω(X),

0 ⟶ ω(^{∨}Y′′) ⟶ ω(^{∨}Y) ⟶ ω(^{∨}Y′) ⟶ 0

est une suite exacte.

Montrons que ω est fidèle si B ≠ 0. Soit X un objet non nul de A, et montrons que ω(X) est non nul. Il résulte de l’identité 1_{X} = (1_{X} ⊗ e_{X})(h_{X} ⊗ 1_{X}) que le morphisme d’évaluation e_{X} : ^{∨}X ⊗_{B} X ⟶ I est non nul. Or, l’objet unité I est un objet simple de T (voir [2], 2.4), donc e_{X} est un épimorphisme. Ainsi, ω(e_{X}) est un épimorphisme de ω(^{∨}X ⊗ X) ≃ ω(^{∨}X) ⊗_{B} ω(X) vers ω(I) ≃ B. Puisque B est non nul, on a ω(X) ≠ 0. Comme A est abélienne et ω exact, ceci implique que ω est fidèle.

(ii) Le foncteur ? ⊗_{B} C : Mod B ⟶ Mod C est monoïdal et k -linéaire exact à droite, donc ω ⊗_{B} C : X ↦ ω(X)⊗_{B} C est quasi-monoïdal autonome de C dans proj C, k -linéaire et exact à droite de C dans Mod C, d’où l’assertion.

(iii) Soit (f_{1},… f_{n}) une famille de morphismes de I vers X dans T , et notons f le morphisme I^{n} ⟶ X qu’elle définit. C’est un fait standard que la sous-catégorie pleine de T dont les objets sont les multiples de I est équivalente à vect k et stable par sousquotients (cf. par ex. [2], remarque p. 5827). Il en résulte que si les f_{i} sont libres sur k, f est un monomorphisme. Alors, ω(f) : ω(I)^{n} ⟶ ω(X) est injectif par (i); cela signifie que les ω(f_{i}) sont libres sur B, car ω(I) ≃ B, d’où l’assertion.

(iv) Une algèbre commutative non nulle admet un idéal maximal, donc d’après (ii), on peut supposer que T admet un quasi-foncteur fibre ω sur une extension K de k. La longueur d’un objet X dans T est majorée par la longueur de ω(X) dans Vect K, puisque ω est fidèle exact; or ω est à valeurs dans vect K, donc cette longueur est finie.

D’autre part, d’après (iii), dim_{k}(Hom_{T} (I, X)) est majorée par dim_{K} ω(X), donc finie. Soit Y un autre objet de T ; alors Hom_{T} (X, Y) ≃ Hom_{T} (I, Y ⊗ ^{∨}X) est lui aussi de dimension finie. Ainsi, T est localement de type fini. ⊓ ⊔

5.2.3. Proposition. Soient B une algèbre commutative non nulle, et L un quasi-bigébroïde de Hopf de base B, de cogébroïde sous-jacent L.

On suppose d’une part, que L vérifie ST1, et d’autre part, qu’il satisfait la condition T0 : l’ensemble {x ∈ B | s(x) = b(x)} est réduit à k.

Alors rep L est une catégorie tensorielle autonome, et le foncteur oubli u_{L} est un quasi-foncteur fibre de rep L sur B. En particulier, L vérifie ST3.

Démonstration. De ST1 résultent les faits suivants. La catégorie comod L est abélienne, et le foncteur oubli comod L ⟶ Mod B est k -linéaire exact ([2], 5.1). La catégorie V du théorème 4.4.5 coïncide avec rep L; cette dernière est donc autonome, ainsi que le foncteur oubli. Le produit tensoriel de Rep L est k -linéaire en chaque variable, et la condition T0 signifie que les endomorphismes de l’objet unité sont les scalaires (4.2.2). Par conséquent, rep L est tensorielle, autonome, et le foncteur oubli est un quasi-foncteur fibre. ⊓ ⊔

5.3. Dualité tannakienne pour les quasi-bigébroïdes

5.3.1. Définition. Soient B une algèbre commutative non nulle, et L un quasi-bigébroïde de Hopf de base B, de cogébroïde sous-jacent L. On dit que L est transitif si L est semitransitif, et L vérifie la condition T0 (i. e. {x ∈ B | s(x) = b(x)} = k).

5.3.2. Proposition. Soit L un quasi-bigébroïde de Hopf de base B ≠ 0.

(i) L est transitif si et seulement si L vérifie T0, et le cogébroïde sous-jacent à L vérifie ST1 et ST2.

(ii) Si L est transitif, rep L est une catégorie tensorielle autonome, et le foncteur oubli

est un quasi-foncteur fibre de rep L sur B. (iii) Si L est transitif, le B -module sous-jacent à toute représentation de L est projectif,

et, s’il est non nul, il est partout non nul.^{2}

Démonstration. Les assertions (i) et (ii) résultent immédiatement de 5.2.3. Montrons (iii). Soit X = (V, δ) un objet de Rep L. Alors V est projectif (cf. 5.1.2). Supposons X ≠ 0, et montrons qu’alors V est partout non nul. D’après 5.1.2, on peut supposer que X est un objet de rep L; il admet alors un dual à gauche ^{∨}X, et l’évaluation e_{X} : ^{∨}X ⊗_{L} X ⟶ I est, on l’a vu, un épimorphisme de rep L. Le foncteur oubli étant exact, on en déduit une application B -linéaire surjective ^{∗}V ⊗_{B} V ⟶ B; le B -module projectif V est donc partout non nul. ⊓ ⊔

2 Un B -module M est ‘partout non nul’ si son support est Spec B, ce qui, pour M plat (donc en particulier, pour M projectif) équivaut à ‘fidèlement plat’.

5.3.3. Proposition.

Soit L un quasi-bigébroïde de Hopf de base B ≠ 0.

Si le B^{e} -module sous-jacent à L est projectif et partout non nul, L est transitif. La réciproque est vraie si k est parfait.

Démonstration. On a L ≠ 0 d’après la remarque 4.1.3, 2). Soit L le cogébroïde sousjacent à L.

Si L est projectif comme B^{e} -module, il vérifie ST1 et ST2 ([2], proposition 6.2). Si en outre il est partout non nul, il est fidèlement plat, donc son annulateur est nul. L’unité η : B^{e} ⟶ L est donc injective; on a {x ∈ B | s(x) = b(x)} = k, d’où T0. Ainsi, L est transitif par 5.3.2.

Supposons k parfait et L transitif. En tant que B^{e} -module, L est naturellement muni d’une structure de L^{o} ⊗ L-comodule à droite ([2], remarque p. 5832). Autrement dit, c’est une représentation, non nulle, de L^{o} ⊗ L.

5.3.4. Lemme. Soit L un quasi-bigébroïde de Hopf transitif de base B. Alors L^{o} est un quasi-bigébroïde de Hopf transitif.

Soit L′ un autre quasi-bigébroïde de Hopf transitif, de base B′. Si k est parfait, L⊗L′ est un quasi-bigébroïde de Hopf transitif de base B ⊗ B′.

Démonstration. Soit L (resp. L′) le cogébroïde sous-jacent à L (resp. L′). Alors L^{o} est semi-transitif ([2], 5.10), de même que L ⊗ L^{o} si k est parfait ([2], 6.5). Il suffit donc de vérifier que L^{o} et L ⊗ L′ satisfont T0. Pour le premier, c’est immédiat. Pour le second, posons s′′ = s ⊗ s′ et b′′ = b ⊗ b′. Il s’agit de montrer {z ∈ B ⊗ B′ | s′′(z) = b′′(z)} ⊂ k, l’inclusion inverse étant évidente. Soit z vérifiant s′′(z) = b′′(z). Considérons une écriture minimale z = ∑ x_{i} ⊗ y_{i}, avec x_{i} ∈ B et y_{i} ∈ B′. Les x_{i} et les y_{i} sont libres sur k. On a εs = εb = 1_{B}; appliquant ε ⊗ 1_{L′} aux deux membres de l’égalité s′′(z) = b′′(z), il vient donc ∑ x_{i} ⊗ s′(y_{i}) = ∑ x_{i} ⊗ b′(y_{i}). Les x_{i} étant libres, on en déduit s′(y_{i}) = b′(y_{i}), et puisque L′ vérifie T0, on a y_{i} ∈ k. Il en va de même des x_{i}, donc z est un scalaire. ⊓ ⊔

Revenons à la démonstration de 5.3.3 : L est une représentation non nulle de L^{o} ⊗L, quasi-bigébroïde de Hopf transitif de base B^{e} d’après le lemme. C’est donc un B^{e} -module projectif partout non nul, par 5.3.2. ⊓ ⊔

5.3.5. Remarque. Une quasi-bigèbre de Hopf est toujours transitive, en tant que quasibigébroïde de Hopf de base B = k.

5.4. Dualité tannakienne pour les quasi-bigébroïdes de Hopf

5.4.1. Soit QBig tr_{B} (resp. QBig′ tr_{B} ) la sous-catégorie pleine de QBig_{B} (resp. de QBig′_{B}) dont les objets sont les quasi-bigébroïdes de Hopf transitifs. Soit d’autre part QTan_{B} (resp. QTan′_{B}) la sous-catégorie pleine de QMon_{B} (resp QMon′_{B}) dont les objets sont les quasifoncteurs fibre d’une catégorie tensorielle autonome sur B.

5.4.2. Théorème. Soit B une algèbre commutative non nulle.

La restriction à QTan_{B} du foncteur L : QMon_{B} ⟶ QBig_{B} est à valeurs dans QBig tr_{B} ; le foncteur

\underline{L} : QTan_{B} ⟶ QBig tr_{B}

ainsi défini est une équivalence de catégories.

Plus précisément, le foncteur \underline{u} : QBig tr_{B} ⟶ QTan_{B}, qui associe à un quasi-bigébroïde de Hopf transitif L le foncteur oubli u_{L} : rep L ⟶ proj B, est un quasi-inverse de \underline{L}.

En outre, la restriction de \underline{L} à QTan′_{B} est une équivalence de catégories de QTan′_{B} vers QBig′ tr_{B} .

Démonstration. Si T est une catégorie tensorielle autonome et ω un quasi-foncteur fibre de T sur B, L(ω) est un quasi-bigébroïde de Hopf de base B (4.2.1 et 4.4.5); en vertu du théorème 5.1.4, le cogébroïde L(ω) est semi-transitif, et, d’autre part, le foncteur naturel T ⟶ comod L(ω) est une équivalence de catégories. Ainsi le foncteur monoïdal canonique T ⟶ rep L(ω) est une équivalence de catégories monoïdales au-dessus de proj B d’après 4.2.1. En particulier, rep L(ω) est tensorielle, L vérifie T0 (cf. 4.2.2), et il est donc transitif.

Si L est un quasi-bigébroïde de Hopf transitif de base B, le foncteur oubli u_{L} : rep L ⟶ proj B est un objet de QTan_{B} (proposition 5.2.3), et le morphisme de quasibigébroïdes L(u_{L}) ⟶ L introduit en 4.3.2 est un isomorphisme par 5.1.4. D’autre part, on a un isomorphisme naturel de ω vers \underline{u} ∘ \underline{L}(ω) dans QTan′_{B}, d’où le théorème. ⊓ ⊔

5.4.3. Définition. Soient T une catégorie tensorielle autonome, et ω, ω′ deux quasifoncteurs fibres de T sur B. On appelle isomorphisme de ω sur ω′ tout isomorphisme fonctoriel quasi-monoïdal de ω sur ω′. En vertu de 4.3.4, tout isomorphisme γ : ω ⟶ ω′ définit un quasi-isomorphisme Ad(γ) : L(ω) →^{∼} L(ω′).

6. Le cas des catégories tensorielles autonomes semi-simples

Dans toute la section 6, k est un corps algébriquement clos.

6.1. Existence et unicité d’un quasi-foncteur fibre

6.1.1. Soit T une catégorie tensorielle autonome semi-simple, essentiellement petite, localement de type fini. Étant donnée une extension K de k, existe-t-il un quasi-foncteur fibre de T sur K? Et s’il en existe un, est-il unique?

On note Gr^{+} T le semi-anneau de Grothendieck de T ; les éléments de Gr^{+} T sont les classes d’isomorphisme d’objets de T . Le foncteur dual à gauche définit une application x ↦ ^{∨}x de Gr^{+} T dans lui-même. On appelle caractère de T toute application ρ : Gr^{+} T ⟶ vérifiant

ρ(x + y) = ρ(x) + ρ(y), ρ(xy) = ρ(x)ρ(y), ρ(^{∨}x) = ρ(x), et ρ(1) = 1 .

Si ω est un quasi-foncteur fibre de T de base une algèbre B de spectre connexe, on appelle caractère de ω le caractère de T défini par X ↦ rg_{B} ω(X).

6.1.2. Théorème. Soit B une algèbre commutative de spectre connexe.

1) Tout caractère de T est le caractère d’un quasi-foncteur fibre de T de base B.

2) Si tout B -module projectif de type fini est libre,^{3} deux quasi-foncteurs fibre de T de base B sont isomorphes si et seulement s’ils ont même caractère.

Remarque. Il résulte de 6.1.2 que pour tout caractère ρ de T , il existe un quasi-foncteur fibre de T de caractère ρ, et que ce quasi-foncteur fibre est unique à isomorphisme près localement pour la topologie fpqc.

3 Par exemple, si B est locale, ou principale.

Démonstration. Soit S un ensemble. La catégorie V_{S} = ⨁_{s∈S} vect k, sous-catégorie pleine de ∏_{s∈S} vect k dont les objets sont les suites à support fini d’objets de vect k indexées par S, est une catégorie abélienne k -linéaire semi-simple localement de type fini, et toute catégorie abélienne k -linéaire semi-simple localement de type fini est de ce type, à équivalence k -linéaire près.

Si B est une catégorie k -linéaire, la catégorie des foncteurs k -linéaires de V_{S} dans B est canoniquement équivalente à B^{S}, l’équivalence étant donnée par le foncteur F ↦ (F (s))_{s∈S}. De même, la catégorie des foncteurs V_{S} × V_{S} ⟶ B qui sont k -linéaires en chaque variable est canoniquement équivalente à la catégorie B^{S×S}, l’équivalence étant donnée par le foncteur G ↦ (G(s, s′))_{(s,s′)∈S×S}.

En particulier, la catégorie sous-jacente à T est équivalente à V_{S}, où S est l’ensemble des classes d’isomorphisme d’objets simples de T . On applique ce qui précède à B = fmod B, catégorie des B -modules libres de rang fini. Soit ρ un caractère de T . Alors il existe un foncteur k -linéaire F : T ⟶ fmod B ⊂ proj B tel que pour tout s ∈ S, F (s) soit un B -module libre de rang ρ(s). En outre un tel foncteur est unique à isomorphisme près. Considérons les deux foncteurs G_{1} : (X, Y) ↦ F (X ⊗ Y) et G_{2} : (X, Y) ↦ F (X) ⊗_{B} F (Y) de T × T dans fmod B. Ces foncteurs sont k -linéaires en chaque variable, et on a pour tous s, s′ ∈ S :

rg_{B} G_{1}(s, s′) = ρ(ss′) = ρ(s)ρ(s′) = rg_{B} G_{2}(s, s′) ,

donc G_{1} et G_{2} sont isomorphes. Il existe donc un isomorphisme fonctoriel Φ_{2}_{X,Y} : F (X) ⊗_{B} F (Y) ⟶ F (X ⊗ Y); d’autre part, il existe un isomorphisme Φ_{0} : B ⟶ F (I). En vertu de la remarque 1.2.6, on peut choisir Φ_{2} et Φ_{0} de sorte que ω = (F, Φ_{2}, Φ_{0}) soit un foncteur quasi-monoïdal. De même, les foncteurs X ↦ F (^{∨}X) et X ↦ ^{∗}F (X) de T^{o} vers fmod B sont isomorphes, car pour s ∈ S, rg_{B} F (^{∨}s) = ρ(^{∨}s) = ρ(s) = rg_{B} F (s). Ainsi, ω est un quasi-foncteur fibre.

Si deux quasi-foncteurs fibre ayant même caractère sont à valeurs dans fmod B (ce qui est toujours le cas si fmod B = proj B), les foncteurs sous-jacents sont isomorphes; donc en vertu de la remarque 1.2.4, il existe entre eux un isomorphisme quasi-monoïdal. ⊓ ⊔

6.1.3. Remarque. Soit L un quasi-bigébroïde transitif de base B. Le foncteur oubli u_{L} : L ⟶ proj B est un quasi-foncteur fibre de rep L sur B, donc tout point rationnel x de Spec B (c’est-à-dire tout morphisme d’algèbres x : B ⟶ k) définit par 5.2.2 un quasifoncteur fibre ω_{x} = u_{L} ⊗_{B} k de rep L sur k. Notons L_{x} la quasi-bigèbre de Hopf x_{∗}L, qui s’identifie à L(ω_{x}). Le foncteur image directe x_{∗} : rep L ⟶ rep L_{x} est une équivalence de catégories monoïdales k -linéaires (5.4.2). Ainsi, si x et y sont deux points rationnels de B, les quasi-bigèbres de Hopf L_{x} et L_{y} ont la même catégorie de de représentations de dimension finie; suivant la terminologie de [2], elles sont quantiquement isomorphes.

Supposons rep L semisimple, et Spec B connexe. Alors, les quasi-foncteurs fibre ω_{x} et ω_{y} ayant même caractère, les quasi-bigèbres de Hopf L_{x} et L_{y} sont isomorphes à un twist de Drinfeld près (6.1.2).

Par exemple, pour p_{0} , q_{0} ∈ k^{∗}, on peut former la bigèbre de Hopf Gl(2)_{p_{0},q_{0}} . Soit r ∈ k^{∗}. Dans ([2], 7.7) on a montré que les bigèbres de Hopf Gl(2)_{p_{1},q_{1}} et Gl(2)_{p_{2},q_{2}} sont quantiquement isomorphes (i. e. ont même catégorie de représentations de dimension finie) si p_{1}q_{1} = p_{2}q_{2} = r. Pour cela, s’inspirant d’un exemple de G. Maltsiniotis, on a construit un bigébroïde de Hopf transitif L_{r} de base B_{r} = k[p, p^{−1}, q, q^{−1}]/(pq − r), et vérifiant (L_{r})_{p_{0},q_{0}} = Gl(2)_{p_{0},q_{0}} pour p_{0}q_{0} = r. Supposons que r ne soit pas une racine de l’unité autre que 1. Alors rep L_{r} est semi-simple (car rep L_{r} ≃ rep Gl(2)\sqrt{r}), et, Spec B_{r} étant connexe, Gl(2)_{p_{1},q_{1}} et Gl(2)_{p_{2},q_{2}} sont isomorphes à un twist près dès que p_{1}q_{1} = p_{2}q_{2} = r.

Cependant, si B n’est pas connexe, il se peut que L_{x} et L_{y} soient quantiquement isomorphes sans être isomorphes, même en tant que cogèbres. L’exemple 6.2.1 en est l’illustration.

6.2. Exemples

6.2.1. Soit T la catégorie des représentations algébriques de dimension finie de Sl_{2}( ). Notons V_{r} l’unique représentation irréductible de rang r + 1 de ce groupe (r ≥ 0).

Si ρ est un caractère de T , posons ρ(r) = ρ(V_{r}). Pour r ≥ 1, V_{1} ⊗ V_{r} ≃ V_{r−1} ⊕ V_{r+1} ; d’où ρ(r + 1) = ρ(1)ρ(r) − ρ(r − 1). Puisque ρ(0) = 1, ρ est entièrement caractérisé par ρ(1). Pour tout entier n ≥ 2, il existe un unique caractère de T , qu’on note ρ_{n}, vérifiant ρ_{n}(1) = n. Ce caractère est défini par la formule ρ_{n}(r) = (q_{n}^{r+1} − q_{n}^{−r−1})/(q_{n} − q_{n}^{−1}), où q_{n} = \frac{1}{2}(n ± \sqrt{n^{2} − 4}).

Ainsi, il existe un quasi-foncteur fibre ω_{n} : T ⟶ vect , unique à isomorphisme près, vérifiant dim_{}ω(V_{1}) = n.

6.2.2. En fait, V. Lyubashenko m’a signalé qu’on pouvait construire un tel foncteur ω_{n} grâce à une matrice de Yang-Baxter introduite par D. I. Gourévitch (voir [9]), et qu’on obtient ainsi un foncteur monoïdal. Voici comment l’on procède.

La catégorie rep Sl_{2}( ) est monoïdale symétrique, -linéaire, karoubienne, munie d’un objet X (la représentation V_{1} ), d’une dualité (X, X, e, h) telle que eh = −2, et la symétrie S_{X,X} : X ⊗ X ⟶ X ⊗ X est donnée par la formule S_{X,X} = 1_{X⊗X} +h ∘ e (de sorte que X est de dimension eS_{X,X}h = 2). De plus, rep Sl_{2}( ) est universelle pour ces propriétés (voir par exemple [5]).

Soit n ≥ 2, et V = ^{n}. Soient E ∈ Hom_{}(V ⊗ V, ) et H ∈ Hom_{}( , V ⊗ V) tels que (V, V, E, H) soit une dualité de vect , et vérifiant en outre E ∘ H = −2. À une telle donnée (qui équivaut à la donnée d’une matrice E ∈ Gl_{n}( ) vérifiant tr^{t}EE^{−1} = −2), on associe, suivant Gourévitch, l’endomorphisme R de V ⊗ V défini par R = 1_{V ⊗V} +H ∘ E. On constate que R est involutif et satisfait l’équation de Yang-Baxter quantique :

(R ⊗ 1_{V})(1_{V} ⊗R)(R ⊗ 1_{V}) = (1_{V} ⊗R)(R ⊗ 1_{V})(1_{V} ⊗R) . On sait associer à un tel R une catégorie monoïdale symétrique V_{0}(R), comme suit.

Pour m ∈ on définit R_{m,1} : V^{⊗m} ⊗ V ⟶ V ⊗ V^{⊗m} par R_{0,1} = 1_{V} , et R_{m+1,1} = (R_{m,1} ⊗ 1_{V})(1_{V^{⊗m}} ⊗R). Notons V_{0}(R) la sous-catégorie de vect dont les objets sont les V^{⊗m}, m ∈ , les flèches de V^{⊗m} vers V^{⊗p} étant les f ∈ Hom_{}(V^{⊗m}, V^{⊗p}) vérifiant R_{1,p}(1_{V} ⊗f) = (f ⊗ 1_{V})R_{m,1} . C’est une sous-catégorie monoïdale de vect , admettant une unique symétrie R vérifiant R_{V,V} = R. De plus, on constate que (V, V, E, H) est une dualité de V_{0}(R), et on a par construction EH = −2 et R_{V,V} = 1_{V ⊗V} +H ∘ E.

Soit V(R) l’enveloppe karoubienne -linéaire de V_{0}(R), et U : V(R) ⟶ vect le foncteur monoïdal -linéaire qui prolonge l’inclusion V_{0}(R) ⟶ vect . Par la propriété universelle de rep Sl_{2}( ), il existe un foncteur monoïdal symétrique -linéaire F : rep Sl_{2}( ) ⟶ V(R), unique à isomorphisme monoïdal près, qui envoie X sur V et e sur E. Le foncteur ω_{n} = U ∘ F : rep Sl_{2}( ) ⟶ vect est monoïdal, -linéaire, et envoie X sur V . C’est donc un foncteur-fibre (non symétrique si n > 2) de rep Sl_{2}( ).

Les bigèbres de Hopf L(ω_{n}) ont la même catégorie de représentations que Sl_{2}( ), (elles sont ‘quantiquement isomorphes’ au sens de [2]), mais ne se déduisent pas les unes des autres par des twists de Drinfeld, car elle sont deux à deux non-isomorphes en tant que cogèbres. (En effet, la liste des rangs des comodules simples est chaque fois différente.)

6.2.3. On se propose maintenant d’étudier les catégories tensorielles semi-simples localement de type fini où tout objet simple est inversible.

Soit T une telle catégorie. L’ensemble des classes d’isomorphisme d’objets simples de T est un groupe multiplicatif G. Soit ρ un caractère de T ; alors pour tout s ∈ G, on a ρ(s)ρ(s^{−1}) = 1, d’où ρ(s) = 1. Ainsi, T admet un unique caractère. Autrement dit, T admet un quasi-foncteur fibre ω sur k, unique à isomorphisme près (théorème 6.1.2).

Soit ω un quasi-foncteur fibre de T sur k. On peut supposer, sans perte de généralité, qu’il y a un seul objet par classe d’isomorphisme dans T . Soit X_{g} l’objet simple correspondant à g ∈ G. On a dim_{k} ω(X_{g}) = 1, donc on peut supposer que ω(X_{g}) = k. La cogèbre sous-jacente à L(ω) s’identifie à k^{(G)} , rapporté à la base canonique (ξ_{g})_{g∈G}, avec Δ(ξ_{g}) = ξ_{g} ⊗ ξ_{g} et ε(ξ_{g}) = 1. Le dual de cette cogèbre est donc l’algèbre k^{G}. Le produit est donné par μ(ξ_{g} ⊗ ξ_{h}) = ξ_{gh}, et l’unité est ξ_{e}. Le Φ est donné par une fonction b : G^{3} ⟶ k^{∗}. L’axiome (QB4) est automatique, car μ est associatif et le produit de convolution, commutatif. Les axiomes (QB5) et (QB6) se traduisent par les conditions suivantes sur b :

b(g_{1}, g_{2}, g_{3}g_{4})b(g_{1}g_{2}, g_{3}, g_{4}) = b(g_{2}, g_{3}, g_{4})b(g_{1}, g_{2}g_{3}, g_{4})b(g_{1}, g_{2}, g_{3}) ,
b(g_{1}, e, g_{2}) = 1 .

Autrement dit, b est un 3-cocycle normalisé^{4} de G à valeurs dans k^{∗}, et ce 3-cocycle détermine la quasi-bigèbre L(ω) à isomorphisme près. Inversement, tout 3-cocycle normalisé b définit une quasi-bigèbre qu’on note L^{b}.

D’autre part, soit G un groupe, et a un 3-cocycle de G à valeurs dans k^{∗}. En 1.2.7, nous avons associé à un tel a une catégorie monoïdale C^{a}. Soit T^{a} la la catégorie additive k -linéaire formée à partir de C^{a} par adjonction formelle des sommes directes finies (c’est donc la catégorie que nous notons V_{G}). Il existe sur T^{a} une structure de catégorie monoïdale, unique à équivalence monoïdale près, telle que le foncteur pleinement fidèle i : C^{a} ⟶ T^{a} soit monoïdal strict.

Muni de cette structure monoïdale, T^{a} est une catégorie tensorielle semi-simple, localement de type fini, et autonome, car les classes d’isomorphisme d’objets simples de T^{a} constituent un groupe qui s’identifie à G.

La catégorie T^{a} admet donc un quasi-foncteur fibre ω, unique à quasi-isomorphisme près. La quasi-bigèbre L(ω) est de la forme L^{b}, pour un certain 3-cocycle normalisé b. Soit ω = (F, Φ_{2}, Φ_{0}). On peut supposer que pour tout g, F (X_{g}) = k. Alors Φ_{2}_{X_{g},X_{h}} est un élément de k^{∗} qu’on note ϕ(g, h). La condition (CA) pour ω se traduit par :

a(g_{1}, g_{2}, g_{3})ϕ(g_{1}g_{2}, g_{3})ϕ(g_{1}, g_{2}) = ϕ(g_{1}, g_{2}g_{3})ϕ(g_{2}, g_{3})b(g_{1}, g_{2}, g_{3}) ,

ce qui signifie que b définit la même classe de cohomologie que a.

La proposition suivante résume cette discussion.

6.2.4. Proposition. Soient T une catégorie tensorielle semi-simple localement de type fini où tout objet simple est inversible, et G le groupe des classes d’isomorphisme d’objets simples de T .

Alors T admet un quasi-foncteur fibre ω, unique à isomorphisme près. Il existe un 3-cocycle normalisé b de G à valeurs dans k^{∗} tel que la quasi-bigèbre de Hopf L(ω) soit isomorphe à L^{b}. (T est alors équivalente à T^{b}.)

4 On dit que b est normalisé si b(g_{1}, e, g_{2}) = 1.

De plus, tout élément de H^{3}(G, k^{∗}) est représenté par un 3-cocycle normalisé, et si b et b′ sont deux tels 3-cocycles, L^{b′} est un twist de Drinfeld de L^{b} si et seulement si b et b′ représentent la même classe de cohomologie. ⊓ ⊔

6.2.5. Remarque. En particulier, si b n’est pas un bord, L^{b} n’est pas un twist d’une bigèbre de Hopf. Autrement dit, il existe d’autres quasi-groupes quantiques que les twists de Drinfeld des groupes quantiques. De même, il existe des catégories tensorielles autonomes qui admettent un quasi-foncteur fibre non trivial, mais pas de foncteur-fibre non trivial.

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