THÉORIE TANNAKIENNE NON COMMUTATIVE

Alain Bruguières

Université de Paris VII, U. F. R. de mathématiques 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05, France

ABSTRACT. Inspired by a recent paper by Deligne [2], we extend the Tannaka-Krein duality results (over a field) to the non-commutative situation. To be precise, we establish a 1–1 correspondence between ‘tensorial autonomous categories’ equipped with a ‘fibre functor’ (i. e. tannakian categories without the commutativity condition on the tensor product), and ‘quantum groupoids’ (as defined by Maltsiniotis, [9]) which are ‘transitive’ (7.1.). When the base field is perfect, a quantum groupoid over Spec B is transitive iff it is projective and faithfully flat over B⊗_{k}B. Moreover, the fibre functor is unique up to ‘quantum isomorphism’ (7.6.). Actually, we show Tannaka-Krein duality results in the more general setting where there is no monoidal structure on the category (and the functor); the algebraic object corresponding to such a category is a ‘semi-transitive’ coalgebroid (5.2. and 5.8.).

Introduction

La théorie des catégories tannakiennes est issue d’une idée d’Alexandre Grothendieck, développée par N. Saavedra Rivano dans sa thèse [10]. Elle fut conçue comme un outil indispensable à l’élaboration de la théorie des motifs. Alexandre Grothendieck aurait souhaité que ces catégories fussent nommées “catégories de Galois–Poincaré–Grothendieck”, mais l’usage en a décidé autrement. Inspiré par la lecture de la contribution de P. Deligne au Grothendieck Festschrift [2], et animé par la conviction que l’étude des groupes quantiques était intimement liée à celle des catégories de leurs représentations, je me suis fixé pour but dans ce travail d’adapter, dans la mesure du possible, les résultats de la théorie des catégories tannakiennes à un cadre non commutatif.

Résumons très brièvement la situation dans le cas commutatif : à un groupe algébrique affine G sur le corps des complexes, on associe la catégorie T = rep(G) de ses représentations algébriques de dimension finie. Cette catégorie est assortie d’un foncteur oubli ω de T vers la catégorie vect( ) des espaces vectoriels complexes de dimension finie. On désire donner une caractérisation interne des catégories ainsi obtenues. On observe les faits suivants.

(i) D’une part, la catégorie T est munie d’un bifoncteur ⊗ : T × T ⟶ T qui est “associatif”, “commutatif” et admet un “élément neutre”. Autrement dit, T est une catégorie monoïdale symétrique.

(ii) En outre, tout objet de T admet un dual : on dit que T est autonome; on peut alors définir de façon interne la dimension d’un objet de T , qui est a priori un nombre complexe.

(iii) D’autre part, la catégorie T est abélienne -linéaire, de façon “compatible à sa struc-

ture monoïdale” : elle est tensorielle. (iv) La catégorie T est “assez petite” en ce sens qu’il existe un objet V tel que tout objet

soit sous-quotient d’un V^{⊗n}, n ∈ .

(v) Le foncteur ω : T ⟶ vect( ) est “compatible au produit tensoriel” (monoïdal symétrique), et exact : on dit que c’est un foncteur fibre. Dans ce cadre volontairement restreint, les résultats de la thèse de Saavedra [10] se

traduisent comme suit : étant donnée une catégorie vérifiant (i)—(iv) et admettant un foncteur fibre (on dit alors que T est tannakienne), il existe un groupe algébrique affine G, unique à isomorphisme près, tel que T s’identifie à rep(G), le foncteur fibre correspondant au foncteur oubli. Le groupe G s’obtient comme groupe des automorphismes du foncteur fibre. En outre, si T est tannakienne, le foncteur fibre est unique à isomorphisme près. Dans la suite, j’emploierai l’expression “résultats tannakiens” pour désigner ces propriétés, ou leurs analogues. Deligne donne dans [2] une caractérisation purement interne des catégories tannakiennes : si une catégorie T vérifie (i)—(iv), elle est tannakienne si et seulement si la dimension interne de tout objet de T est un entier naturel.

Le résumé ci-dessus comporte deux simplifications : en général, le corps de base k n’est supposé ni algébriquement clos, ni de caractéristique zéro, et on ne fait pas l’hypothèse (iv). On est alors amené à considérer des foncteurs fibres à valeurs non dans vect(k), mais dans la catégorie Qcoh(S) des faisceaux quasi-cohérents sur un k -schéma S, qu’on ne perd rien à supposer affine. Alors, l’objet G n’est plus un groupe algébrique, mais un groupoïde algébrique (c’est-à-dire un groupoïde dans la catégorie des k -schémas) vérifiant une certaine propriété de transitivité. Le groupoïde en question n’est unique qu’en un sens local. En outre, la caractérisation interne due à Deligne n’est valable qu’en caractéristique zéro.

La démonstration de Saavedra présentait une lacune, ainsi d’ailleurs que les hypothèses de ses énoncés; Deligne donne la démonstration complète dans [2].

Le jeu tannakien repose sur le fait qu’à tout foncteur F d’une catégorie C vers la catégorie des modules projectifs de type fini sur un anneau B, on peut associer un objet L(F) qui “représente” les endomorphismes de ce foncteur. Cet objet est un cogébroïde de base B. Quand on enrichit la structure de la catégorie C et du foncteur F, on enrichit d’autant la structure du cogébroïde L(F). Par exemple, lorsque C est monoïdale et F aussi, L(F) se voit doté d’une structure d’anneau; c’est un bigébroïde, au sens donné à ce terme par Maltsiniotis [9]. Si C et F sont symétriques, le bigébroïde obtenu est commutatif; si (i)—(v) sont satisfaits, on obtient une algèbre de Hopf de type fini. (On peut dresser ainsi tout un “dictionnaire tannakien”, cf. [4].)

Les contributions de ce travail qui me paraissent les plus originales sont l’introduction de la notion de k -cogébroïde semi-transitif, qui permet de d’énoncer et de démontrer les “résultats tannakiens” en termes de k -cogébroïdes (théorème 5.2, proposition 5.8.); une caractérisation simple des k -cogébroïdes semi-transitifs lorsque k est parfait (théorème 6.1.); la démonstration des “résultats tannakiens” dans le cadre des k -bigébroïdes de Hopf “quantiques”(théorème 7.1.); et l’introduction de la notion de bigébroïdes de Hopf quantiquement isomorphes, qui permet de formuler une version “quantique” du théorème d’unicité du foncteur fibre (7.6.).

Mon parti pris a été de formuler et de démontrer les “résultats tannakiens” dans le cadre le plus général, celui des cogébroïdes. Il y a à mon sens deux avantages à cela. D’une part, c’est plus simple; d’autre part, cela permet d’envisager d’un coup un éventail assez large d’applications. En effet, il suffit d’utiliser le “dictionnaire tannakien” pour étendre les résultats sur les cogébroïdes à des structures plus riches. Dans le présent travail, je m’intéresse aux bigébroïdes de Hopf (dont la multiplication est associative); mais on pourrait tout aussi bien définir une notion de quasi-bigébroïde de Hopf, à la manière de Drinfeld, en remplaçant l’associativité de la multiplication par une condition plus faible de quasi-associativité : on obtiendrait des résultats similaires.

Je remercie vivement Georges Maltsiniotis d’avoir gentiment accepté la corvée de faire une lecture très attentive de ce travail, et de m’avoir signalé quelques erreurs et fait plusieurs suggestions extrêmement judicieuses.

Plan.

Dans la section 1, nous précisons le vocabulaire des catégorie monoïdales. La section 2 introduit différentes notions de catégories monoïdales munies d’une structure linéaire. Intéressé que j’étais au cas non symétrique, je me suis trouvé amené à m’écarter des conventions que Deligne utilise. J’en ai profité pour rendre hommage à R. Penrose, dont la contribution me parait importante et parfois un peu négligée, en donnant son nom à la notion la plus générale; ce que j’appelle catégorie tensorielle est une catégorie de Penrose abélienne (sans supposer l’existence de duaux ni d’une symétrie). On trouvera dans cette section quelques résultats qui figurent dans [2] ou [3] pour ce qui concerne le cas symétrique, mais dont il fallait bien vérifier la validité dans ce cadre plus général.

Les sections 3 et 4 rassemblent un outillage issu de [2] qui sera indispensable dans la section 5. La section 3 introduit les cogébroïdes, et précise quelques propriétés des comodules sur les cogébroïdes. Nous y rappelons l’énoncé du théorème de Barr-Beck. La construction du cogébroïde universel associé à un foncteur à valeurs dans une catégorie de modules, et l’énoncé de quelques propriétés de fonctorialité de cette construction universelle, font l’objet de la section 4.

Dans la section 5, nous définissons les cogébroïdes semi-transitifs, et nous formulons et démontrons les “résultats tannakiens” en termes de cogébroïdes semi-transitifs. Dans 6, on voit que lorsque le corps k est parfait, on a une meilleure caractérisation des cogébroïdes semi-transitifs. Ce sont là les résultats les plus importants de ce travail, puisque toute la suite en découle aisément. Dans la section 7, les resultats de 5 et 6 sont interprétés en termes de bigébroïdes de Hopf transitifs. Dans la section 8, nous examinons deux cas particuliers. Tout d’abord, le cas des bigèbres de Hopf (qui englobe les “groupes quantiques”), puis la situation commutative, où nous vérifions que la notion de transitivité qui apparaît dans la section 7 correspond à la notion usuelle, ce qui permet de retrouver les résultats tannakiens classiques.

Notations.

Si A est une catégorie, Ob(A) est la collection des objets de A. Pour X, Y ∈ Ob(A), on désigne l’ensemble des morphismes de X vers Y par Hom_{A}(X, Y), ou plus simplement Hom(X, Y). On note Ens la catégorie des ensembles.

Si A est un anneau, Mod(A) est la catégorie des A-modules à droite, mod(A), la catégorie des A-modules à droite de type fini, et proj(A), celle des A-modules à droite projectifs de type fini. On note A^{o} l’anneau opposé à A, de sorte que Mod(A^{o}) est la catégorie des A-modules à gauche.

Soit k un anneau commutatif et A, B deux k -algèbres. Alors Bimod_{k}(A, B) est la catégorie Mod(A^{o} ⊗_{k} B); autrement dit, la catégorie des (A, B)-bimodules (notons que les deux structures de k -module sur un tel bimodule coïncident). Si M est un (A, B)- bimodule, on note M^{o} le (B^{o}, A^{o})-bimodule qui lui est canoniquement associé.

On désigne par Spec(A) le spectre d’un anneau commutatif A. Si S est un schéma, on note O_{S} son faisceau structural, Qcoh(S) la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur S, et vect(S) la sous-catégorie pleine des faisceaux localement libres de type fini. Si K est un corps commutatif, on note aussi vect(K) la catégorie des K -espaces vectoriels de dimension finie.

On note Comod(B : L) la catégorie des comodules à droite d’un k -cogébroïde L de base B, et comod(B : L) la sous-catégorie pleine des comodules qui sont de type fini comme B -modules. Le cogébroïde opposé, de base B^{o}, est noté L^{o}. La catégorie des L-comodules à gauche est Comod(B^{o} : L^{o}).

Si L est un bigébroïde de base B, on désigne par Rep(B : L) la catégorie des représentations de L : c’est la catégorie Comod(B : L) munie de la structure monoïdale naturelle. On note rep(B : L) la sous-catégorie monoïdale des représentations de type fini comme B -modules. On note I la représentation unité.

1.—Rappels sur les catégories monoïdales

Catégories monoïdales.

Une catégorie monoïdale est la donnée

— d’une catégorie C,

— d’un bifoncteur ⊗ : C × C ⟶ C (appelé produit tensoriel),

— d’un objet I de C (l’ objet unité),

— d’isomorphismes fonctoriels

a_{A,B,C} : (A ⊗ B) ⊗ C ⟶ A ⊗ (B ⊗ C)
l_{A} : I ⊗ A ⟶ A
r_{A} : A ⊗ I ⟶ A

avec pour axiomes la commutativité des diagrammes suivants :

\begin{matrix}((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D  w^{a_{A⊗B,C,D}} u_{a_{A,B,C}⊗1_{D}} \\ (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)  w^{a_{A,B,C⊗D}} \\ A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) u_{1_{A} ⊗a_{B,C,D}} \end{matrix} ; \begin{matrix}(A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D  w_{a_{A,B⊗C,D}} \\ A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D) \end{matrix}

\begin{matrix}(A ⊗ I) ⊗ B  w^{a_{A,I,B}}_{A A AA C}_{r_{A}⊗1_{B}} \\ A ⊗ (I ⊗ B) ` ` ` `_{˜  1_{A} ⊗l_{B}} \end{matrix} ; A ⊗ B  .

Le premier de ces diagrammes s’appelle le pentagone de MacLane. Les isomorphismes a, l, r, sont appelés respectivement contrainte d’associativité,

contrainte d’unité à gauche, contrainte d’unité à droite.

Par abus, nous désignerons le plus souvent la catégorie monoïdale (C, ⊗, I, a, l, r) par le symbole C.

La catégorie monoïdale C est dite stricte lorsque les conditions suivantes sont remplies :

1) le produit tensoriel est associatif sur les objets :

A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C,

2) l’objet unité est neutre pour le produit :

A ⊗ I = A = I ⊗ A,

3) les contraintes a, l, r sont les identités :

a_{A,B,C} = 1_{A⊗B⊗C} , l_{A} = r_{A} = 1_{A} .

Il résulte de ces hypothèses que le produit tensoriel est associatif sur les morphismes de C, et que 1_{I} est neutre pour ce produit.

Foncteurs monoïdaux.

Soient (C, ⊗, I, a, l, r) et (C′, ⊗′, I′, a′, l′, r′) deux catégories monoïdales. Un foncteur monoïdal de C vers C′ est la donnée

— d’un foncteur F : C ⟶ C′,

— d’un isomorphisme fonctoriel Φ_{2}_{A,B} : F (A) ⊗′ F (B) ⟶ F (A ⊗ B),

— d’un isomorphisme Φ_{0} : I′ ⟶ F (I), avec pour axiomes la commutativité des diagrammes suivants :

(F (A) ⊗′ F (B)) ⊗′ F (C)  w^{a′_{F (A),F (B),F (C)}} u_{Φ_{2}_{A,B}⊗′1_{F (C)}}  F (A) ⊗′ (F (B) ⊗′ F (C)) u_{1_{F (A)} ⊗′Φ_{2}_{B,C}}

F (A ⊗ B) ⊗′ F (C) u_{Φ_{2}_{A⊗B,C}}  F (A) ⊗′ F (B ⊗ C) u_{Φ_{2}_{A,B⊗C}}

F ((A ⊗ B) ⊗ C)  w_{F (a_{A,B,C})}  F (A ⊗ (B ⊗ C))

I′ ⊗′ F (A)  w^{l′_{F (A)}} u_{Φ_{0}⊗′1_{F (A)}}  F (A) u_{F (l_{A})}  F (A) u_{F (r_{A})}  F (A) ⊗′ I′ u ^{r′_{F (A)}}  u_{1_{F (A)} ⊗′Φ_{0}}

F (I) ⊗′ F (A)  w_{Φ_{2}_{I,A}} F (I ⊗ A)  F (A ⊗ I)  F (A) ⊗′ F (I) u_{Φ_{2}_{A,I}}  .

Les isomorphismes Φ_{2}_{A,B} et Φ_{0} s’appellent respectivement contrainte de compatibilité aux produits tensoriels, et contrainte de compatibilité aux unités.

Nous désignerons le foncteur monoïdal (F, Φ_{2}, Φ_{0}) par le symbole F lorsque cela n’induira pas d’ambiguïté.

Une équivalence de catégories monoïdales est un foncteur monoïdal F : C ⟶ C′ qui induit sur les catégories sous-jacentes une équivalence de catégories.

Du théorème de cohérence de MacLane [7] résulte en particulier que pour toute catégorie monoïdale C il existe une catégorie monoïdale stricte C′ et une équivalence de catégories monoïdales F : C′ ⟶ C.

Nous utiliserons souvent ce théorème, de façon tacite, pour étendre à une catégorie monoïdale quelconque une propriété, une construction ou une notion valide dans une catégorie monoïdale stricte.

Tressages et symétries.

Soit C une catégorie monoïdale, qu’on suppose stricte (en vertu de la remarque précédente, ce qui suit s’adapte au cas d’une catégorie monoïdale quelconque).

Un tressage sur C est un isomorphisme fonctoriel R_{A,B} : A ⊗ B ⟶ B ⊗ A rendant commutatifs les triangles suivants :

A ⊗ B ⊗ C  w^{R_{A,B⊗C}}_{[ [[]}_{R_{A,B}⊗1_{C}}  B ⊗ C ⊗ A fi ȷ ȷ ȷ_{1_{B} ⊗R_{A,C}}  A ⊗ B ⊗ C  w^{R_{A⊗B,C}}_{[ [[]}_{1_{A} ⊗R_{B,C}}  C ⊗ A ⊗ B fi ȷ ȷ ȷ_{R_{A,C}⊗1_{B}}

B ⊗ A ⊗ C  A ⊗ C ⊗ B  .

Il est facile de voir que ces conditions entraînent : R_{I,A} = R_{A,I} = 1_{A}.

Si R est un tressage sur C, il en va de même de R^{o} défini par : R^{o}_{A,B} = (R_{B,A})^{−1} . On dit que R est un tressage symétrique, ou plus simplement une symétrie, si R = R^{o}.

Une catégorie monoïdale tressée (resp. symétrique) est une catégorie monoïdale munie d’un tressage (resp. d’une symétrie).

Soient C, C′ deux catégories monoïdales tressées (resp. symétriques). Un foncteur monoïdal F de C dans C′ est dit tressé (resp. symétrique) si le diagramme suivant est commutatif :

\begin{matrix}F (A) ⊗′ F (B)  w^{Φ_{2}^{A,B}} u_{R′_{F (A),F (B)}} \\ F (A ⊗ B) u_{F (R_{A,B})} \end{matrix} ; F (B) ⊗′ F (A)  w_{Φ_{2}_{B,A}} F (B ⊗ A)  .

Dualité dans les catégories monoïdales.

Soient C une catégorie monoïdale, supposée stricte, et A un objet de C. Un dual à droite de A est la donnée

— d’un objet A^{∨} de C,

— d’un morphisme e : A ⊗ A^{∨} ⟶ I, appelé évaluation,

— d’un morphisme h : I ⟶ A^{∨} ⊗ A, appelé coévaluation, avec les conditions :

(e ⊗ 1_{A})(1_{A} ⊗ h) = 1_{A}
(1_{A^{∨}} ⊗ e)(h ⊗ 1_{A^{∨}}) = 1_{A^{∨}} .

Il résulte de cette définition que le foncteur ? ⊗ A^{∨} est adjoint à gauche au foncteur ? ⊗ A, et que le foncteur A^{∨}⊗? est adjoint à droite au foncteur A⊗?; autrement dit, on a des isomorphismes fonctoriels Hom(X, Y ⊗ A) ≃ Hom(X ⊗ A^{∨}, Y) et Hom(A ⊗ X, Y) ≃ Hom(X, A^{∨} ⊗ Y).

Un dual à droite, s’il existe, est unique à isomorphisme unique près. Plus précisément, supposons que (B_{1}, e_{1}, h_{1}) et (B_{2}, e_{2}, h_{2}) soient deux duaux à droite de l’objet A. Il existe alors un isomorphisme unique ρ : B_{1} ⟶ B_{2} vérifiant : e_{1} = e_{2}(1_{A} ⊗ ρ) et h_{2} = (ρ⊗1_{A})h_{1} .

Étant donnés deux objets A, B admettant des duaux à droite A^{∨}, B^{∨}, on peut associer à tout morphisme f : A ⟶ B son dual à droite f^{∨} : B^{∨} ⟶ A^{∨} défini par la composition des flèches

B^{∨} = I ⊗ B^{∨}  w^{h_{A}⊗1} A^{∨} ⊗ A ⊗ B^{∨}  w^{1 ⊗f⊗1} A^{∨} ⊗ B ⊗ B^{∨}  w^{1 ⊗e_{B}} A^{∨} ⊗ I = A^{∨} .

Bien que cette notion dépende du choix d’un dual pour les objets considérés, elle est fonctorielle en ce sens que si f : A ⟶ B et g : B ⟶ C sont deux morphismes de C et A^{∨}, B^{∨}, C^{∨} sont des duaux de A, B, C respectivement, alors (gf)^{∨} = f^{∨} g^{∨}.

Soient C, C′ deux catégories monoïdales, et F un foncteur monoïdal de C vers C′. Si (A^{∨}, e, h) est un dual à droite d’un objet A de C, alors (F (A^{∨}), e′, h′) est un dual à droite de F (A), où e′ est la composée de

F (A) ⊗′ F (A^{∨}) ≃ F (A ⊗ A^{∨}) ⟶^{F (e)} F (I) ≃ I′ ,

et h′, celle de

I′ ≃ F (I) ⟶^{F (h)} F (A^{∨} ⊗ A) ≃ F (A^{∨}) ⊗′ F (A) .

Une catégorie monoïdale est dite autonome à droite lorsque tout objet admet un dual à droite. Si on choisit un dual à droite A^{∨} pour chaque objet A on définit un foncteur contravariant ?^{∨} de C dans C.

Naturellement, on définit de même la notion de dual à gauche d’un objet A de T : il s’agit de la donnée

— d’un objet ^{∨}A de C,

— d’un morphisme ε : ^{∨}A ⊗ A ⟶ I, appelé évaluation,

— d’un morphisme η : I ⟶ A ⊗^{∨}A, appelé coévaluation, avec les conditions :

(1_{A} ⊗ ε)(η ⊗ 1_{A}) = 1_{A}

(ε ⊗ 1 A^{∨})(1 A^{∨} ⊗ η) = 1 A^{∨} .

On a bien sûr les propriétés analogues à celles énoncées à propos des duaux à droite; en particulier, le foncteur ^{∨}A⊗? est adjoint à gauche au foncteur A⊗?, et le foncteur ?⊗^{∨}A est adjoint à droite au foncteur ? ⊗ A.

D’autre part il est clair que (B, e, h) est un dual à droite de A si et seulement si (A, e, h) est un dual à gauche de B.

Si C est une catégorie monoïdale tressée, il revient au même de se donner un dual à droite ou un dual à gauche d’un objet A. En effet, (B, e, h) est un dual à droite de A si et seulement si (B, ε, η) est un dual à gauche de A, où ε = e R_{B,A} et η = (R_{A,B})^{−1}h.

Une catégorie monoïdale est dite autonome lorsque tout objet admet un dual à droite et un dual à gauche.

EXEMPLE. Soient k un anneau commutatif, et A, B deux k -algèbres non nécéssairement commutatives. On note Bimod_{k}(A, B) la catégorie des (A, B)-bimodules, qui s’identifie à Mod(A^{o} ⊗_{k} B). Étant donnée une troisième k -algèbre C, considérons le bifoncteur

Bimod_{k}(A, B) × Bimod_{k}(B, C) ⟶ Bimod_{k}(A, C)
(M, M′) ⟼ M ⊗_{B} M′ .

Les isomorphismes naturels (M ⊗_{B} M′) ⊗_{C} M′′ ≃ M ⊗_{B} (M′ ⊗_{C} M′′) et M ⊗_{B} B ≃ M ≃ A⊗_{A}M vérifient, mutatis mutandis, des propriétés analogues à celles que l’on requiert des contraintes d’associativité et d’unité dans une catégorie monoïdale.^{1}

En particulier, Bimod_{k}(A, A) se voit ainsi doté d’une structure de catégorie monoïdale. Quels sont les objets de Bimod_{k}(A, A) qui admettent un dual à gauche? Plus généralement, appelons dual à gauche^{2} d’un objet M de Bimod_{k}(A, B) un objet

∨M de Bimod_{k}(B, A) muni d’un morphisme ε : ^{∨}M ⊗_{A} M ⟶ B dans Bimod_{k}(B, B) (l’évaluation) et d’un morphisme η : A ⟶ M ⊗_{B}^{∨}M dans Bimod_{k}(A, A) (la coévaluation), tels que l’on ait :

(1_{M} ⊗_{B} ε)(η ⊗_{A} 1_{M}) = 1_{M} et (ε ⊗_{B} 1_{^{∨}M})(1_{^{∨}M} ⊗_{A} η) = 1_{^{∨}M} .

Supposons que M admette un tel dual (^{∨}M, ε, η). Alors on a η(1_{A}) = ∑_{1}^{n} x_{i} ⊗ x^{i}, avec x_{i} ∈ M et x^{i} ∈ ^{∨}M. Les x_{i} définissent un morphisme de B -modules à droite s : B^{n} ⟶ M; d’autre part, chaque x^{i} définit un morphisme de B -modules à droite ε(x^{i}⊗_{A}?) de M vers B, d’où j : M ⟶ B^{n}. On vérifie que sj = 1_{M}, donc M est facteur direct de B^{n} comme B -module à droite.

Réciproquement, supposons M projectif de type fini comme B -module. Posons ^{∨}M = Hom_{B}(M, B); ainsi, ^{∨}M est naturellement muni d’une structure de (B, A)-bimodule. Soit ε : ^{∨}M ⊗_{A} M ⟶ B le morphisme d’évaluation ordinaire; d’autre part, soit ∂ ∈ M ⊗_{B} ^{∨}M l’élément qui correspond à l’identité de M dans l’isomorphisme canonique M ⊗_{B} ^{∨}M ≃ End_{B}(M). Alors l’élément ∂ est central (c’est-à-dire qu’on a ∂a = a∂ pour a dans A) et on définit la coévaluation η : A ⟶ M ⊗_{B} ^{∨}M par η(1_{A}) = ∂. On vérifie que l’on obtient ainsi un dual à gauche de M.

En conclusion, un objet de Bimod_{k}(A, B) admet un dual à gauche si et seulement s’il est projectif de type fini comme B -module.

1 Autrement dit, on a une 2-catégorie dont les objets sont les k -algèbres, les 1-flèches de A à B sont les objets de Bimod_{k}(B, A), et les 2-flèches sont les morphismes de bimodules. 2 Il s’agit de la notion de dual à gauche d’une 1-flèche dans une 2-catégorie.

En particulier, la catégorie des k -modules est monoïdale symétrique, et les objets admettant un dual sont les modules projectifs de type fini.

Morphismes fonctoriels monoïdaux.

Soient C, C′ deux catégories monoïdales, et F, G deux foncteurs monoïdaux de C dans C′. Un morphisme fonctoriel monoïdal φ : F ⟶ G est un morphisme fonctoriel φ_{A} : F (A) ⟶ G(A) rendant commutatifs les diagrammes suivants, qui expriment la compatibilité de φ aux contraintes de F et G :

F (A) ⊗′ F (B)  w^{φ_{A}⊗′φ_{B}} u_{≃}  G(A) ⊗′ G(B) u_{≃}  F (I)  w^{φ_{I}}  G(I)

F (A ⊗ B)  w^{φ_{A⊗B}} G(A ⊗ B)  I′^{4 4 4 47}^{≃}  ^{h h hh j}^{≃}  .

Proposition 1.1. Un morphisme fonctoriel monoïdal est un isomorphisme lorsque la catégorie de départ est autonome à droite (ou à gauche).

Démonstration. Soient C, C′ deux catégories monoïdales, F, G : C ⟶ C′ deux foncteurs monoïdaux, et φ : F ⟶ G un morphisme fonctoriel monoïdal. Soit A un objet de C admettant un dual à droite (A^{∨}, e, h). Alors F (A^{∨}) est un dual à droite de F (A), ce qui revient à dire que F (A) est un dual à gauche de F (A^{∨}); de même G(A) est un dual à gauche de G(A^{∨}). Ainsi le morphisme φ_{A^{∨}} : F (A^{∨}) ⟶ G(A^{∨}) induit par dualité à gauche un morphisme

∨(φ_{A^{∨}}) : G(A) ⟶ F (A).

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ce morphisme est l’inverse de φ_{A} (autrement dit, que φ_{A^{∨}} et (φ_{A})^{∨} sont inverses l’un de l’autre).⊓ ⊔

2.—Catégories tensorielles

Définition. On appelle catégorie monoïdale additive une catégorie additive munie d’une structure de catégorie monoïdale de telle sorte que le produit tensoriel soit un bifoncteur bi-additif.

Si T est une catégorie monoïdale additive d’objet unité I, alors End(I) est un anneau commutatif, et pour tous A, B objets de T , Hom(A, B) est muni d’une structure de End(I)-bimodule. (Soient ϕ ∈ End(I) et f ∈ Hom(A, B); on se ramène au cas où T est monoïdale stricte grâce au théorème de cohérence de MacLane; la structure de bimodule en question est alors donnée par ϕ · f = ϕ ⊗ f et f · ϕ = f ⊗ ϕ).

EXEMPLE. Soit B un anneau, et T la catégorie des (B, B)-bimodules. C’est une catégorie monoïdale additive pour laquelle I = B, et End(I) est le centre de B. Si M et M′ sont deux objets de T , les deux structures de End(I)-module de Hom(M, M′) ne coïncident généralement pas.

Définition. Une catégorie monoïdale additive T est une catégorie de Penrose si pour tous A, B objets de T , les deux structures de End(I)-module de Hom(A, B) coïncident; la catégorie sous-jacente est alors End(I)-linéaire.

REMARQUE. Une catégorie monoïdale additive tressée est une catégorie de Penrose. (Cela résulte du fait que le tressage est fonctoriel et vérifie R_{I,A} = R_{A,I} = 1_{A} via les isomorphismes fonctoriels A ⊗ I ≃ I ≃ I ⊗ A).

Définition. On appelle catégorie tensorielle une catégorie de Penrose dont la catégorie sous-jacente est abélienne.

Proposition 2.1. Soit T une catégorie tensorielle autonome. Alors

1) pour tout objet A de T , les foncteurs A⊗? et ? ⊗ A sont exacts;

2) les foncteurs ?^{∨} et ^{∨}? sont quasi-inverses l’un de l’autre; ils sont donc pleinement fidèles et exacts.

Démonstration. 1) Soit A un objet de T . Le foncteur A⊗? admet un adjoint à droite (le foncteur A^{∨}⊗?) et un adjoint à gauche (le foncteur ^{∨}A⊗?); il est donc exact. De même pour ? ⊗ A. 2) Supposons pour simplifier qu’on ait choisi un dual à droite et un dual à gauche pour chaque objet de T . (On pourrait reformuler l’assertion 2) de telle sorte qu’elle ne dépende pas d’un tel choix.) On a des isomorphismes fonctoriels : (^{∨}A)^{∨} ≃ A ≃ ^{∨}(A^{∨}), d’où l’assertion. ⊓ ⊔

Définition. Soit k un anneau commutatif. On appelle catégorie k -tensorielle une catégorie tensorielle munie d’un isomorphisme d’anneaux End(I) ≃ k.

Foncteurs fibres et catégories tannakiennes.

Dans la suite de cette section, k est un corps commutatif.

Pour tout k -schéma S, soit Qcoh(S) la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur S, et vect(S) la sous-catégorie pleine des faisceaux localement libres de type fini sur S (ou, si l’on préfère, des fibrés vectoriels sur S). Notons que Qcoh(S) est une catégorie tensorielle symetrique, et vect(S) une catégorie de Penrose autonome symétrique. Dans les deux cas, l’anneau des endomorphismes de l’objet unité est H^{0}(O_{S}).

REMARQUE. Dans la suite, on ne perdra rien à supposer que les k -schémas rencontrés sont affines, c’est à dire de la forme S = Spec B, où B est une k -algèbre commutative; alors H^{0}(O_{S}) = B, la catégorie Qcoh(S) s’identifie à Mod(B), et vect(S), à la catégorie proj(B) des B -modules projectifs de type fini. Si K est une extension de k, on désignera aussi par vect(K) la catégorie vect(Spec K) des K -espaces vectoriels de dimension finie.

Définition. Soit T une catégorie k -tensorielle autonome et S un k -schéma. Un foncteur fibre de T sur S est un foncteur monoïdal k -linéaire exact à droite de T dans Qcoh(S).^{3} Le foncteur fibre est dit non trivial si S est non vide.

Soit ω : T ⟶ Qcoh(S) un foncteur fibre. Pour tout objet A de T , les faisceaux ω(A^{∨}) et ω(^{∨}A) sont des duaux de ω(A); or, si V est un objet de Qcoh(S), il admet un dual si et seulement s’il est localement libre de type fini, et ce dual est alors V^{∗} = Hom(V, O_{S}) (cf. l’exemple de la section 1.). On a donc un isomorphisme fonctoriel ω(A) ≃ ω(A^{∨})^{∗}; le

3 Pour Deligne [2], la notion de foncteur fibre est plus restrictive : la catégorie T doit être symétrique, ainsi que le foncteur monoïdal. foncteur ω(?^{∨}) est exact à droite (2.1.), et à valeurs dans les faisceaux localement libres de type fini, donc ω(?^{∨})^{∗} est exact à gauche, et ω est exact. On a donc :

Proposition 2.2. Un foncteur fibre ω de T sur S est exact. Il est à valeurs dans vect(S). En outre il est muni d’isomorphismes fonctoriels ω(A^{∨}) ≃ ω(^{∨}A) ≃ ω(A)^{∗}. ⊓ ⊔

Proposition 2.3. Un foncteur fibre non trivial est fidèle.

La démonstration repose sur le lemme suivant.

Lemme 2.4. Dans une catégorie tensorielle autonome T , tout sous-objet de l’objet unité I en est facteur direct. En particulier si End(I) est un corps, l’objet I est simple.

Démontrons ce lemme. Soit A un sous-objet de I, Q = I/A et B = Q^{∨}. On peut supposer d’une part que T est stricte, et d’autre part que I^{∨} = I (avec e_{I} = h_{I} = 1_{I}); alors B apparaît comme un sous-objet de I. On a donc deux suites exactes courtes :

0 ⟶ A ⟶ I ⟶ Q ⟶ 0  et  0 ⟶ B ⟶ I ⟶ A^{∨} ⟶ 0 .

On va montrer : I = A ⊕ B.

Dans le diagramme commutatif

A ⊗ B y  w y u  A  ww y u  A ⊗ A^{∨} y u h h h h k e_{A}

B y  w u u  I  ww u u  A^{∨} u u

Q ⊗ B y  w Q  ww Q ⊗ A^{∨}

obtenu en tensorisant ces deux suites exactes, lignes et colonnes sont des suites exactes; la commutativité des triangles adjacents à la flèche oblique, qui se déduit facilement de la définition de la dualité, entraîne que A ⊗ B est nul. Par conséquent le morphisme A ⊕ B ⟶ I est un monomorphisme.

Un raisonnement analogue sur le diagramme commutatif

B ⊗ A y  w y u  A  ww y u  A^{∨} ⊗ A y u j h h h h h_{A}

B y  w u u  I  ww u u  A^{∨} u u

B ⊗ Q y  w Q  ww A^{∨} ⊗ Q

montre que A^{∨} ⊗ Q est nul; le morphisme A ⊕ B ⟶ I est donc aussi un épimorphisme, d’où le lemme.⊓ ⊔ Démontrons maintenant la proposition 2.3. Soit ω : T ⟶ Qcoh(S) un foncteur fibre non trivial. C’est un foncteur exact entre

catégories abéliennes; pour qu’il soit fidèle, il suffit que l’image d’un objet non nul soit non nulle. Soit A un objet non nul de T . On a (e_{A} ⊗ 1_{A})(1_{A} ⊗ h_{A}) = 1_{A} ≠ 0, donc e_{A} : A ⊗ A^{∨} ⟶ I est un morphisme non nul; c’est donc un épimorphisme d’après le lemme. Comme ω est exact, on a un épimorphisme de ω(A) ⊗ ω(A^{∨}) sur O_{S}, et ω(A) est non nul si S est non vide. ⊓ ⊔

REMARQUES.

1) Soit T une catégorie k -tensorielle, et T_{0} la sous-catégorie pleine dont les objets sont les multiples de I; elle est équivalente à la catégorie vect(k) des k -espaces vectoriels de dimension finie. Du lemme 2.4. résulte que si T est autonome, alors T_{0} est stable par sous-quotients.

En effet, il suffit de voir que si I est un objet simple d’une catégorie abélienne A, la sous-catégorie pleine A_{0} de A dont les objets sont les multiples de I est stable par sous-quotients. Soit A un sous-objet de I^{n} dans A, et montrons que A est isomorphe à un certain I^{p}. On peut supposer que n est le plus petit entier tel qu’il existe un monomorphisme de A dans I^{n}. Soit π l’une des n projections canoniques de I^{n} sur I^{n−1} , et q la restriction de π à A. Par choix de n, q n’est pas un monomorphisme; Ker(q) est un sous-objet de Ker(π) = I, donc il est égal à Ker(π) car I est simple. Ainsi, A contient chacun des facteurs de I^{n}, et donc A = I^{n}. D’où la stabilité de A_{0} par sous-objets; le même raisonnement dans la catégorie A^{o} montre que A_{0} est stable par sous-quotients.

2) Soient T une catégorie k -tensorielle autonome, et ω un foncteur fibre de T sur un k -schéma S. Soit p : T ⟶ S un morphisme de schémas. Alors le changement de base définit un foncteur fibre p^{∗}ω : T ⟶ Qcoh(T) de T sur T. En particulier, si p est un point de S à valeurs dans une extension K de k, alors p^{∗}ω est un foncteur fibre de T sur Spec K. Ainsi, si T admet un foncteur fibre non trivial, elle en admet un à valeurs dans vect(K), pour une certaine extension K de k.

Définition. Une catégorie k -linéaire A est dite localement de type fini (sur k) si

a) tout objet X de A est de longueur finie,

b) pour tous X, Y objets de A, Hom(X, Y) est de dimension finie sur le corps k.

Proposition 2.5. Soit T une catégorie k -tensorielle autonome.

(i) Si T admet un foncteur fibre non trivial, T est localement de type fini sur k. (ii) Soit ω un foncteur fibre de T sur le spectre d’une k -algèbre commutative B, et X, Y

des objets de T . Alors le morphisme naturel Hom(X, Y)⊗_{k} B ⟶ Hom_{B}(ω(X), ω(Y)) est injectif.

Démonstration. (ii) Soit (f_{1},…, f_{n}) une famille libre dans Hom(X, Y); il s’agit de montrer que la famille (ω(f_{1}),…, ω(f_{n})) est libre sur B, autrement dit, que le morphisme de B -modules Φ : B^{n} ⟶ Hom_{B}(ω(X), ω(Y)) qu’elle induit est injectif.

Via l’isomorphisme Hom(X, Y) ≃ Hom(I, X^{∨} ⊗ Y), la famille des f_{i} définit un morphisme ϕ : I^{n} ⟶ X^{∨} ⊗ Y . Si le noyau de ϕ était non nul, les f_{i} seraient liés, d’après la remarque 1). Ainsi ϕ est un monomorphisme, de même que ω(ϕ) : B^{n} ⟶ ω(X^{∨} ⊗ Y) par l’exactitude de ω. Le morphisme Φ, composé de ω(ϕ) avec l’isomorphisme ω(X^{∨} ⊗ Y) ≃ Hom_{B}(ω(X), ω(Y)), est donc bien injectif.

(i) D’après la remarque 2), on peut trouver un foncteur fibre ω de T à valeurs dans vect(K), où K est une extension de k. On a dim_{k} Hom(X, Y) ≤ dim_{K} ω(X) dim_{K} ω(Y) d’après (ii), d’où la condition b). De même, la longueur de X est majorée par dim_{K}(ω(X)), car ω est fidèle exact, d’où la condition a).⊓ ⊔

Morphismes de foncteurs fibres

Soient T une catégorie k -tensorielle autonome et ω_{1} , ω_{2} deux foncteurs fibres de T sur un même k -schéma S.

Définition. On appelle morphisme (de foncteurs fibres) de ω_{1} vers ω_{2} tout morphisme fonctoriel monoïdal de ω_{1} vers ω_{2} .

Un tel morphisme est toujours un isomorphisme, en vertu de la proposition 1.1.

3.—Cogébroïdes

Soient k un anneau commutatif et B une k -algèbre non nécéssairement commutative. Rappelons que Bimod_{k}(B, B) est la catégorie des (B, B)-bimodules dont les structures de k -module à droite et à gauche coïncident.

Définition. On appelle k -cogébroïde de base B (ou simplement cogébroïde de base B si k = ) la donnée dans Bimod_{k}(B, B) d’un objet L et de deux morphismes

Δ : L ⟶ L ⊗_{B} L
ε : L ⟶ B

de telle sorte que les diagrammes suivants soient commutatifs :

L  w Δ u Δ  L ⊗_{B} L u1_{L} ⊗Δ  B ⊗_{B} L u ≃  Lu Δ  L ⊗_{B} B w ≃

L ⊗_{B} L  w Δ ⊗ 1_{L} L ⊗_{B} L ⊗_{B} L  L ⊗_{B} L^{4 4 4 47} ε ⊗ 1_{L}  ^{h h hh j} 1_{L} ⊗ ε .

Le morphisme Δ est appelé comultiplication ou coproduit; le premier diagramme exprime la coassociativité du coproduit, le second traduit le fait que ε est une coünité.

Si L et L′ sont deux k -cogébroïdes de base B, un morphisme de k -cogebroïdes de L vers L′ est un morphisme de Bimod_{k}(B, B) compatible aux coproduits et aux coünités. On définit ainsi la catégorie Cog_{k}(B) des k -cogébroïdes de base B.

Les limites inductives existent dans Cog_{k}(B), et le foncteur oubli de Cog_{k}(B) vers Bimod_{k}(B, B) commute aux limites inductives.

Soit f un morphisme de k -algèbres de B vers B′; si L est un k -cogèbroïde de base B, L′ = B′ ⊗_{B} L ⊗_{B} B′ est naturellement muni d’une structure de k -cogébroïde de base B′. Ainsi, f induit par changement de base un foncteur f_{∗} : Cog_{k}(B) ⟶ Cog_{k}(B′).

REMARQUE. Un k -cogébroïde de base k n’est autre qu’une k -cogèbre.

Définition. Soit L un k -cogébroïde de base B. Un L-comodule à droite est un B -module à droite V muni d’un morphisme de B -modules à droite

δ : V ⟶ V ⊗_{B} L

tel que les diagrammes suivants soient commutatifs :

V  w δ u δ  V ⊗_{B} L u1_{V} ⊗Δ  Vu δ  V ⊗_{B} B w ≃

V ⊗_{B} L  w δ ⊗ 1_{L} V ⊗_{B} L ⊗_{B} L  V ⊗_{B} L^{h h hh j} 1_{V} ⊗ ε .

Ces diagrammes expriment le fait que δ est une coaction à droite de L sur V . On imagine la définition d’un L-comodule à gauche.

Les L-comodules à droite constituent une catégorie, que l’on notera Comod(B : L), dont les morphismes sont les morphismes de B -modules qui sont compatibles aux coactions. On a donc un foncteur oubli

U : Comod(B : L) ⟶ Mod(B).

On notera comod(B : L) la sous-catégorie pleine de Comod(B : L) des L-comodules dont le B -module sous-jacent est de type fini.

Proposition 3.1.

a) Dans la catégorie Comod(B : L), les limites inductives (et en particulier les conoyaux) existent. Le foncteur oubli U est fidèle, conservatif et commute aux limites inductives.

b) Si L est plat comme B -module à gauche, Comod(B : L) est abélienne, et le foncteur oubli U est exact.

Démonstration.

a) Il est clair que U est fidèle et conservatif (ce qui signifie qu’un morphisme dont l’image par U est un isomorphisme, est un isomorphisme). Si (V_{i}) est un système inductif de L-comodules à droite, la limite inductive des U(V_{i}) est naturellement munie d’une coaction à droite de L qui en fait une limite inductive des V_{i}. (Il n’en va généralement pas de même des systèmes projectifs.)

b) Supposons L plat comme B -module à gauche. Par a), il suffit de vérifier que les noyaux existent dans Comod(B : L), et que U commute à leur formation. Soit f : V ⟶ V′ un morphisme de Comod(B : L). Soit N le noyau de U(f). Il résulte de l’hypothèse de platitude que le morphisme N ⊗_{B} L ⟶ U(V) ⊗_{B} L est le noyau de U(f) ⊗_{B} 1_{L} et que N ⊗_{B} L ⊗_{B} L ⟶ U(V) ⊗_{B} L ⊗_{B} L est injectif; on peut en déduire sur N une structure de L-comodule à droite qui en fait un noyau de f.⊓ ⊔

REMARQUE. Le foncteur U admet pour adjoint à droite le foncteur H de Mod(B) vers Comod(B : L) qui au B -module N associe le L-comodule (N ⊗_{B} L, 1_{N} ⊗_{B}Δ). En effet, soient N un B -module à droite et V un L-comodule à droite, de coaction δ. L’application f ↦ g = (f ⊗_{B} 1_{L})δ est une bijection de Hom_{B}(U(V), N) vers Hom_{Comod(B:L)}(V, H(N)), dont l’inverse est donné par g ↦ (1_{N} ⊗_{B} ε)g.

Un morphisme f : L′ ⟶ L de k -cogébroides de base B induit un foncteur

f_{∗} : Comod(B : L′) ⟶ Comod(B : L)
(V, δ) ⟼ (V, (1_{V} ⊗_{B}f)δ) .

Proposition 3.2. Soit i : L′ ⟶ L un morphisme de k -cogébroïdes de base B. On suppose que i est injectif, et que L et L/i(L′) sont plats comme B -modules à gauche.

Alors le foncteur i_{∗} : Comod(B : L′) ⟶ Comod(B : L) est pleinement fidèle, exact, et identifie Comod(B : L′) à la sous-catégorie strictement pleine^{4} C de Comod(B : L) des L-comodules à droite V dont la coaction δ : V ⟶ V ⊗_{B} L est à valeurs dans l’image de l’application 1_{V} ⊗_{B} i : V ⊗_{B} L′ ⟶ V ⊗_{B} L. En outre, la sous-catégorie abélienne C est stable par sous-quotients.

Démonstration. Il résulte des hypothèses que L′ est lui aussi plat à gauche sur B. Utilisant la proposition 3.1, on voit que Comod(B : L′) est abélienne, et que le foncteur i_{∗} : Comod(B : L′) ⟶ Comod(B : L) est fidèle et exact.

L’image de i_{∗} étant clairement contenue dans C, vérifions l’inclusion inverse. Quitte à remplacer L′ par son image par i, on peut supposer que i est une inclusion. Soit V un objet de C. Par injectivité de l’application j : V ⊗_{B} L′ ⟶ V ⊗_{B} L, la coaction de V se remonte de façon unique en une application δ′ : V ⟶ V ⊗_{B} L′; grâce à l’injectivité de l’application V ⊗_{B} L′ ⊗_{B} L′ ⟶ V ⊗_{B} L ⊗_{B} L, δ′ est une coaction de L′ sur V , de sorte que V est naturellement muni d’une structure de L′ -comodule à droite. Tout morphisme V′ ⟶ V de C est aussi un morphisme de L′ -comodules à droite, en vertu de l’injectivité de j.

Enfin, C est manifestement stable par quotients; l’inclusion de C dans Comod(B : L) étant exacte, C est aussi stable par sous-objets. ⊓ ⊔

Proposition 3.3. Soit L un k -cogébroïde de base B, et supposons L projectif en tant que B -module à gauche. Alors tout L-comodule à droite est limite inductive filtrante de ses sous-comodules qui sont de type fini comme B -modules.

Démonstration. Nous aurons besoin du lemme suivant.

Lemme. Soit A un anneau, M un A-module à gauche projectif, et N un A-module à droite. Alors pour tout élément f de N ⊗_{A} M, il existe un plus petit sous-module N_{0} de N vérifiant f ∈ N_{0} ⊗_{A} M. Ce sous-module est de type fini.

Démonstration du lemme. Traîtons tout d’abord le cas où M est un module libre : M = A^{(I)} . Alors N ⊗_{A} M ≃ N^{(I)} et f s’identifie à une famille presque nulle (f_{i})_{i∈I} d’éléments de N; le sous-module N_{0} de N engendré par les f_{i} convient. Dans le cas général, M est facteur direct d’un A-module libre M′; considérons f comme un élément de N ⊗_{A}M′; le plus petit sous-module N_{0} de N tel que N_{0}⊗_{A}M′ contienne f convient. ⊓ ⊔

Revenons à la démonstration de la proposition. Notons que par la proposition 3.1, la catégorie Comod(B : L) est abélienne, et le foncteur oubli U est exact.

Soit V un L-comodule à droite, et u un élément de V . Le lemme nous assure de l’existence d’un plus petit sous-module V_{0} de V tel que V_{0} ⊗_{B} L contienne l’image de

4 Une sous-catégorie strictement pleine est une sous-catégorie pleine stable par isomorphie. u par la coaction δ. Montrons que V_{0} est un sous-comodule de V contenant u, ce qui achèvera la démonstration.

On a : δ u ∈ V_{0} ⊗_{B} L, donc u = (1_{V} ⊗_{B} ε)(δ (u)) ∈ V_{0} . D’autre part, (δ ⊗_{B} 1_{L})δ u = (1_{V} ⊗_{B}Δ)δ u ∈ V_{0}⊗_{B} L⊗_{B} L. Ainsi, δ u ∈ (δ⊗_{B} 1_{L})^{−1}(V_{0}⊗_{B} L⊗_{B} L) = δ^{−1}(V_{0}⊗_{B} L)⊗_{B} L (car L est plat à gauche sur B). D’où, par définition de V_{0} , V_{0} ⊂ δ^{−1}(V_{0} ⊗_{B} L), ce qui revient à : δ V_{0} ⊂ V_{0} ⊗_{B} L; autrement dit, V_{0} est un sous-comodule de V .⊓ ⊔

Cogébroïde opposé, produit tensoriel de cogébroïdes.

Si (L, Δ, ε) est un k -cogébroïde de base B, l’objet de Bimod_{k}(B^{o}, B^{o}) canoniquement associé à L est muni d’une structure naturelle de k -cogébroïde de base B^{o} qu’on appelle le k -cogébroïde opposé à L et qu’on note L^{o}; il a pour coünité ε, et pour coproduit Δ^{o} = σ ∘ Δ, où σ est l’isomorphisme (L ⊗_{B} L)^{o} ≃ L^{o} ⊗_{B^{o}} L^{o} défini par x ⊗ y ⟼ y ⊗ x.

REMARQUES.

1) Se donner un L-comodule à gauche revient à se donner un L^{o} -comodule à droite.

2) Soit V un L-comodule à droite, et supposons V projectif de type fini comme B - module. Soit ^{∨}V = Hom_{B}(V, B) : si l’on considère V comme un (k, B)-bimodule, ^{∨}V n’est autre que le dual à gauche de V tel qu’il est défini dans l’exemple de la section 1. Alors ∨V est naturellement muni d’une structure de L-comodule à gauche, ou, si l’on préfère, de L^{o} -comodule à droite, la coaction de L étant la composée des morphismes

∨V  w 1 ⊗ η_{V} ^{∨}V ⊗_{k} V ⊗_{B} ^{∨}V  w 1 ⊗ δ ⊗ 1 ^{∨}V ⊗_{k} V ⊗_{B} L ⊗_{B} ^{∨}V  w ε_{V} ⊗ 1 ⊗ 1 L ⊗_{B} ^{∨}V

(où ε_{V} et η_{V} sont l’évaluation et la coévaluation).

De même, si (L, Δ, ε) et (L′, Δ′, ε′) sont deux k -cogébroïdes de bases respectives B et B′, alors L⊗_{k} L′ est naturellement muni d’une structure de k -cogébroïde de base B ⊗_{k} B′, qu’on appelle produit tensoriel sur k de L et L′ : la coünité est ε⊗_{k}ε′ et la comultiplication est la composée de Δ ⊗_{k} Δ′ et de l’isomorphisme canonique (L ⊗_{B} L) ⊗_{k} (L′ ⊗_{B′} L′) ≃ (L ⊗_{k} L′) ⊗_{B⊗_{k}B′} (L ⊗_{k} L′) qui échange les deux facteurs du milieu.

REMARQUE. Soient V un L-comodule à droite, et V′ un L′ -comodule à droite. Alors V ⊗_{k} V′ est naturellement muni d’une structure de L ⊗_{k} L′ -comodule à droite.

Un (L, L′)-bicomodule est un objet V de Bimod_{k}(B, B′) muni d’une coaction de L à gauche δ : V ⟶ L ⊗_{B} V et d’une coaction de L′ à droite δ′ : V ⟶ V ⊗_{B′} L′ qui sont des morphismes de Bimod_{k}(B, B′), avec la condition de compatibilité :

(1_{L} ⊗_{B}δ′)δ = (δ ⊗_{B′} 1_{L′})δ′ .

La donnée d’un (L, L′)-bicomodule équivaut à celle d’un L^{o} ⊗_{k} L′ -comodule à droite.

En particulier, tout k -cogébroïde L de base B est naturellement muni d’une structure de L^{o} ⊗_{k} L-comodule à droite.

Une application du théorème de Barr-Beck.

Soient C une catégorie, et End(C) la catégorie des endofoncteurs de C. Munie de la composition des foncteurs, c’est une catégorie monoïdale stricte d’objet unité le foncteur identité. Dans cette catégorie, un dual à droite (resp. à gauche) n’est autre qu’un adjoint à droite (resp. à gauche).

Une comonade de C est un monoïde dans la catégorie End(C)^{o}. Autrement dit, c’est un foncteur Λ : C ⟶ C muni de morphismes fonctoriels

Δ : Λ ⟶ Λ ∘ Λ
ε : Λ ⟶ 1_{C}

de telle sorte que les diagrammes suivants soient commutatifs :

Λ  w Δ u Δ  Λ ∘ Λ u1_{Λ} ∘Δ  1_{C} ∘Λ u =  Λu Δ  Λ ∘ 1_{C} w =

Λ ∘ Λ  w Δ ∘ 1_{Λ} Λ ∘ Λ ∘ Λ  Λ ∘ Λ^{4 4 4 47} ε ∘ 1_{Λ}  ^{h h hh j} 1_{Λ} ∘ε .

Soit X un objet de C. Une coaction de Λ sur X est un morphisme δ : X ⟶ Λ(X) tel que les diagrammes suivants commutent :

X  w δ u δ  Λ(X) uΔ(X)  Xu δ  X w =

Λ(X)  w Λ(δ) Λ ∘ Λ(X)  Λ(X)^{````}ˆ ε(X) .

EXEMPLE. Soient A, B deux catégories, et F : A ⟶ B un foncteur admettant un adjoint à droite G. Notons ε : F ∘ G ⟶ 1_{B} et η : 1_{A} ⟶ G ∘ F les flèches d’adjonction.

Soient Λ = F ∘ G : B ⟶ B et Δ = F ηG : Λ ⟶ Λ ∘ Λ. Alors (Λ, Δ, ε) est une comonade de B. En outre δ = F η : F ⟶ Λ∘F définit fonctoriellement pour chaque objet X de A une coaction δ(X) de Λ sur F (X).

Soit B_{Λ} la catégorie des objets de B munis d’une coaction de Λ (avec morphismes compatibles aux coactions). Alors la coaction fonctorielle δ de Λ sur F correspond à un foncteur

F̃ : A ⟶ B_{Λ} .

Théorème 3.4.(Barr-Beck). Dans la situation de l’exemple, supposons que le foncteur F vérifie les deux conditions suivantes :

(i) Si l’image par F d’une double flèche de A admet un noyau, alors cette double flèche admet un noyau et l’image de ce noyau est le noyau de l’image de la double flèche;

(ii) Soient (f, g) une double flèche de A de source X et u un morphisme de A de but X tel que fu = gu. Si F (u) est un noyau de (F (f), F (g)) alors u est un noyau de (f, g).

Alors F̃ : A ⟶ B_{Λ} est une équivalence de catégories. ⊓ ⊔

Pour la démonstration, voir [7], VI, 7. L’application que nous avons en vue est la suivante. Soient A, B deux anneaux, A = Mod(A) et B = Mod(B). Tout (A, B)-bimodule M définit un foncteur exact à droite

F : A ⟶ B
E ⟼ E ⊗_{A} M

d’où un foncteur pleinement fidèle

Mod(A^{o} ⊗ B) ⟶ Hom(A, B)
M ⟼? ⊗_{A} M

qui admet la retraction F ⟶ F (A).

Dans le cas A = B, si Λ : B ⟶ B est le foncteur ? ⊗_{B} L, la donnée d’une structure de comonade sur Λ équivaut à la donnée d’une structure de cogébroïde de base B sur L. Alors la catégorie B_{Λ} n’est autre que Comod(B : L).

Soient à présent M un (A, B)-bimodule, projectif de type fini en tant que B -module, et F le foncteur ? ⊗_{A} M de Mod(A) dans Mod(B). Considérons le (B, A)-bimodule ^{∨}M, muni des morphismes ε : ^{∨}M ⊗_{A}M ⟶ B et η : A ⟶ M ⊗_{B}^{∨}M introduits dans l’exemple de la section 1. Alors le foncteur G =? ⊗_{B} ^{∨}M : Mod(B) ⟶ Mod(A) est adjoint à droite à F. La structure de comonade sur Λ = F ∘ G qui s’en déduit correspond à une structure de cogébroïde de base B sur ^{∨}M ⊗_{A} M donnée par la comultiplication

Δ : ^{∨}M ⊗_{A} M ⟶ ^{∨}M ⊗_{A} M ⊗_{B} ^{∨}M ⊗_{A} M
λ ⊗ x ⟼ λ ⊗ η(1_{A}) ⊗ x

la coünité étant ε.

Pour tout A-module à droite E, E ⊗_{A} M est naturellement muni d’une structure de ∨M ⊗_{A} M -comodule à droite donnée par

δ : E ⊗_{A} M ⟶ E ⊗_{A} M ⊗_{B} ^{∨}M ⊗_{A} M
e ⊗ x ⟼ e ⊗ η(1_{A}) ⊗ x .

On a alors

Proposition 3.5. Soit M un (A, B)-bimodule projectif de type fini sur B et fidèlement plat sur A.

Alors le foncteur

F̃ : Mod(A) ⟶ Comod(B : ^{∨}M ⊗_{A} M)

est une équivalence de catégories; en outre il induit une équivalence de catégories entre mod(A) et comod(B : ^{∨}M ⊗_{A} M).

Démonstration. La première assertion de la proposition est la traduction du théorème de Barr-Beck (3.4.); la seconde résulte de la proposition suivante, qui nous sera utile par ailleurs.

Proposition 3.6. Soit M un (A, B)-bimodule fidèlement plat sur A et de type fini sur B. Soit E un A-module à droite. Si E ⊗_{A} M est un B -module de type fini (resp. de présentation finie), alors E est un A-module de type fini (resp. de présentation finie).

Démonstration. Supposons E ⊗_{A} M de type fini sur B; alors il existe un sous-module de type fini E_{1} ⊂ E tel que E_{1} ⊗_{A} M ⟶ E ⊗_{A} M soit un isomorphisme; posons Q = E/E_{1} , de sorte qu’on a une suite exacte courte

0 ⟶ E_{1} ⟶ E ⟶ Q ⟶ 0 .

Comme E_{1} ⊗_{A} M ⟶ E ⊗_{A} M est surjectif, on a Q ⊗_{A} M = 0, d’où Q = 0 et E = E_{1} , et E est de type fini.

Si en outre E ⊗_{A}M est de présentation finie, considérons un épimorphisme A^{n} ⟶ E, de noyau N. Alors N ⊗_{A} M est le noyau de M^{n} ⟶ E ⊗_{A} M; il est donc de type fini; par conséquent N est de type fini. ⊓ ⊔

Nous aurons besoin dans la section 8 d’une autre application du théorème de Barr-Beck : la descente fidèlement plate des comodules.

Propositon 3.7. Soit f : B ⟶ B′ un morphisme d’anneaux. On suppose que B′ est fidèlement plat à gauche sur B. Soit L un cogébroïde de base B, plat à gauche sur B, et L′ le cogébroïde de base B′ qui s’en déduit par changement de base. Alors le foncteur naturel

Comod(B : L) ⟶ Comod(B′ : L′)
(V, δ) ↦ (V ⊗_{B} B′, δ ⊗_{B} 1_{B′})

est une équivalence de catégories. En outre, il induit une équivalence de catégories de comod(B : L) vers comod(B′ : L′).

Démonstration. Le foncteur P =? ⊗_{B} B′ : Mod(B) ⟶ Mod(B′) est fidèle exact, et admet pour adjoint à droite le foncteur Q : Mod(B′) ⟶ Mod(B) qui associe à un B′ -module le B -module sous-jacent.

D’autre part, d’après (3.1.) et la remarque qui le suit, la catégorie Comod(B : L) est abélienne et le foncteur oubli U : Comod(B : L) ⟶ Mod(B) est fidèle, exact, et admet pour adjoint à droite le foncteur H : Mod(B′) ⟶ Comod(B : L) qui à tout B -module à droite N associe le L-comodule (N ⊗_{B} L, 1_{N} ⊗_{B}Δ).

Par conséquent, le foncteur F = P ∘ U : Comod(B : L) ⟶ Mod(B′) est fidèle exact, et admet l’adjoint à droite G = H ∘ Q. Nous pouvons donc lui appliquer le théorème de Barr-Beck. On a F ∘ G(N) = N ⊗_{B′} (B′ ⊗_{B} L ⊗_{B} B′), donc la structure de comonade de F ∘ G correspond à une structure de cogébroïde de base B′ sur B′ ⊗_{B} L ⊗_{B} B′, qui n’est autre que L′. D’où l’équivalence de catégories F̃ : Comod(B : L) ⟶ Comod(B′ : L′). La seconde assertion résulte de la proposition 3.7.⊓ ⊔ 4.—Cogébroïde associé à un foncteur

Soit k un anneau commutatif. Soient C une catégorie essentiellement petite, B_{1} , B_{2} deux k -algèbres et F_{1} , F_{2} deux foncteurs de C vers proj(B_{1}) et proj(B_{2}) respectivement.

Soit \underline{L}_{k}(F_{1}, F_{2}) le foncteur

Bimod_{k}(B_{1}, B_{2}) ⟶ Ens
M ⟼ {morphismes fonctoriels B_{2}-linéaires : F_{2} ⟶ F_{1} ⊗_{B_{1}} M} .

Proposition 4.1. Le foncteur \underline{L}_{k}(F_{1}, F_{2}) est représentable.

On notera L_{k}(F_{1}, F_{2}) l’objet de Bimod_{k}(B_{1}, B_{2}) qui représente ce foncteur, et λ_{0} le morphisme fonctoriel B_{2} -linéaire universel F_{2} ⟶ F_{1} ⊗_{B_{1}} L_{k}(F_{1}, F_{2}) dont il est muni.

Démonstration. Précisons la propriété universelle satisfaite par L_{k}(F_{1}, F_{2}) et λ_{0} : soit M un objet de Bimod_{k}(B_{1}, B_{2}) et λ un morphisme fonctoriel B_{2} -linéaire de F_{2} vers F_{1} ⊗_{B_{1}} M; alors il existe un morphisme de (B_{1}, B_{2})-bimodules unique ϕ de L_{k}(F_{1}, F_{2}) vers M tel qu’on ait λ = (1_{F_{1}} ⊗_{B_{1}}ϕ)λ_{0} .

Construisons à présent L_{k}(F_{1}, F_{2}) et λ_{0} .

Si B est un anneau et N un objet de proj(B), on note ^{∨}N le B -module à gauche Hom_{B}(N, B).

On peut supposer C petite. Posons alors L_{0} = ⨁_{X∈Ob(C)}^{∨}F_{1}(X) ⊗_{k} F_{2}(X). Pour tout

morphisme f de C, de source X et de but Y , on forme le diagramme :

\begin{matrix}(D_{f}) & ^{∨}F_{1}(Y) ⊗_{k} F_{2}(X)  w^{^{∨}F_{1}(f)⊗1} u_{1 ⊗F_{2}(f)} & ^{∨}F_{1}(X) ⊗_{k} F_{2}(X) u \\ ^{∨}F_{1}(Y) ⊗_{k} F_{2}(Y)  w & L_{0} \end{matrix}

et L_{k}(F_{1}, F_{2}) est le quotient de L_{0} qui rend les diagrammes D_{f} commutatifs.

Soient X un objet de C, η : k ⟶ F_{1}(X) ⊗_{B_{1}} ^{∨}F_{1}(X) le morphisme de coévaluation, et notons π le morphisme de passage au quotient L^{0} ⟶ L_{k}(F_{1}, F_{2}). Alors λ_{0}(X) est la composée de

F_{2}(X) ⟶^{η⊗1} F_{1}(X) ⊗_{B_{1}} ^{∨}F_{1}(X) ⊗_{k} F_{2}(X) ⟶^{1 ⊗ π} F_{1}(X) ⊗_{B_{1}} L_{k}(F_{1}, F_{2}) ,

les relations définissant L_{k}(F_{1}, F_{2}) étant exactement ce qu’il faut pour assurer la fonctorialité de λ_{0} en X. ⊓ ⊔

Comultiplication—Coünité

Soit C une catégorie (essentiellement petite), et supposons donnés des k -algèbres B_{i}, et des foncteurs F_{i} : C ⟶ proj(B_{i}).

De la propriété universelle se déduit un morphisme de Bimod_{k}(B_{1}, B_{3})

Δ(F_{1}, F_{2}, F_{3}) : L_{k}(F_{1}, F_{3}) ⟶ L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{2}} L_{k}(F_{2}, F_{3})

appelé comultiplication ou coproduit. La comultiplication est coassociative, autrement dit, elle rend commutatif le diagramme suivant :

L_{k}(F_{1}, F_{4})  w^{Δ(F_{1},F_{3},F_{4})} u_{Δ(F_{1},F_{2},F_{4})}  L_{k}(F_{1}, F_{3}) ⊗_{B_{3}} L_{k}(F_{3}, F_{4}) u_{Δ(F_{1},F_{2},F_{3})⊗1}

L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{2}} L_{k}(F_{2}, F_{4}) w_{1 ⊗Δ(F_{2},F_{3},F_{4})} L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{2}} L_{k}(F_{2}, F_{3}) ⊗_{B_{3}} L_{k}(F_{3}, F_{4})

De même, pour toute k -algèbre B et tout foncteur F : C ⟶ proj(B), on a par la propriété universelle un morphisme de Bimod_{k}(B, B)

ε(F) : L_{k}(F, F) ⟶ B

appelé coünité, car il rend commutatif le diagramme suivant :

B_{1} ⊗_{B_{1}} L_{k}(F_{1}, F_{2})  L_{k}(F_{1}, F_{2}) u ^{≃}  w^{≃} ` ` ` `_{˜ Δ(F_{1},F_{1},F_{2})}  _{A A AA C}_{Δ(F_{1},F_{2},F_{2})} L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{2}} B_{2}

L_{k}(F_{1}, F_{1}) ⊗_{B_{1}} L_{k}(F_{1}, F_{2}) u^{ε(F_{1})⊗1}  L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{2}} L_{k}(F_{2}, F_{2}) u^{1 ⊗ ε(F_{2})}

Pour tout foncteur F : C ⟶ proj(B), L_{k}(F, F) est ainsi muni d’une structure de k -cogébroïde de base B, qu’on notera L_{k}(F).

Proposition 4.2. Le cogébroïde L_{k}(F) représente le foncteur

Cog_{k}(B) ⟶ Ens

L ⟼ {coactions à droite fonctorielles de L sur F } .

En effet, λ_{0} : F ⟶ F ⊗_{B} L_{k}(F) est une coaction fonctorielle de L_{k}(F) sur F, et on vérifie que, dans la bijection entre morphismes fonctoriels F ⟶ F ⊗_{B} L et morphismes (B, B)-linéaires de L_{k}(F) vers L, les coactions à droite correspondent exactement aux morphismes de k -cogébroides.⊓ ⊔

4.3. Quelques propriétés de fonctorialité.

(i) Changement de scalaires.

Soit B_{i} ⟶ C_{i} un morphisme de k -algèbres pour i = 1, 2. Alors

C_{1} ⊗_{B_{1}} L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{2}} C_{2} ≃ L_{k}(F_{1} ⊗_{B_{1}} C_{1}, F_{2} ⊗_{B_{2}} C_{2}) .

(ii) Fonctorialité par rapport à C.

Tout foncteur T d’une catégorie C′ dans C induit un morphisme

L_{k}(F_{1} ∘ T, F_{2} ∘ T) ⟶ L_{k}(F_{1}, F_{2})

de façon compatible aux coproduits et aux coünités.

(iii) Limites inductives.

Si C est limite inductive filtrante de catégories C^{i}, et si T_{i} : C^{i} ⟶ C est le foncteur naturel, le morphisme \underrightarrow{lim}L_{k}(F_{1} ∘ T^{i}, F_{2} ∘ T^{i}) ⟶ L_{k}(F_{1}, F_{2}) est un isomorphisme.

(iv) Dualité.

Soit F : C ⟶ proj(B). En associant à un B -module à droite M le B -module à gauche ^{∨}M = Hom_{B}(M, B), on définit un foncteur ^{∨}? : proj(B)^{o} ⟶ proj(B^{o}) qui est une équivalence de catégories; notons F^{%} le foncteur de C^{o} vers proj(B^{o}) obtenu par composition de F et du foncteur ^{∨}?. Alors on a

L_{k}(F_{1}, F_{2}) ≃ L_{k}(F_{2}^{%}, F_{1}^{%})^{o}

(si M est un (B_{1}, B_{2})-bimodule, M^{o} désigne le (B_{2}^{o}, B_{1}^{o})-bimodule associé). En particulier, on a un isomorphisme de k -cogébroïdes L_{k}(F^{%}) ≃ L_{k}(F)^{o}.

(v) Produits tensoriels.

Soient F_{i} : C ⟶ proj(B_{i}) et F′_{i} : C′ ⟶ proj(B_{i}) pour i = 1, 2, et supposons les algèbres B_{i} commutatives. Alors on peut former F_{i} ⊗_{B_{i}} F′_{i} : C × C′ ⟶ proj(B_{i}) et on a :

L_{k}(F_{1} ⊗_{B_{1}} F′_{1}, F_{2} ⊗_{B_{2}} F′_{2}) ≃ L_{k}(F_{1}, F_{2}) ⊗_{B_{1}⊗_{k}B_{2}} L_{k}(F′_{1}, F′_{2}) .

REMARQUE. Soient C une catégorie, k un anneau commutatif, B une k -algèbre, F un foncteur de C dans proj(B), et C_{0} une sous-catégorie pleine de C. Notons T le foncteur d’inclusion.

Nous dirons que C_{0} engendre F si pour tout objet X de C, le B -module à droite F (X) est engendré par les images des morphismes F (f), pour f décrivant les morphismes dans C de but X et de source un objet de C_{0} .

Alors si C_{0} engendre F, le morphisme naturel

L_{k}(F ∘ T) ⟶ L_{k}(F)

est surjectif.

EXEMPLE. Soient k un anneau commutatif, A et B deux k -algèbres, et M un objet de Bimod_{k}(A, B). On suppose M projectif de type fini comme B -module. Notons F le foncteur ? ⊗_{A} M de Mod(A) vers Mod(B). Soit C une sous-catégorie pleine de Mod(A) contenant A et dont l’image par F est contenue dans proj(B).

Proposition 4.4. Avec les notations ci-dessus, on a un isomorphisme naturel de cogébroïdes

∨M ⊗_{A} M ⟶ L_{k}(F_{|C}) .

Démonstration. Soit C_{0} la sous-catégorie pleine de Mod(A) ayant A pour seul objet. Notons L_{0} = L_{k}(F_{|C_{0}}) et L = L_{k}(F_{|C}). On a L_{0} = ^{∨}M ⊗_{A} M. L’inclusion C_{0} ⊂ C induit par fonctorialité un morphisme ϕ : L_{0} ⟶ L qui est surjectif, car C_{0} engendre C (cf. remarque précédente). D’autre part, la coaction à droite de L_{0} = ^{∨}M ⊗_{A} M sur M s’étend naturellement en une coaction de L_{0} sur le foncteur F =? ⊗_{A} M; d’où un morphisme ψ de L vers L_{0} vérifiant ψ ∘ ϕ = 1_{L_{0}} . Ainsi ψ est inverse de ϕ. ⊓ ⊔

5.—Cogébroïdes semi-transitifs

Dans toute cette section, k est un corps commutatif, sauf mention explicite du contraire. (Il me semble difficile de contourner cette hypothèse).

Résumons le but de cette section en quelques mots. Soit B une k -algèbre. On a introduit dans les sections 3 et 4 les deux constructions suivantes.

a) À tout k -cogébroide L de base B, on associe le couple (comod(B : L), U), où U est le foncteur oubli de comod(B : L) vers mod(B).

b) À tout couple (C, F), où C est une catégorie (essentiellement petite) et F un foncteur de C vers proj(B), on associe un k -cogébroide L_{k}(F) de base B. Idéalement, on aimerait caractériser tous les couples (C, F) obtenus par le procédé a),

et pouvoir reconstruire le cogébroide L à partir d’un tel couple par le procédé b) : c’est la reconstruction tannakienne.

En fait, pour un k -cogébroïde quelconque L de base B, la catégorie comod(B; L) n’est pas satisfaisante de ce point de vue là : d’une part, elle n’est pas nécessairement abélienne, et d’autre part, le foncteur oubli U n’est pas nécessairement à valeurs dans proj(B), ce qui interdit de lui appliquer le procédé b).

Voilà pourquoi on est amené à introduire la notion de k -cogébroïde semi-transitif; si la catégorie C est abélienne k -linéaire, et F : C ⟶ Mod(B) est k -linéaire, fidèle et exact, et à valeurs dans proj(B), alors L_{k}(F) est semi-transitif; en outre, tout k -cogébroïde semitransitif est de cette forme. C’est essentiellement le théorème 5.2, dû à Deligne (bien que [2] n’introduise pas explicitement la notion de semi-transitivité).

Autre intérêt de cette notion : le théorème fondamental des cogèbres se généralise aux cogébroïdes semi-transitifs.

Rappelons qu’à une catégorie A, on associe une catégorie Ind A de la façon suivante : les objets de Ind A sont les systèmes inductifs filtrants de A; on les appelle les Ind-objets de A. Si (X^{i}) et (Y^{j}) sont deux tels systèmes, on pose

Hom_{Ind A}((X^{i}), (Y^{j})) =\underleftarrow{lim}_{i}\underrightarrow{lim}_{j}Hom_{A}(X^{i}, Y^{j}).

C’est une façon universelle d’adjoindre à la catégorie A des limites inductives filtrantes.

Définition. Un k -cogébroïde L de base B est dit semi-transitif s’il vérifie les trois conditions suivantes. ST1 Tout objet de comod(B : L) est projectif en tant que B -module. ST2 Tout objet de Comod(B : L) est limite inductive filtrante d’objets de comod(B : L). ST3 La catégorie k -linéaire comod(B : L) est localement de type fini.

EXEMPLE STANDARD. Soit A une k -algèbre de dimension finie; la catégorie mod(A) est abélienne, k -linéaire, localement de type fini. Soit B une k -algèbre, et M un objet de Bimod_{k}(A, B) fidèlement plat sur A, et projectif de type fini sur B. Soit F le foncteur ? ⊗_{A} M de mod(A) dans Mod(B).

Alors L = ^{∨}M ⊗_{A} M est un k -cogébroïde de base B (voir 4.4.), et il résulte du théorème de Barr-Beck (3.5.) que les foncteurs naturels Mod(A) ⟶ Comod(B : L) et mod(A) ⟶ comod(B : L) sont des équivalences de catégories, de sorte que L vérifie ST2 et ST3. Un k -cogébroïde de cette forme sera dit de type standard.

Si on fait l’hypothèse supplémentaire que F est à valeurs dans proj(B), le k -cogébroïde L, qui s’identifie alors à L_{k}(F), vérifie ST1. Il est donc semi-transitif. Un tel k -cogébroïde sera dit semi-transitif de type standard.

Proposition 5.1. Soit k un anneau commutatif. Soit B une k -algèbre et L un k - cogébroïde de base B. On fait l’hypothèse que le B -module sous-jacent à tout objet de comod(B : L) est projectif. Alors

(i) la catégorie comod(B : L) est abélienne et la restriction du foncteur oubli

U : Comod(B : L) ⟶ Mod(B)

à la catégorie comod(B : L) est fidèle exacte; en outre tout objet de comod(B : L) est noethérien;

(ii) tout L-comodule à droite qui est limite inductive filtrante d’objets de comod(B : L) est projectif en tant que B -module (plus précisément, somme directe de B -modules projectifs de type fini);

(iii) le foncteur naturel Ind comod(B : L) ⟶ Comod(B : L) est pleinement fidèle.

En particulier, si L est un k -cogébroïde semi-transitif de base B, tout L-comodule à droite est projectif comme B -module, et Comod(B : L) est équivalente à Ind comod(B : L).

Démonstration.

(i) Soit f : V′ ⟶ V un morphisme de Comod(B : L). Si le noyau de U(f) est facteur direct de U(V′) alors il est naturellement muni d’une coaction de L qui en fait un noyau de f.

Supposons V de type fini comme B -module. Le conoyau de f est de type fini, donc projectif, comme B -module. Ainsi Im(U(f)) est facteur direct de U(V), donc projectif, et donc Ker(U(f)) est facteur direct de U(V′). Par conséquent, f admet un noyau dans Comod(B : L), et l’image par U de ce noyau est le noyau de U(f).

En particulier, les noyaux existent dans la catégorie comod(B : L), et le foncteur oubli de comod(B : L) vers Mod(B) commute à leur formation; d’après (3.1.), il en va de même pour les sommes finies et les conoyaux, donc comod(B : L) est abélienne et le foncteur oubli est fidèle exact.

Soit V un objet de comod(B : L), et (V_{n}) une suite croissante de sous-objets de V . Considérons le morphisme canonique f : ⨁ V_{n} ⟶ V . L’image de U(f) est un facteur direct de U(V); elle est donc de type fini comme B -module, et la suite des V_{n} est stationnaire. L’objet V est donc noethérien.

(ii) Soit (V_{i})_{i∈I} un système inductif filtrant d’objets de comod(B : L), et V =\underrightarrow{lim}V_{i}. Montrons qu’en tant que B -module, V est somme directe de sous-modules projectifs de type fini.

On peut, quitte à remplacer V_{i} par son image dans V , supposer que les morphismes naturels V_{i} ⟶ V sont injectifs. (Cette image est encore un comodule, en tant que limite inductive des images de V_{i} dans les V_{j} pour i ≤ j). On considèrera donc les V_{i} comme inclus dans V .

On aura besoin du fait suivant. Soit W un sous B -module de V somme d’une sousfamille quelconque de (V_{i}). Alors pour tout j, W ∩ V_{j} est un sous-comodule de V_{j}. Démontrons-le. Puisque V_{j} est noethérien dans comod(B : L), on peut supposer que W est somme d’un nombre fini des V_{i}. Le système inductif étant filtrant, il existe un l tel que V_{l} contienne V_{j} et W. Alors W et V_{j} sont des sous-comodules de V_{l}, ainsi que W ∩ V_{j} = ker(W ⟶ V_{l}/V_{j}).

Soit maintenant M l’ensemble des couples (W, X), où W est un sous B -module de V somme d’une sous-famille des V_{i}, et X un ensemble de sous-modules non nuls de V , projectifs de type fini sur B, dont W est la somme directe. On met sur M la relation d’ordre (W, X) ≤ (W′, X′) ⟺ W ⊂ W′ et X ⊂ X′.

Alors M n’est pas vide car il contient (0, ∅). Si (W_{k}, X_{k})_{k∈K} est une famille croissante de M, alors (⋃ W_{k}, ⋃ X_{k}) en est une borne supérieure dans M.

Il existe donc un élément maximal (W, X) dans M. Pour tout i, W ∩ V_{i} est un sous-comodule de V_{i}. Par conséquent W ∩ V_{i} admet, en tant que sous-module de V , un supplémentaire E qui est un B -module projectif de type fini. Si V_{i} n’est pas contenu dans W, le couple (W + V_{i}, X ∪ {E}), qui est dans M, contredit le choix de (W, X). On a donc W = V , d’où l’assertion (ii).

(iii) Les limites inductives existent dans la catégorie Comod(B : L), d’où un foncteur naturel Φ de Ind comod(B : L) vers Comod(B : L). Il s’agit donc de montrer que si X = (V_{i}) et Y = (W_{j}) sont deux Ind-objets de comod(B : L), et si on pose V =\underrightarrow{lim}V_{i} et W =\underrightarrow{lim}W_{j} (limites inductives dans Comod(B : L)), on a :

Hom_{Ind comod(B:L)}(X, Y) ≃ Hom_{Comod(B:L)}(V, W) .

Pour cette vérification, on utilise le lemme suivant.

Lemme. Avec les hypothèses de la proposition, soit V un objet de comod(B : L) et (W_{i})_{i∈I} un système inductif filtrant de comod(B : L), de limite inductive W. Alors le morphisme naturel \underrightarrow{lim}Hom(V, W_{i}) ⟶ Hom(V, W) est un isomorphisme.

Avant de démontrer ce lemme, montrons comment l’assertion (iii) en résulte. On a \underrightarrow{lim}_{j} Hom(V_{i}, W_{j}) ≃ Hom(V_{i}, W) d’après le lemme, donc Hom(V, W) ≃ \underleftarrow{lim}Hom(V_{i}, W) ≃ \underleftarrow{lim}_{i}\underrightarrow{lim}_{j}Hom(V_{i}, W_{j}) = Hom_{Ind comod(B:L)}(X, Y) (par définition), d’où (iii).

Reste à démontrer le lemme. Soit ϕ l’application naturelle de \underrightarrow{lim}Hom(V, W_{i}) vers Hom(V, W). Comme le foncteur oubli U est fidèle et commute aux limites inductives, l’injectivité de ϕ se vérifie de façon standard en termes de B -modules. Montrons que ϕ est surjectif. Soit donc f : V ⟶ W. Comme V est de type fini en tant que B -module, il existe i ∈ I tel que f soit à valeurs dans l’image de U(W_{i}) ⟶ U(W). Notons W′_{i} cette image. Soit Q_{i} le conoyau du morphisme W_{i} ⟶ W. Ce comodule est limite inductive filtrante des conoyaux des morphismes W_{i} ⟶ W_{j} pour j ≥ i; il est donc projectif comme B -module, d’après l’assertion (ii). Par conséquent, W′_{i}, qui est aussi le noyau de U(W) ⟶ U(Q_{i}), est naturellement muni d’une structure de comodule qui en fait le noyau de W ⟶ Q_{i}, et f se factorise à travers W′_{i}. Soit K_{i} le noyau de W_{i} ⟶ W′_{i}, et pour tout j ≥ i, soit K_{i,j} le noyau du morphisme W_{i} ⟶ W_{j}. Les K_{i,j} constituent une famille croissante de sous-comodules de W_{i}, dont la réunion est K_{i}. D’après l’assertion (i), W_{i} est noethérien; il existe donc j ≥ i tel que K_{i} = K_{i,j}; grâce au monomorphisme W′_{i} ⟶ W_{j} ainsi défini, le morphisme f se factorise à travers W_{j}. Cela définit un antécédent de f par ϕ, d’où le lemme, et la proposition. ⊓ ⊔ ⊓ ⊔

Théorème 5.2. (Deligne). Soit A une catégorie abélienne k -linéaire localement de type fini (et essentiellement petite). Soit B une k -algèbre, et F : A ⟶ Mod(B) un foncteur k -linéaire fidèle, exact, à valeurs dans proj(B).

Posons L = L_{k}(F). Alors

1) le k -cogébroïde L est semi-transitif;

2) le foncteur

F̃ : A ⟶ comod(B; L)

est une équivalence de catégories.

Démonstration du théorème 5.2.

Nous dirons qu’un objet X de A est un générateur de A si tout objet de A est sous-quotient d’un multiple de X.

On démontre d’abord le théorème lorsque A admet un générateur, puis on se ramène à ce cas, non sans quelques contorsions, par un procédé appelé désossage.

Lemme 5.3. (Gabber). Si A admet un générateur, elle admet un générateur projectif P; autrement dit, il existe une k -algèbre de dimension finie A (A = End(P)) telle que A soit équivalente à mod(A). ⊓ ⊔

REMARQUE. Pour la démonstration de ce lemme, se reporter à [2]. Notons que si A est une k -algèbre de dimension finie, mod(A) est abélienne. En outre, si B est une sous-catégorie strictement pleine^{5} de mod(A) stable par sommes directes finies et sousquotients, il existe un idéal bilatère I de A tel que les objets de B soient exactement les A-modules à droite de type fini annulés par I : autrement dit, B s’identifie à mod(A/I) ⊂ mod(A).

Montrons le théorème dans le cas où A admet un générateur. On peut donc supposer A = mod(A), A étant une k -algèbre de dimension finie.

Le foncteur F est alors de la forme ? ⊗_{A} M, où M est un objet de Bimod_{k}(A, B) qui est projectif de type fini sur B et fidèlement plat sur A; autrement dit, on est dans la situation de l’exemple standard : L = ^{∨}M ⊗_{A} M est semi-transitif de type standard, et on a mod(A) ≃ comod(B : L). Le théorème est donc vérifié dans ce cas.

Venons-en maintenant au cas général. Nous aurons besoin de la notion suivante.

Définition. Soit L un k -cogébroïde de base B. On appelle désossage de L la donnée d’une famille inductive filtrante (L^{i})_{i∈I} de k -cogébroïdes de base B, vérifiant :

(i) L est la limite inductive des L^{i}; (ii) pour tout i, le morphisme α^{i} : L^{i} ⟶ L est injectif; (iii) pour tout i, L_{i} et le conoyau de α^{i} sont plats à gauche sur B.

5 Voir note 4.

REMARQUE. Supposons que L admette un désossage (L^{i}). Cela implique que L est plat à gauche sur B. On identifie L^{i} à son image dans L. D’après la proposition 3.2, la catégorie Comod(B : L^{i}) s’identifie à la sous-catégorie strictement pleine de Comod(B : L) des comodules V dont la comultiplication est à valeurs dans V ⊗_{B} L^{i}; c’est une souscatégorie abélienne stable par sous-quotients. En outre, si V est un L-comodule à droite de type fini comme B -module, il existe i tel que V soit un L^{i} -comodule, donc comod(B : L) est la réunion filtrante de ses sous-catégories strictement pleines comod(B : L^{i}).

Revenons à la démonstration du théorème 5.2. Pour tout objet X de A, notons A^{X} la sous-catégorie strictement pleine de A dont les objets sont les sous-quotients des X^{n} pour n ∈ . Notons F^{X} la restriction de F à A^{X}, et soit L^{X} = L_{k}(F^{X}). La catégorie A^{X} admet X pour générateur, donc L^{X} est semi-transitif de type standard, et on peut appliquer le théorème 5.2. au foncteur F^{X} : A^{X} ⟶ Mod(B).

Lemme 5.4. La famille inductive filtrante (L^{X}) est un désossage de L.

Démonstration du lemme. On a A = \underrightarrow{lim}A^{X} donc L_{k}(F) = \underrightarrow{lim}L_{k}(F^{X}) (voir 4.3. (iii)). D’autre part, soit Y est un objet de A^{X}; appliquant le lemme 5.3. et la remarque qui le suit, on peut supposer que A^{X} = mod(A) et que A^{Y} = mod(A/I), A étant une k -algèbre de dimension finie, et I un idéal bilatère de A. Alors L^{X} ≃ ^{∨}M ⊗_{A} M, où M est un objet de Bimod_{k}(A, B) fidèlement plat sur A et projectif de type fini (donc plat) sur B ; en particulier L_{X} est plat à gauche sur B. D’autre part, L^{Y} = ^{∨}(M/IM)⊗_{A/I} (M/IM) ≃ ∨(M/IM) ⊗_{A} M; puisqu’ en tant que B -modules, M ≃ F^{X}(A) et M/IM ≃ F^{Y} (A/I) sont projectifs de type fini, il en va de même de IM et de ^{∨}(IM), d’où la suite exacte courte :

0 ⟶ ^{∨}(M/IM) ⟶ ^{∨}M ⟶ ^{∨}(IM) ⟶ 0

et comme M est plat sur A, la suite :

0 ⟶ L^{Y} ⟶ L^{X} ⟶ ^{∨}(IM) ⊗_{A} M ⟶ 0

est également exacte et le conoyau de L^{Y} ⟶ L^{X} est plat à gauche. Par passage à la limite inductive le conoyau de L^{Y} ⟶ L est plat à gauche. ⊓ ⊔

Si L est un k -cogébroïde de base B, considérons la condition :

AB la catégorie comod(B : L) est abélienne, et le foncteur oubli de comod(B : L) vers Mod(B) est exact.

Notons que si L est un k -cogébroïde de type standard, ou semi-transitif, il satisfait à AB.

Lemme 5.5. Soit L un k -cogébroïde de base B admettant un désossage (L^{i}).

Si les L^{i} vérifient AB (resp. ST1, resp ST2, resp. ST3 et AB) il en va de même pour L.

En particulier, si les L^{i} sont semi-transitifs, L est semi-transitif.

Démonstration du lemme 5.5. D’après la remarque sur les désossages, comod(B : L) est union filtrante de ses sous-catégories strictement pleines comod(B : L^{i}); d’où l’assertion sur ST1. En outre, si dans comod(B : L^{i}) les Hom sont de dimension finie, il en va de même dans comod(B : L).

Si chacun des L^{i} satisfait à AB, l’inclusion comod(B : L^{i}) ⟶ Comod(B : L) est un foncteur exact; on en déduit que L vérifie AB. En outre, comod(B : L^{i}) est une sous-catégorie pleine de Comod(B : L) stable par quotients, donc par sous-quotients; par conséquent, si les objets des catégories comod(B : L^{i}) sont de longueur finie, il en va de même des objets de comod(B : L). D’où l’assertion sur AB et ST3.

Supposons que les L^{i} vérifient ST2, et soit V un L-comodule à droite, δ désignant la coaction. Pour i ∈ I posons V^{i} = δ^{−1}(V ⊗_{B} L^{i}). Ainsi V est la réunion filtrante des V^{i}. Vérifions l’inclusion δ V^{i} ⊂ V^{i} ⊗_{B} L^{i}. On a (δ ⊗_{B} 1_{L}) δ V^{i} = (1_{V} ⊗_{B}Δ) δ V^{i} ⊂ V ⊗_{B} L^{i} ⊗_{B} L^{i} donc δ V^{i} ⊂ (δ ⊗_{B} 1_{L})^{−1}(V ⊗_{B} L^{i} ⊗_{B} L^{i}) = V^{i} ⊗_{B} L^{i} car L^{i} est plat à gauche sur B. Ainsi V^{i} est un objet de Comod(B : L^{i}) et, à ce titre, limite inductive filtrante d’objets de comod(B : L^{i}) ⊂ comod(B : L), d’où l’assertion a).⊓ ⊔

Le cogébroïde L admet un désossage par les cogébroïdes L^{X} qui sont semi-transitifs de type standard, d’où l’assertion 1) du théorème.

D’autre part, le foncteur A ⟶ comod(B : L) induit une équivalence entre A^{X} et comod(B : L^{X}) pour tout X. Or A (resp. comod(B : L)) est réunion filtrante de ses souscatégories pleines A^{X} (resp. comod(B : L^{X})); donc F̃ est une équivalence de catégories, et induit une équivalence de Ind_{A} vers Comod(B : L) en vertu de (5.1.), ce qui achève la démonstration du théorème.⊓ ⊔

Le lemme suivant sera utile dans la section 7, mais il est plus commode de le démontrer maintenant.

Lemme 5.6. Soient A et F comme dans l’énoncé du théorème 5.2, et soit X un objet de A. Alors avec les notations introduites ci-dessus, L^{X} est l’image de ^{∨}F (X) ⊗_{k} F (X) dans L = L_{k}(F), et A^{X} a pour image comod(B : L^{X}) dans l’équivalence A ⟶ comod(B : L).

Démonstration. Rappelons (section 4) que le k -cogébroïde L = L_{k}(F) est le quotient de L_{0} = ⨁_{X∈Ob(A)} ^{∨}F (X) ⊗_{k} F (X) qui rend commutatifs les diagrammes (D_{f}). Notons Λ^{X} l’image de ^{∨}F (X) ⊗_{k} F (X) dans L.

Montrons qu’on a Λ^{X} = L^{X}. On a vu au cours de la démonstration de (5.2.) que L^{X} = Λ^{P} , pour P générateur projectif de A^{X}, et qu’en outre, A^{P} ≃ comod(B : L^{P}). Comme on a A^{X} = A^{P} , il ne reste plus qu’à démontrer L^{X} = L^{P} ; cela résulte de l’implication suivante : Y ∈ Ob(A^{X}) ⟹ Λ^{Y} ⊂ Λ^{X}, dont la vérification se décompose comme suit.

1) On a Λ^{X⊕Y} = Λ^{X} + Λ^{Y} : considérer le diagramme D_{f}, lorsque f est la projection de X ⊕ Y sur X, puis sur Y .

2) Si Y est un sous-objet (resp. un quotient) de X, Λ^{Y} ⊂ Λ^{X} : considérer le diagramme D_{f}, où f est le monomorphisme de Y vers X (resp. l’épimorphisme de X vers Y ). ⊓ ⊔

Conséquences du théorème 5.2.

Le théorème 5.2. permet de construire des k -cogébroïdes semi-transitifs; la proposition suivante montre qu’on les obtient tous ainsi.

Proposition 5.8. Soit L un k -cogébroïde semi-transitif de base B, et U le foncteur oubli de comod(B : L) vers proj(B). Alors le morphisme naturel de k -cogébroïdes

L_{k}(U) ⟶ L

est un isomorphisme.

Démonstration. Notons L_{0} = L_{k}(U). Le théorème 5.2. s’applique au foncteur U, et en particulier le foncteur naturel Ũ : comod(B : L) ⟶ comod(B : L_{0}) est une équivalence de catégories (c’est même ici un isomorphisme de catégories). D’autre part f_{∗} induit par restriction un foncteur comod(B : L_{0}) ⟶ comod(B : L) qui est par définition de f un inverse à gauche de Ũ; c’est donc une équivalence de catégories. Par conséquent, pour tout B -module à droite de type fini V , les coactions à droite de L_{0} sur V correspondent bijectivement à celles de L par l’application Φ : δ ↦ δ′ = (1_{V} ⊗_{B} f)δ.

Comme L vérifie ST2, le L-comodule à droite (L, Δ) est limite inductive filtrante d’objets de comod(B : L), d’où une coaction à droite δ_{0} de L_{0} sur L telle que (L, Δ) = f_{∗}(L, δ_{0}). Soit g = (ε ⊗_{B} 1_{L_{0}})δ_{0} : L ⟶ L_{0} . C’est un inverse à droite de f. En effet, f ∘g = f(ε⊗_{B} 1_{L_{0}})δ_{0} = (ε⊗_{B} 1_{L})(1_{L} ⊗_{B}f)δ_{0} = (ε⊗_{B} 1_{L})Δ = 1_{L}. Il suffit donc de montrer que g est surjectif.

On peut déjà affirmer que l’inverse de Φ est donné par δ′ ↦ (1_{V} ⊗_{B} g)δ. Par conséquent si V est un objet de comod(B : L), la coaction naturelle de L_{0} sur V se factorise à travers 1_{V} ⊗_{B} g, et la flèche naturelle ^{∨}V ⊗_{k}V ⟶ L_{0} se factorise à travers g. Le cogébroïde L_{0} étant, par construction, engendré par les images des ^{∨}V ⊗_{k} V comme (B, B)-bimodule, on en déduit la surjectivité de g, d’où la proposition. ⊓ ⊔

Corollaire 5.9. Un k -cogébroïde semi-transitif admet un désossage en k -cogébroïdes semitransitifs de type standard. ⊓ ⊔

Proposition 5.10. Si L est un k -cogébroïde semi-transitif de base B, alors L^{o} est un k -cogébroïde semi-transitif de base B^{o}.

Démonstration.

Soit L un k -cogébroïde semi-transitif de base B. Posons A = comod(B : L) et soit F le foncteur oubli A ⟶ proj(B). On a L ≃ L_{k}(F). Soit F^{%} le foncteur exact : A^{o} ⟶ proj(B^{o}) défini par X ⟼ ^{∨}F (X). On a L_{k}(F^{%}) ≃ L^{o} d’après 4.3. (iv). Or, L_{k}(F^{%}) est semi-transitif d’après le théorème 5.2, d’où l’assertion. ⊓ ⊔

Il en résulte que tout L-comodule à gauche est projectif comme B -module; en particulier, L est projectif, donc plat, comme B -module à gauche.

Proposition 5.11. Soient L et L′ deux k -cogébroïdes semi-transitifs de bases respectives B et B′. Soient V , W dans comod(B : L) et V′, W′ dans comod(B′ : L′), et formons les L ⊗_{k} L′ -comodules V ⊗_{k} V′ et W ⊗_{k} W′. Alors

Hom(V ⊗_{k} V′, W ⊗_{k} W′) ≃ Hom(V, W) ⊗_{k} Hom(V′, W′) .

Démonstration. Posons L′′ = L ⊗_{k} L′ et B′′ = B ⊗_{k} B′. D’après (5.9.), L et L′ admettent chacun un désossage par des cogébroïdes de type standard, (L^{i}) et (L′^{j}) respectivement. Or on a le lemme suivant.

Lemme 5.12. Soient L et L′ deux k -cogébroïdes de bases respectives B et B′. Soient (L^{i})_{i∈I} et (L′^{j})_{j∈J} des désossages de L et L′ respectivement. Alors (L^{i} ⊗_{k} L′^{j})_{(i,j)∈I×J} est un désossage de L ⊗_{k} L′.

Démonstration du lemme. Il est clair que L^{i} ⊗_{k} L′^{j} est plat à gauche sur B ⊗_{k} B′. Considérons la suite exacte courte

0 ⟶ L^{i} ⊗_{k} (L′/L′^{j}) ⟶ (L ⊗_{k} L′)/(L^{i} ⊗_{k} L′^{j}) ⟶ (L/L^{i}) ⊗_{k} L′ ⟶ 0 .

Les termes extrêmes sont plats à gauche sur B ⊗_{k} B′, donc le terme du milieu l’est aussi. ⊓ ⊔

Poursuivons la démonstration de la proposition. On peut trouver i et j tels que V et W soient des L^{i} -comodules et V′ et W′ des L′^{j} -comodules; V ⊗_{k} V′ et W ⊗_{k} W′ sont alors des L^{i} ⊗_{k} L′^{j} -comodules. Or en vertu du lemme, comod(B′′ : L^{i} ⊗_{k} L′^{j}) est une sous-catégorie pleine de comod(B′′ : L′′). Quitte à remplacer L par L^{i} et L′ par L′^{i}, on peut donc supposer que L et L′ sont de type standard. Alors L est de la forme ∨M ⊗_{A} M, où A est une k -algèbre de dimension finie, M un objet de Bimod_{k}(A, B) fidèlement plat à gauche et projectif de type fini à droite, et comod(B : L) ≃ mod(A); et L′ admet une description similaire ^{∨}M′ ⊗_{A′} M′, de sorte que comod(B′ : L′) ≃ mod(A′). Posons A′′ = A ⊗_{k} A′ et M′′ = M ⊗_{k} M′. Alors L′′ ≃ ^{∨}M′′ ⊗_{A′′} M′′ est de type standard, et comod(B′′ : L′′) ≃ mod(A′′). On se ramène donc au lemme suivant.

Lemme. Soient A et A′ deux k -algèbres de dimension finie, V , W deux A-modules de type fini, et V′, W′ deux A′ -modules de type fini. Alors

Hom_{A}(V, W) ⊗_{k} Hom_{A′}(V′, W′) ≃ Hom_{A⊗_{k}A′}(V ⊗_{k} V′, W ⊗_{k} W′) .

Démonstration. Soit H = Hom_{k}(V, W), H_{0} = Hom_{A}(V, W), H′ = Hom_{k}(V′, W′), H′_{0} = Hom′_{A}(V, W) et H′′ = Hom_{k}(V ⊗_{k} V′, W ⊗_{k} W′) ≃ H ⊗_{k} H′. Alors f ∈ H′′ est A-linéaire (resp. A′ -linéaire) si et seulement s’il est dans H_{0} ⊗_{k} H′ (resp. H ⊗_{k} H′_{0} ); on a (H_{0} ⊗_{k} H′) ∩ (H ⊗_{k} H′_{0}) = H_{0} ⊗_{k} H′_{0} , d’où le lemme. ⊓ ⊔ ⊓ ⊔

6.—Cogébroïdes géométriquement semi-transitifs

Dans cette section, k sera toujours un corps commutatif.

La notion de semi-transitivité qui a été introduite dans le paragraphe précédent présente quelques inconvénients. Le produit tensoriel sur k de deux k -cogébroïdes semitransitifs n’est pas nécéssairement semi-transitif, comme nous le verrons ci-après; en outre, la semi-transitivité se comporte mal vis-à-vis des changements de scalaires; enfin il n’est pas facile de vérifier qu’un cogébroïde donné est semi-transitif. Pour ces raisons, on est amené a introduire une version plus forte de la semi-transitivité.

Définition. Soit L un k -cogébroïde de base B. On dira que L est géométriquement semi-transitif s’il vérifie les deux conditions suivantes :

(i) L est projectif en tant que B^{o} ⊗_{k} B -module; (ii) la catégorie comod(B : L) est localement de type fini (c’est la condition ST3).

Soient L un k -cogébroïde de base B, et K une extension de k. Alors L ⊗_{k} K est naturellement muni d’une structure de K -cogébroïde de base B_{K} = B ⊗_{k} K; on notera L_{K} le K -cogébroïde ainsi obtenu. Ce changement de scalaires est une opération distincte du changement de base introduit dans la section 3.

Théorème 6.1. Soit L un k -cogébroïde de base B. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

a) L est géométriquement semi-transitif;

b) pour toute extension K du corps k, L_{K} est un K -cogébroïde semi-transitif;

c) il existe une extension parfaite K de k telle que L_{K} soit un K -cogébroïde semitransitif.

Si le corps de base k est parfait, il est donc équivalent de dire d’un k -cogébroïde qu’il est semi-transitif ou qu’il est géométriquement semi-transitif.

Cette section sera essentiellement consacrée à la démonstration du théorème 6.1. Puisque b) ⟹ c) est “trivial”, on montrera a) ⟹ b), puis c) ⟹ a).

Tout k -cogébroïde géométriquement semi-transitif est semi-transitif : c’est une conséquence immédiate de la proposition suivante.

Proposition 6.2. Soit L un k -cogébroïde de base B, et supposons que L soit projectif en tant que B^{o} ⊗_{k} B -module. Alors :

(i) tout L-comodule à droite est projectif en tant que B -module; (ii) la catégorie comod(B : L) est abélienne, et le foncteur oubli U de comod(B : L) vers

Mod(B) est fidèle exact; (iii) tout objet de Comod(B : L) est limite inductive filtrante d’objets de comod(B : L).

Démonstration. (i) Soient V un L-module à droite, et δ : V ⟶ V ⊗_{B} L une coaction à droite de L sur V ; puisque δ admet la section 1_{V} ⊗_{B} ε, le B -module à droite V est facteur direct de V ⊗_{B} L; or, L est facteur direct d’un B^{o} ⊗_{k} B -module libre, et donc V est facteur direct d’une somme directe de copies de V ⊗_{B} (B^{o} ⊗_{k} B) ≃ V ⊗_{k} B, qui est un B -module libre car k est un corps; ainsi, V est un B -module projectif. (ii) résulte de la proposition 5.1, qui s’applique à L en vertu de (i). (iii) résulte de la proposition 3.3, car L est projectif comme B -module à gauche. ⊓ ⊔

L’implication a) ⟹ b) du théorème 6.1. résultera donc immédiatement du lemme suivant.

Lemme 6.3. Soient L un k -cogébroïde de base B, et K une extension de k. Alors L_{K} est géométriquement semi-transitif si et seulement si L est géométriquement semi-transitif.

Démonstration. Considérons les conditions (i) et (ii) de la définition d’un cogébroïde géométriquement semi-transitif. Alors L vérifie (i) si et seulement si L_{K} la vérifie : c’est un cas particulier du lemme suivant.

Lemme 6.4. Soient K une extension de k, A une k -algèbre; notons A_{K} = A ⊗_{k} K, et soit N un A-module à droite; alors N est projectif ⟺ N_{K} = N ⊗_{A} A_{K} est un A_{K} -module projectif.

Démonstration de 6.4. L’assertion ⟹ est évidente. Supposons N_{K} projectif, i.e. facteur direct d’un A_{K} -module libre. Comme A-module, A_{K} est libre, donc N_{K} est projectif comme A-module; d’autre part N est facteur direct de N_{K} comme A-module; il est donc projectif. ⊓ ⊔

On suppose donc que L et L_{K} vérifient (i); en particulier la proposition 6.2. s’applique à ces deux cogébroïdes. Supposons que L_{K} vérifie (ii), et considérons le foncteur

G : comod(B : L) ⟶ comod(B_{K} : L_{K})
(V, δ) ⟼ (V_{K} = V ⊗_{k} K, δ ⊗_{k} 1_{K}) .

Les foncteurs oubli sont fidèles exacts, donc G l’est aussi, et tout objet de comod(B : L) est de longueur finie; en outre, l’application Hom(V, W) ⊗_{k} K ⟶ Hom(G(V), G(W)) est injective pour tous V, W objets de comod(B : L), donc Hom(V, W) est de dimension finie, et L vérifie (ii).

Réciproquement, supposons que L vérifie la condition (ii), i.e. ST3, et montrons que L_{K} la vérifie aussi; le k -cogébroïde L est géométriquement semi-transitif, donc en particulier semi-transitif, et il admet un désossage (L^{i}), les L^{i} étant des k -cogébroïdes de type standard. Alors les L^{i}_{K} sont des K -cogébroïdes de type standard, et constituent un désossage de L_{K}, donc ce dernier vérifie aussi ST3 en vertu du lemme 5.5. ⊓ ⊔

On a vu que tout k -cogébroïde géométriquement semi-transitif est semi-transitif; la réciproque est fausse, comme le montre l’exemple suivant.

EXEMPLE. Soient k un corps commutatif, et B une k -algèbre. Alors B est naturellement muni d’une structure de k -cogébroïde de base B qu’on note encore abusivement B. La catégorie comod(B : B) s’identifie à mod(B); ainsi B est un k -cogébroïde semitransitif de base B si et seulement si B est une k -algèbre de dimension finie vérifiant mod(B) = proj(B), autrement dit, une k -algèbre de dimension finie semisimple.

Or, si K est une extension finie non séparable de k, K n’est pas projectif en tant que K ⊗_{k} K -module, et K ⊗_{k} K n’est pas une k -algèbre semisimple. Ainsi K est un k -cogébroïde semi-transitif de base K mais il n’est pas géométriquement semi-transitif, et K ⊗_{k} K n’est pas semi-transitif en tant que k -cogébroïde de base K ⊗_{k} K.

Cet exemple met en évidence un problème de séparabilité qui appelle les définitions suivantes.

Définitions. Une catégorie abélienne k -linéaire localement de type fini C est dite séparable si pour tout objet simple S de C, le centre du corps End(S) est une extension séparable de k. Un k -cogébroïde semi-transitif de base B est dit séparable si la catégorie comod(B : L) est séparable.

Proposition 6.5. Soient L et L′ deux k -cogébroïdes semi-transitifs de bases respectives B et B′. Si l’un au moins de ces deux k -cogébroïdes est séparable, alors L ⊗_{k} L′ est un k -cogébroïde semi-transitif de base B ⊗_{k} B′.

Démonstration. Supposons L séparable, et notons L′′ = L ⊗_{k} L′. Les k -cogébroïdes L et L′ admettent des désossages (L^{i}) et (L′^{j}), où les L^{i} et les L′^{j} sont semi-transitifs de type standard; en outre les L^{i} sont séparables. Les L^{i} ⊗_{k} L′^{j} constituent un désossage de L′′ en vertu de (5.12.); par (5.5.), on peut donc supposer que L et L′ sont de type standard.

Soit donc L = ^{∨}M ⊗_{A} M et L′ = ^{∨}M′ ⊗_{A′} M′, où A et A′ sont deux k -algèbres de dimension finie, M, et M′ deux objets de Bimod(A, B) et Bimod(A′, B′) respectivement, et supposons les foncteurs F =? ⊗_{A} M : mod(A) ⟶ Mod(B) et F′ =? ⊗_{A′} M′ : mod(A′) ⟶ Mod(B′) fidèles exacts, à valeurs dans les modules projectifs de type fini. On a comod(B : L) ≃ mod(A), et on fait l’hypothèse que mod(A) est séparable.

Posons A′′ = A⊗_{k}A′, B′′ = B⊗_{k}B′ et M′′ = M ⊗_{k}M′. Alors L⊗_{k}L′ ≃ ^{∨}M′′⊗_{A′′}M′′, donc L′′ est de type standard; pour montrer qu’il est semi-transitif, il suffit donc de vérifier que tout objet N′′ de mod(A′′) satisfait à la condition : (Q) le B′′ -module à gauche N′′ ⊗_{A′′} M′′ est projectif.

Si N′′ est de la forme N ⊗_{k} N′, où N et N′ sont des objets de mod(A) et mod(A′) respectivement, on a N′′ ⊗_{A′′} M′′ ≃ F (N) ⊗_{k} F′(N′′), donc d’après les hypothèses faites sur F et F′, N′′ vérifie (Q).

D’après Jordan-Hölder, il suffit de vérifier (Q) lorsque N′′ est un objet simple de mod(A ⊗_{k} A′). Dans ce cas, N′′ est quotient d’un module de la forme N ⊗_{k} N′, où N et N′ sont simples (exercice). Or on a le lemme suivant.

Lemme 6.6. [2]. Soient A, A′ deux k -algèbres de dimension finie, et N, N′ deux objets simples de mod(A) et mod(A′) respectivement. On suppose que le centre de End(N) est séparable sur k. Alors N ⊗_{k} N′ est un objet semisimple de mod(A ⊗_{k} A′).

Démonstration du lemme. Quitte à quotienter A (resp. A′) par l’annulateur de N (resp. N′) on peut supposer que N et N′ sont fidèles. Alors A et A′ sont des k -algèbres simples, et le centre de A est une extension séparable de k, donc A⊗_{k} A′ est une k -algèbre semisimple (cf. Bourbaki, Algèbre, Chap. 8, § 7). ⊓ ⊔

Par conséquent N′′ est facteur direct de N ⊗_{k} N′, et satisfait donc (Q). ⊓ ⊔

Corollaire 6.7. Tout k -cogébroïde semi-transitif séparable est géométriquement semitransitif.

Démonstration. Soit L un k -cogébroïde semi-transitif de base B. Alors L^{o} est semitransitif (5.10.). Si L est séparable, L^{o} ⊗_{k} L est semi-transitif, d’après (6.4). Or L est muni d’une structure de L^{o}⊗_{k}L-comodule à droite (cf. section 3). C’est donc un B^{o}⊗_{k}B -module projectif, d’où le corollaire.⊓ ⊔

Si k est parfait, tout k -cogébroïde semi-transitif est donc géométriquement semitransitif. L’implication c) ⟹ a) du théorème 6.1. en résulte grâce au lemme 6.3, ce qui achève la démonstration de ce théorème. ⊓ ⊔

7.—Application aux bigébroïdes de Hopf

Soit k un anneau commutatif. Soit B une k -algèbre commutative, et notons μ_{B} la multiplication de B; c’est un morphisme de k -algèbres de B ⊗_{k} B vers B. Ainsi, si L est un k -cogébroïde de base B, et si l’on considère L ⊗_{k} L, qui est un k -cogébroïde de base B ⊗_{k} B, on peut former son image directe μ_{B}_{∗}(L ⊗_{k} L) ≃ L ⊗_{B⊗_{k}B} L, qui est un k -cogébroïde de base B. D’autre part, B ⊗_{k} B est naturellement muni d’une structure de k -cogébroïde de base B.

Définition. Un k -bigébroïde de base B est un k -cogébroïde L de base B muni d’une structure de B ⊗_{k} B -algèbre, vérifiant :

1) la structure de (B, B)-bimodule sous-jacente à la structure de k -cogébroïde de L coïncide avec celle induite par sa structure de B ⊗_{k} B -algèbre; autrement dit, si μ désigne la multiplication L ⊗_{B⊗_{k}B} L ⟶ L et η l’unité B ⊗_{k} B ⟶ L, on a pour m dans L et x, y dans B :

x · m · y = μ(η(x ⊗ y) ⊗ m) = μ(m ⊗ η(x ⊗ y))

2) la multiplication μ : L ⊗_{B⊗_{k}B} L ≃ μ_{B}_{∗}(L ⊗_{k} L) ⟶ L est un morphisme de k - cogébroïdes de base B.

3) l’unité η : B ⊗_{k} B ⟶ L est un morphisme de k -cogébroïdes de base B.

Si L est un k -bigébroïde de base B, on appelle respectivement source et but les morphismes de k -algèbres s, b : B ⟶ L définis par s(x) = η(1_{B} ⊗ x) et b(x) = η(x⊗1_{B}).

REMARQUE. Il s’agit de la notion introduite par Maltsiniotis, bien que la définition ici adoptée diffère légèrement de celle donnée dans [9]. On peut regretter qu’il faille supposer la base B commutative dans cette définition; cependant, j’ai dû me résigner à faire cette hypothèse, sans laquelle je ne peux, en toute généralité, formuler de relation de compatibilité satisfaisante entre le produit et le coproduit. Je vois deux raisons de penser que cette notion n’est pas mauvaise : (1) c’est exactement la notion dont on a besoin pour formuler les résultats tannakiens; (2) quand on étudie les propriétés des bigèbres de Hopf (ou si l’on préfère, des groupes quantiques) on a envie de considérer un bigébroïde de base B comme un outil permettant d’étudier les propriétés de familles de bigèbres de Hopf paramétrées par Spec(B); dans cette optique de théorie de la déformation, on n’a pas de raison particulière de souhaiter que l’espace des paramètres soit “non commutatif”.

Si L et L′ sont deux k -bigébroïdes de base B, un morphisme de k -bigébroïdes de L vers L′ est un morphisme de k -cogébroïdes qui est aussi un morphisme de B⊗_{k}B -algèbres. On définit ainsi la catégorie Big_{k}(B) des k -bigébroïdes de base B. Tout morphisme de k -algèbres commutatives f : B ⟶ B′ induit par changement de base un foncteur f_{∗} : Big_{k}(B) ⟶ Big_{k}(B′).

Si L est un k -bigébroïde de base B, de cogébroïde sous-jacent L, de produit μ et d’unité η, on notera L^{o} le k -bigébroïde de base B, de cogébroïde sous-jacent L^{o}, de produit μ^{o}, et d’unité η^{o} = ησ, où σ est l’échange des facteurs de B ⊗_{k} B.

Définition. Soit L un k -bigébroïde de base B. Un antipode de L est un morphisme de (B, B)-bimodules i : L ⟶ L^{o} tel que le diagramme suivant soit commutatif :

L ⊗_{B} L  w^{i⊗_{B}1_{L}} L^{o} ⊗_{B} L  w^{μ} L

L  w^{ε} u^{Δ} u_{Δ}  Bu^{s} u_{b}

L ⊗_{B} L  w_{1_{L} ⊗_{B}i} L ⊗_{B} L^{o}  w_{μ} L

Si un antipode existe, il est unique; c’est un morphisme de k -bigébroïdes de L vers L^{o} [9]. Cependant il n’est pas nécéssairement bijectif. On dira que L est un k -bigébroïde de Hopf s’il admet un antipode bijectif.

REMARQUE. Un k -bigébroïde (de Hopf) de base k est exactement une k -bigèbre (de Hopf). D’autre part, comme nous le verrons dans la section 8, la donnée d’un bigèbroïde de Hopf commutatif (en tant qu’algèbre) équivaut à celle d’un groupoïde algébrique affine.

EXEMPLE. Soient C une catégorie monoïdale (essentiellement petite), et ω un foncteur monoïdal de C vers proj(B). Alors L_{k}(ω) est naturellement muni d’une structure de k - bigébroïde de base B.

Cela résulte des propriétés de fonctorialité énumérées au 4.3. D’après 4.3. (v), on a un isomorphisme L_{k}(ω) ⊗_{B⊗_{k}B} L_{k}(ω) ≃ L_{k}(ω ⊗_{B} ω). D’autre part, l’isomorphisme fonctoriel ω ⊗_{B} ω ≃ ω ∘ ⊗ induit un isomorphisme de k -cogébroïdes entre L_{k}(ω ⊗_{B} ω) et L_{k}(ω ∘ ⊗); enfin on a un morphisme naturel de k -cogébroïdes de L_{k}(ω ∘ ⊗) vers L_{k}(ω), d’où par composition la multiplication μ : L_{k}(ω) ⊗_{B⊗_{k}B} L_{k}(ω) ⟶ L_{k}(ω). De même, soit ∗ la catégorie monoïdale initiale (qui a un seul objet et un seul morphisme) et l’unique foncteur monoïdal de ∗ vers C. Alors L_{k}(ω ∘ ) ≃ B ⊗_{k} B et η est le morphisme naturel B ⊗_{k} B ≃ L_{k}(ω ∘ ) ⟶ L_{k}(ω).

On notera End_{k}(ω) le k -bigébroïde ainsi défini. Si f : B ⟶ B′ est un morphisme de k -algèbres commutatives, on a End_{k}(ω ⊗_{B} B′) ≃ f_{∗} End_{k}(ω) (voir 4.3. (i)).

Lorsque C est une catégorie monoïdale symétrique et ω est un foncteur monoïdal symétrique, End_{k}(ω) est commutatif.

Lorsque C est une catégorie monoïdale autonome à gauche, End_{k}(ω) admet un antipode. Si C est autonome, End_{k}(ω) est un k -bigébroïde de Hopf, qu’on notera Aut_{k}(ω).

En effet, l’isomorphisme naturel ω(^{∨}A) ≃ ω(A)^{∗} induit par 4.3. (iv) un isomorphisme de k -cogébroïdes entre L_{k}(ω ∘^{∨}?) et L_{k}(ω)^{o}; on a d’autre part un morphisme naturel de L_{k}(ω ∘^{∨}?) vers L_{k}(ω); d’ou par composition un morphisme i de L_{k}(ω) vers L_{k}(ω)^{o} qui est un antipode de End_{k}(ω). Si C est autonome, le foncteur ^{∨}? est une équivalence de catégories, donc le morphisme naturel de L_{k}(ω ∘^{∨}?) vers L_{k}(ω) est un isomorphisme, ainsi que i.

Représentations d’un bigébroïde de Hopf.

Soit L un k -bigébroïde de base B. On appelle représentation de L tout L-comodule à droite; une représentation de type fini de L est une représentation de L dont le B -module sous-jacent est de type fini.

Soient V , V′ deux L-comodules à droite. Alors V ⊗_{k} V′ est un L ⊗_{k} L-comodule à droite, donc par le changement de base μ_{B} : B⊗_{k}B ⟶ B, V ⊗_{B} V′ = μ_{B}_{∗}(V ⊗_{k}V′) est un μ_{B}_{∗}(L⊗_{k} L)-comodule à droite. On en déduit, via la multiplication μ : μ_{B}_{∗}(L⊗_{k} L) ⟶ L (qui est un morphisme de cogébroïdes), une coaction à droite de L sur V ⊗_{B} V′; d’où un bifoncteur

⊗_{B} : Comod(B : L) × Comod(B : L) ⟶ Comod(B : L) .

D’autre part, s : B ⟶ L ≃ B ⊗_{B} L est une coaction à droite de L sur B, d’où une représentation de L appelée représentation unité, et notée I. Les endomorphismes de I sont les x ∈ B vérifiant s(x) = b(x).

Avec les contraintes d’associativité et d’unité héritées de Mod(B), la catégorie des représentations de L devient une catégorie monoïdale : c’est une catégorie de Penrose, qu’on notera Rep(B : L); on désigne par rep(B : L) la sous-catégorie monoïdale pleine de Rep(B : L) des représentations de type fini. Le foncteur oubli U : Rep(B : L) ⟶ Mod(B) est, par construction, muni d’une structure monoïdale.

Si L est un k -bigébroïde de Hopf, toute représentation de L dont le B -module sousjacent est projectif de type fini admet un dual à droite et un dual à gauche. En effet, soit V une telle représentation. Nous avons vu dans la section 3 que V^{∗} = ^{∨}V est naturellement muni d’une structure de L^{o} -comodule à droite. Via le morphisme de k -cogébroïdes i : L^{o} ⟶ L (resp. i^{−1} : L^{o} ⟶ L), on obtient une structure de L-comodule à droite sur V^{∗} qui en fait un dual à gauche (resp. à droite) de V (avec l’évaluation et la coévaluation usuelles).

Bigébroïdes transitifs.

Soient k un corps commutatif, et B une k -algèbre commutative.

Définition. Un k -bigébroïde L de base B est dit transitif (resp. géométriquement transitif) si c’est un k -bigébroïde de Hopf qui vérifie les conditions suivantes :

1) le k -cogébroïde de base B sous-jacent à L est semi-transitif (resp. géométriquement semi-transitif);

2) on a B ≠ 0, et tout x ∈ B tel que s(x) = b(x) est dans k.

REMARQUES SUR LA DEFINITION. Soit I la représentation unité de L. La condition 2) signifie End(I) = k, car on a End(I) = {x ∈ B t.q. s(x) = b(x)}.

Pour que L soit transitif (resp. géométriquement transitif), il suffit qu’il vérifie la condition 2), et que le k -cogébroïde sous-jacent L vérifie ST1 et ST2 (resp. soit projectif comme B ⊗_{k} B -module).

En effet, dans un cas comme dans l’autre, il s’agit de vérifier que L vérifie ST3. Or, comod(B : L) est abélienne, et le foncteur oubli U : comod(B : L) ⟶ Mod(B) est fidèle exact, à valeurs dans proj(B), par 5.1. (resp. 6.2.). La catégorie monoïdale rep(B : L) est donc k -tensorielle (c’est ici que End(I) = k intervient), autonome (car les représentations de type fini sont projectives comme B -modules), et le foncteur oubli est un foncteur fibre non trivial; d’après (2.5.), rep(B : L) est localement de type fini, d’où ST3.

Théorème 7.1.

1) Soient T une catégorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite) et ω un foncteur fibre non trivial de T sur Spec(B). Alors le k -bigébroïde de Hopf Aut_{k}(ω) est transitif, et ω induit une équivalence de catégories monoïdales

ω̃ : T ⟶ rep(B : Aut_{k}(ω))

qui s’étend en une équivalence de catégories monoïdales

Ind(T ) ⟶ Rep(B : Aut_{k}(ω)).

2) Soit L un k -bigébroïde de Hopf transitif de base B, et supposons B non nul. Alors rep(B : L) est une catégorie k -tensorielle autonome, le foncteur oubli U de rep(B : L) vers Mod(B) est un foncteur fibre, et le morphisme naturel

Aut_{k}(U) ⟶ L

est un isomorphisme de k -bigébroïdes de base B.

Démonstration du théorème 7.1.

1) La catégorie T est abélienne k -linéaire, localement de type fini; en outre le foncteur ω est fidèle, exact, et à valeurs dans proj(B) (cf. 2.2, 2.3, et 2.5.). D’après le théorème 5.2, le k -cogébroïde sous-jacent à L = Aut_{k}(ω) est semi-transitif, la catégorie T est équivalente à comod(B : L), et Ind(T ), à Comod(B : L). Ces équivalences sont naturellement munies d’une structure monoïdale.

La représentation unité de L s’identifie donc à l’objet unité I de T , et comme on a End(I) = k, L est transitif.

2) Soit L un k -bigébroïde de Hopf transitif de base B. Comme on l’a vu dans la remarque ci-dessus, la catégorie rep(B : L) est k -tensorielle autonome, et le foncteur oubli U est naturellement muni d’une structure monoïdale qui en fait un foncteur fibre non trivial. Le morphisme naturel de k -cogébroïdes L ≃ L_{k}(U) est donc un isomorphisme, d’après la proposition 5.8. On vérifie que c’est un morphisme d’algèbres. ⊓ ⊔

Proposition 7.2. Soit L un k -bigébroïde de Hopf transitif de base B. Alors toute représentation non nulle de L est projective et fidèlement plate comme B -module.

Démonstration. Toute représentation de L est projective, donc plate, comme B - module; en outre elle est limite inductive filtrante de ses sous-représentations de type fini (5.1. et ST2). Il suffit donc de vérifier que toute représentation de type fini, non nulle, est fidèlement plate. Soit C une B -algèbre commutative non nulle. Le foncteur monoïdal ω de rep(B : L) vers Mod(C) qui à toute représentation V de L associe le C -module V ⊗_{B} C, est exact à droite; c’est donc un foncteur fibre, non trivial; d’après (2.3.) il est fidèle, d’où la proposition. ⊓ ⊔

Les k -bigébroïdes de Hopf géométriquement transitifs admettent une caractérisation particulièrement simple.

Définition. Un k -bigébroïde de Hopf transitif est dit séparable si le k -cogébroïde sousjacent est séparable, autrement dit si pour toute représentation simple de type fini V , le centre du corps End(V) est une extension séparable de k.

Si L est un k -bigébroïde de base B, notons L_{K} le K -bigébroïde L ⊗_{k} K, de base B_{K} = B ⊗_{k} K, obtenu à partir de L par changement de scalaires.

Proposition 7.3. Soit L un k -bigébroïde de Hopf de base B. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) L est géométriquement transitif;

b) L est projectif et fidèlement plat comme B ⊗_{k} B -module, et B ≠ 0;

c) Pour toute extension K de k, le K -bigébroïde de Hopf L_{K} est transitif de base B_{K}.

Démonstration. a) ⟹ b). Soit L un k -bigébroïde de Hopf de base B, et soit I sa représentation unité. Supposons L géométriquement transitif, ce qui signifie qu’il est projectif comme B ⊗_{k} B -module, et que End(I) = k (cf. les remarques qui précèdent le théorème 7.1.). Alors L^{o} est un k -bigébroïde de Hopf géométriquement transitif de base B; notons I^{o} sa représentation unité. Soit L^{e} = L^{o} ⊗_{k} L; c’est un k -bigébroïde de Hopf de base B^{e} = B ⊗_{k} B, projectif en tant que B^{e} ⊗ B^{e} -module, et de représentation unité I^{e} = I^{o} ⊗_{k} I. D’après la proposition 5.11, on a End(I^{e}) = End(I^{o}) ⊗_{k} End(I) = k, donc L^{e} est géométriquement transitif, et en particulier transitif; ainsi L, naturellement muni d’une coaction à droite de L^{e}, est fidèlement plat sur B ⊗_{k} B en vertu de 7.2.

b) ⟹ a) et c). Supposons que L vérifie b). La condition de fidèle platitude entraîne l’injectivité de l’unité η : B ⊗_{k} B ⟶ L et donc tout x ∈ B vérifiant s(x) = b(x) est dans k. Ainsi, les endomorphismes de l’objet unité se réduisent à k. Comme L est projectif comme B ⊗_{k} B -module, il est donc géométriquement transitif (d’où a)), et en particulier transitif.

D’autre part, si L vérifie la condition b), L_{K} la vérifie pour toute extension K de k, d’où c).

c) ⟹ b). Soit L vérifiant c), et K une extension parfaite de k (par exemple, sa clôture algébrique). Alors L_{K} est transitif séparable, donc géométriquement transitif (6.7.), et il vérifie donc b). Il résulte alors du lemme 6.4. et de la fidèle platitude de K sur k, que L vérifie b), d’où la proposition 7.3. ⊓ ⊔

REMARQUE. Deligne montre dans [2] que tout k -bigébroïde de Hopf transitif commutatif est géométriquement transitif; j’ignore encore si cela reste vrai dans le cadre non commutatif, lorsque k n’est pas parfait.

Étant donnés une catégorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite) T et un foncteur fibre non trivial ω de T sur Spec(B), il est utile de préciser dans quels cas le k -bigébroïde transitif Aut_{k}(ω) est de type fini en tant que B ⊗_{k} B -algèbre. (En effet, la moindre des choses qu’on puisse exiger d’un groupe quantique est qu’il soit de type fini en tant qu’algèbre.)

Définition. La catégorie k -tensorielle autonome T est dite de type ⊗-fini s’il existe un objet X de T tel que tout objet soit sous-quotient d’un X^{⊗n}, n ∈ .

Proposition 7.4. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Le k -bigébroïde de Hopf Aut_{k}(ω) est une B ⊗_{k} B -algèbre de type fini;

(2) la catégorie k -tensorielle autonome T est de type ⊗-fini.

Démonstration. Pour X objet de T , soit L^{X} l’image de ^{∨}ω(X) ⊗_{k} ω(X) dans L = L_{k}(ω). On a montré les faits suivants dans la section 5 (cf. (5.4.) et (5.6.)) :

1) les L^{X} constituent un désossage de L;

2) les sous-quotients des multiples de X correspondent aux L^{X} -comodules dans l’équivalence de catégories ω̃ : T ⟶ comod(B : L);

3) si Y est un objet de T^{X}, L^{Y} ⊂ L^{X}.

D’autre part, on a L^{X} · L^{Y} = L^{X⊗Y} par définition du produit de L = Aut_{k}(ω). Par conséquent, pour tout objet X de T , la sous-algèbre de L = Aut_{k}(ω) engendrée par L^{X} est C^{X} = ∑ L^{X^{⊗n}}.

Supposons que tout objet de T soit sous-quotient d’un X^{⊗n}. Alors C^{X} contient L^{X^{⊗n}} pour tout n, donc tous les L^{Y} , d’où C^{X} = L, ce qui démontre (2)⇒(1).

Réciproquement, supposons L de type fini comme B ⊗_{k} B -algèbre. Il existe un objet Y de T tel que C^{Y} = L; quitte à remplacer Y par Y ⊕ I, on peut supposer que Y^{⊗n} est un sous-objet de Y^{⊗n+1} ; L = C^{Y} est alors la réunion croissante des L^{Y^{⊗n}}. Posons X = Y ⊕ I. Pour tout objet Z de T , il existe n tel que ω̃(Z) soit un L^{Y^{⊗n}} -comodule, autrement dit, que Z soit un sous-quotient d’un multiple de Y^{⊗n}, et donc d’un X^{⊗m}, d’où (1)⇒(2). ⊓ ⊔

Unicité du foncteur fibre et isomorphismes quantiques.

REMARQUES. Soit k un anneau commutatif. Soient C une catégorie monoïdale (essentiellement petite), B_{1} , B_{2} deux k -algèbres commutatives et ω_{1} , ω_{2} deux foncteurs monoïdaux de C vers proj(B_{1}) et proj(B_{2}) respectivement. On a alors les faits suivants.

1) L_{k}(ω_{1}, ω_{2}) est naturellement muni d’une structure de (B_{1} ⊗_{k} B_{2})-algèbre. En effet, considérons le foncteur monoïdal ω = ω_{1} × ω_{2} de C vers proj(B_{1} × B_{2}); soit L le k - bigébroïde End_{k}(ω), de base B = B_{1} ×B_{2} ; alors, en vertu de 4. 3. (i), L_{k}(ω_{1}, ω_{2}) s’identifie à B_{1} ⊗_{B} L ⊗_{B} B_{2} , d’où la structure de B_{1} ⊗_{k} B_{2} -algèbre en question. Il est utile de donner une description plus explicite de cette structure d’algèbre. Pour X objet de C, posons Λ_{X} = ^{∨}ω_{1}(X) ⊗_{k} ω_{2}(X), et notons a_{X} le morphisme naturel Λ_{X} ⟶ L_{k}(ω_{1}, ω_{2}). Les structures monoïdales induisent des isomorphismes naturels Ψ_{X,Y} : Λ_{X} ⊗_{B_{1}⊗_{k}B_{2}} Λ_{Y} ⟶ Λ_{X⊗Y} et Ψ_{0} : B_{1} ⊗_{k} B_{2} ⟶ Λ_{I}. Alors la multiplication μ et l’unité η de L_{k}(ω_{1}, ω_{2}) sont définies par : μ(a_{X} ⊗_{B_{1}⊗_{k}B_{2}} a_{Y}) = a_{X⊗Y} Ψ_{X,Y} et η = a_{I}Ψ_{0} .

On désigne par Hom_{k}(ω_{2}, ω_{1}) cette algèbre (l’interversion est significative). Si C est autonome, on la note Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}).

2) Soit C une B_{1} ⊗_{k} B_{2} -algèbre commutative (cette hypothèse est essentielle). Un morphisme de (B_{1}, B_{2})-bimodules φ : Hom_{k}(ω_{2}, ω_{1}) ⟶ C correspond bijectivement à un morphisme fonctoriel de B_{2} -modules φ̃: ω_{2} ⟶ ω_{1} ⊗_{B_{1}} C, et donc aussi à un morphisme fonctoriel de C -modules φ̂: ω_{2} ⊗_{B_{2}} C ⟶ ω_{1} ⊗_{B_{1}} C. On vérifie (en utilisant la description explicite de la structure d’algèbre de Hom_{k}(ω_{2}, ω_{1}) donnée ci-dessus) que φ̂ est monoïdal si et seulement si φ est un morphisme d’algèbre.

Ainsi, les morphismes fonctoriels monoïdaux de ω_{2} ⊗_{B_{2}} C vers ω_{1} ⊗_{B_{1}} C sont en bijection naturelle avec les morphismes de B_{1} ⊗_{k} B_{2} -algèbres de Hom_{k}(ω_{2}, ω_{1}) vers C.

3) Lorsque Hom_{k}(ω_{2}, ω_{1}) est une algèbre commutative, elle représente donc le foncteur de la catégorie des B_{1} ⊗_{k} B_{2} -algèbres commutatives vers Ens défini par

C ⟼ {morphismes fonctoriels monoïdaux de ω_{2} ⊗_{B_{2}} C vers ω_{1} ⊗_{B_{1}} C } ,

ce qui justifie la notation.

Ces remarques inspirent la définition suivante. On suppose désormais que k est un corps commutatif.

Définition. Soient T une catégorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite), B_{1} et B_{2} deux k -algèbres commutatives, et ω_{1} , ω_{2} deux foncteurs fibres de T sur Spec B_{1} et Spec B_{2} respectivement.

On dit que ω_{1} et ω_{2} sont localement isomorphes au sens fpqc^{6} s’il existe une B_{1}⊗_{k}B_{2} - algèbre fidèlement plate C telle que les foncteurs fibres ω_{1} ⊗_{B_{1}} C et ω_{2} ⊗_{B_{2}} C de T sur Spec C soient isomorphes.

Proposition 7.5. Supposons k parfait. Soient ω_{1} et ω_{2} deux foncteurs fibres non triviaux de T sur Spec B_{1} et Spec B_{2} respectivement. Si Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}) est commutatif, ω_{1} et ω_{2} sont localement isomorphes au sens fpqc. (C’est le cas en particulier si T , ω_{1} et ω_{2} sont symétriques.)

Démonstration. Soit ω = ω_{1} × ω_{2} , et B = B_{1} × B_{2} . D’après le théorème 7.1, le k - bigébroïde de Hopf L = Aut_{k}(ω) est transitif, donc géométriquement transitif, de base B; d’après (7.3.) il est fidèlement plat sur B ⊗_{k} B. Soit C = Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}) = B_{1} ⊗_{B} L ⊗_{B} B_{2} . C’est une B_{1} ⊗_{k} B_{2} algèbre commutative fidèlement plate, et la remarque 3) s’applique; les foncteurs fibres ω_{1} et ω_{2} , deviennent isomorphes après tensorisation par C.⊓ ⊔

REMARQUE. En général, Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}) n’est pas commutatif, et peut même n’admettre aucun quotient commutatif non nul. Aussi est-on amené à introduire une notion plus faible d’isomorphisme, qui permet d’énoncer un résultat d’unicité du foncteur fibre en toute généralité.

On suppose désormais que k est parfait. Définition. Soient T une catégorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite), et ω_{1} , ω_{2} deux foncteurs fibres non triviaux de T . On dira que ω_{1} et ω_{2} sont quantiquement isomorphes si Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}) n’est pas nul.

6 C’est-à-dire fidèlement plat quasi-compact.

Définition. On dira que deux k -bigébroïdes de Hopf transitifs L_{1} et L_{2} , de bases respectives B_{1} et B_{2} , sont quantiquement isomorphes s’il existe un k -bigébroïde de Hopf transitif L, de base B, et deux morphismes d’algèbres de B vers B_{1} et B_{2} respectivement, de telle sorte que chacun des L_{i} soit isomorphe au k -bigébroïde de Hopf de base B_{i} obtenu à partir de L par changement de base.

On a alors le théorème d’unicité suivant :

Théorème 7.6. (On suppose k parfait.)

1) Soit T une catégorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite). Si ω_{1} et ω_{2} sont deux foncteurs fibres non triviaux de T sur Spec B_{1} et Spec B_{2} respectivement, alors ω_{1} et ω_{2} sont quantiquement isomorphes; qui plus est, Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}) est projectif et fidèlement plat sur B_{1} ⊗_{k} B_{2} ; enfin, Aut_{k}(ω_{1}) et Aut_{k}(ω_{2}) sont quantiquement isomorphes.

2) Deux k -bigébroïdes transitifs sont quantiquement isomorphes si et seulement s’il existe une équivalence monoïdale k -linéaire entre leurs catégories de représentations de type fini.

Démonstration. 1) Posons B = B_{1} × B_{2} , et considérons le foncteur fibre ω = ω_{1} × ω_{2} de T sur Spec B; soit L = Aut_{k}(ω). Alors L est géométriquement transitif de base B = B_{1} × B_{2} , donc projectif et fidèlement plat sur B ⊗_{k} B. Par conséquent Iso_{k}(ω_{2}, ω_{1}) est projectif, fidèlement plat sur B_{1} ⊗_{k} B_{2} , et en particulier non nul. En outre Aut_{k}(ω_{1}) et Aut_{k}(ω_{2}) s’obtiennent à partir de L par les changements de base définis par les projections B ⟶ B_{1} et B ⟶ B_{2} .

2) Notons U_{i} le foncteur oubli rep(B_{i} : L_{i}) ⟶ Mod(B_{i}). Supposons donnée une équivalence de catégories monoïdales a : rep(B_{1} : L_{1}) ⟶ rep(B_{2} : L_{2}). Alors U_{1} et U_{2} ∘ a sont des foncteurs fibres non triviaux de rep(B_{1} : L_{1}); il résulte de l’assertion 1) que Aut_{k}(U_{1}) et Aut_{k}(U_{2} ∘ a) sont quantiquement isomorphes; or on a Aut_{k}(U_{i}) ≃ L_{i} d’après le théorème 7.1, et Aut_{k}(U_{2} ∘a) ≃ Aut_{k}(U_{2}) car a est une équivalence de catégories monoïdales, donc L_{1} et L_{2} sont quantiquement isomorphes.

Réciproquement, supposons qu’il existe un morphisme d’algèbres f : B_{1} ⟶ B_{2} tel que L_{2} = f_{∗}L_{1} ; alors U_{1} ⊗_{B_{1}} B_{2} est un foncteur fibre non trivial de rep(B_{1} : L_{1}); on a Aut_{k}(U_{1} ⊗_{B_{1}} B_{2}) ≃ f_{∗} Aut_{k}(U_{1}) ≃ L_{2} , donc d’après le théorème 7.1, rep(B_{1} : L_{1}) est monoïdalement équivalente à rep(B_{2} : L_{2}). ⊓ ⊔

L’exemple de Maltsiniotis.

Soit k un corps commutatif. Rappelons que, pour p_{0} , q_{0} non nuls dans k, on définit un groupe quantique Gl(2)_{p_{0},q_{0}} de la façon suivante. Tout d’abord on construit une k - bigèbre M_{p_{0},q_{0}} : en tant que k -algèbre, M_{p_{0},q_{0}} est engendrée par des indéterminées a, b, c, d, avec les relations suivantes :

ba = q_{0}ab, dc = q_{0}cd, ca = p_{0}ac, db = p_{0}bd,
q_{0}cb = p_{0}bc, q_{0}da = q_{0}ad + (p_{0}q_{0} − 1)bc .

Le coproduit Δ : M_{p_{0},q_{0}} ⟶ M_{p_{0},q_{0}} ⊗_{k} M_{p_{0},q_{0}} et la coünité ε : M_{p_{0},q_{0}} ⟶ k sont les morphismes d’algèbres définis par les formules suivantes :

Δ(a) = a ⊗ a + b ⊗ c, Δ(b) = a ⊗ b + b ⊗ d, Δ(c) = c ⊗ a + d ⊗ c, Δ(d) = c ⊗ b + d ⊗ d, ε(a) = ε(d) = 1, ε(b) = ε(c) = 0 .

L’élément δ = ad − q_{0}^{−1}bc vérifie M_{p_{0},q_{0}}δ = δM_{p_{0},q_{0}} , Δ(δ) = δ ⊗ δ et ε(δ) = 1. On pose Gl(2)_{p_{0},q_{0}} = M_{p_{0},q_{0}}[δ^{−1}]; alors Gl(2)_{p_{0},q_{0}} hérite de M_{p_{0},q_{0}} une structure de k -bigèbre. En outre, il existe un anti-homomorphisme d’algèbre unique i de L dans L vérifiant :

i(a) = dδ^{−1}, i(b) = −q_{0}bδ^{−1}, i(c) = −q_{0}^{−1}cδ^{−1}, i(d) = aδ^{−1},

et c’est un antipode bijectif de Gl(2)_{p_{0},q_{0}} .

Proposition 7.7. Soient p_{1} , q_{1} , p_{2} , q_{2} non nuls dans k. Les groupes quantiques Gl(2)_{p_{1},q_{1}} et Gl(2)_{p_{2},q_{2}} sont quantiquement isomorphes lorsqu’on a p_{1}q_{1} = p_{2}q_{2} .

La réciproque est vraie, mais nous ne la démontrerons pas. Pour démontrer 7.7, nous allons utiliser un bigébroïde de Hopf L construit par Maltsiniotis de la façon suivante [9].

Soient p, q des indéterminées, et notons B l’algèbre des polynômes de Laurent k[p, q, p^{−1}, q^{−1}].

Dans B ⊗_{k} B, soit p_{s} = 1 ⊗ p, q_{s} = 1 ⊗ q, p_{b} = p ⊗ 1 et q_{b} = q ⊗ 1.

Soit L_{0} la B ⊗_{k} B -algèbre engendrée par les indéterminées a, b, c, d, avec les relations :

ba = q_{s}ab, dc = q_{s}cd, ca = p_{b}ac, db = p_{b}bd,
q_{s}cb = p_{b}bc,  q_{b}da = q_{s}ad + (p_{s}q_{s} − 1)bc,  p_{s}q_{s} = p_{b}q_{b} .

On définit des morphismes d’algèbre Δ : L_{0} ⟶ L_{0} ⊗_{B} L_{0} et ε : L_{0} ⟶ B par les formules suivantes :

Δ(p_{s}) = 1 ⊗ p_{s}, Δ(q_{s}) = 1 ⊗ q_{s}, Δ(p_{b}) = p_{b} ⊗ 1, Δ(q_{b}) = q_{b} ⊗ 1,

Δ(a) = a ⊗ a + b ⊗ c, Δ(b) = a ⊗ b + b ⊗ d, Δ(c) = c ⊗ a + d ⊗ c, Δ(d) = c ⊗ b + d ⊗ d, ε(p_{s}) = ε(p_{b}) = p, ε(q_{s}) = ε(q_{b}) = q, ε(a) = ε(d) = 1, ε(b) = ε(c) = 0 .

Ainsi, L_{0} est muni d’une structure de k -bigébroïde de base B. Soit δ = ad − q_{s}^{−1}bc ∈ L_{0} . Alors L_{0} δ = δ L_{0} , Δ(δ) = δ ⊗ δ, et ε(δ) = 1. Soit L l’algèbre L_{0}[δ^{−1}]. Alors L hérite de L_{0} une structure de k -bigèbroïde de base B. En outre, il existe un anti-homomorphisme d’algèbres unique i de L dans L vérifiant :

i(p_{s}) = p_{b}, i(q_{s}) = q_{b}, i(p_{b}) = p_{s}, i(q_{b}) = q_{s},
i(a) = dδ^{−1}, i(b) = −q_{b}bδ^{−1}, i(c) = −q_{s}^{−1}cδ^{−1}, i(d) = q_{s}^{−1}q_{b}aδ^{−1},

et c’est un antipode bijectif de L.

Ainsi, L est un k -bigébroïde de Hopf de base B : c’est l’exemple de Maltsiniotis.

REMARQUE. Soient p_{0} et q_{0} deux éléments non nuls de k, et j_{0} : B ⟶ k le morphisme d’algèbres défini par p ⟶ p_{0} et q ⟶ q_{0} . Alors la k -bigèbre de Hopf j_{0}_{∗}L n’est autre que le groupe quantique Gl(2)_{p_{0},q_{0}} .

Notons que L ne peut pas être transitif : à cause de la relation p_{s}q_{s} = p_{b}q_{b}, l’unité B ⊗_{k} B ⟶ L n’est pas injective. On peut y rémédier de la façon suivante.

Soient r un élément non nul de k, et B_{r} = B/(pq = r). Soit L_{r} le k -bigébroïde de Hopf de base B_{r} obtenu à partir de L par changement de base (autrement dit, en ajoutant la relation r = p_{s}q_{s}(= p_{b}q_{b})). Alors L_{r} est transitif. (En effet, on vérifie que L_{r} est un B_{r} ⊗_{k} B_{r} -module libre admettant pour base la famille des monômes de la forme a^{j}b^{k}c^{l}d^{m}δ^{−n}, où (j, k, l, m, n) ∈ ^{4} avec inf(j, m) = 0 ou n = 0.)

Si p_{1}q_{1} = p_{2}q_{2} = r, Gl(2)_{p_{1},q_{1}} et Gl(2)_{p_{2},q_{2}} s’obtiennent à partir de L_{r} par changement de base : ils sont donc quantiquement isomorphes.⊓ ⊔

REMARQUE. La bigèbre de Hopf Gl(2)_{p_{0},p_{0}^{−1}} n’est pas commutative si p_{0} ≠ 1; or elle est, d’après la proposition, quantiquement isomorphe à Gl(2)_{1,1} , qui est une bigèbre de Hopf commutative.

Il me semble que la morale de tout ceci est qu’il faudra considérer un groupe quantique non comme la donnée d’une bigèbre de Hopf, mais comme la donnée d’une classe d’isomorphisme quantique de bigèbres de Hopf (ce qui revient à se donner la catégorie de ses représentations de type fini). Naturellement, il faudra faire des hypothèses plus fortes que cela, si on veut eviter des objets trop pathologiques : vraisemblablement, il faudra supposer que la catégorie des représentations soit un “tortil” (c’est-à-dire qu’elle soit tressée et balancée [4]).

8—Deux cas particuliers

Le cas des bigèbres de Hopf

Soit k un corps algébriquement clos, T une catégorie k -tensorielle autonome. Si T admet un foncteur fibre non trivial ω sur un k -schéma S de type fini, alors elle admet un foncteur fibre sur Spec(k), car S a au moins un point à valeurs dans k.

Le théorème 7.1. et la proposition 7.4. prennent la forme suivante lorsque la base B est réduite au corps de base k.

Théorème 8.1. Soit k un corps commutatif.

1) Soit T une catégorie k -tensorielle autonome (essentiellement petite) et ω un foncteur fibre de T sur Spec(k). Alors ω induit une équivalence de catégories monoïdales

ω̃ : T ⟶ rep(Aut_{k}(ω))

qui s’étend en une équivalence de catégories monoïdales

Ind(T ) ⟶ Rep(Aut_{k}(ω)) .

En outre, la k -bigèbre de Hopf Aut_{k}(ω) est de type fini comme k -algèbre si et seulement si T est de type ⊗-fini.

2) Si L est une k -bigèbre de Hopf non nulle, et U le foncteur oubli de rep(L) vers vect(k), le morphisme naturel Aut_{k}(U) ⟶ L est un isomorphisme de k -bigèbres. ⊓ ⊔

REMARQUE. Cette situation a déja été étudiée en détail, voir notemment [5], [6], [8], [11], [12], [13], [14]. Il est important de noter que la démonstration directe du théorème 8.1. est beaucoup plus simple que celle du théorème 7.1. La raison en est qu’une k -cogèbre est toujours un k -cogébroïde géométriquement semi-transitif, car un module sur un corps est toujours projectif.

L’intérêt du théorème 7.1. est ailleurs. D’une part, il permet de traîter les cas où il n’existe pas de foncteur fibre sur Spec(k); cela peut se produire notamment lorsque k n’est pas algébriquement clos. D’autre part, il permet de travailler sur des familles de bigèbres de Hopf dépendant d’un ou plusieurs paramètres, comme dans l’exemple de Maltsiniotis (section 7) : on peut voir un bigébroïde de Hopf transitif comme la donnée d’une famille de bigèbres de Hopf deux à deux quantiquement isomorphes.

Les résultats tannakiens classiques.

Les résultats tannakiens classiques se formulent en termes de k -groupoïdes algébriques, et non de k -bigébroïdes. Il s’agit maintenant de faire le lien entre ces notions : les résultats classiques seront alors conséquence du théorème 7.1. (au moins pour k parfait).

Soit k un corps commutatif. Un k -groupoïde (algébrique) est un groupoïde dans la catégorie des k -schémas.

De façon explicite, c’est la donnée

— de deux k -schémas G et S,

— de deux morphismes s et b de G vers S appelés respectivement source et but,

— d’un morphisme de S × S -schémas ∘ : _{b}G_{s} ×_{S} _{b}G_{s} ⟶ _{b}G_{s} appelé composition,

astreinte à la condition que nous allons maintenant formuler.

Soit T un k -schéma. On note G(T) et S(T) l’ensemble des morphismes de T vers G et S respectivement. Alors s et b induisent des applications s_{T} , b_{T} de G(T) vers S(T), et ∘ induit une loi de composition ∘_{T} partiellement définie sur G(T). On demande que pour tout T, ces données définissent un petit groupoïde (ensembliste) G(T) dont les flèches sont les éléments de G(T) et les objets, les éléments de S(T). Ainsi on définit un foncteur contravariant G de la catégorie des k -schémas vers la catégorie des petits groupoïdes.

Le k -groupoïde sera généralement désigné par la seule lettre G; le schéma S est la base du groupoïde.

Le k -groupoïde G est dit affine si le morphisme (s, b) : G ⟶ S × S est affine. Il est dit transitif si (s, b) est couvrant pour la topologie fpqc.

À présent, soit B une k -algèbre commutative, S = Spec B, et G un k -groupoïde affine de base S. Alors la k -algèbre L = O(G) est naturellement munie d’une structure de k -bigébroïde de Hopf commutatif de base B. Réciproquement, si L est un k -bigébroïde de Hopf commutatif de base B, alors G = Spec L devient naturellememt un k -groupoïde affine de base S = Spec B.

En outre, lorsque G et L se correspondent ainsi, la donnée d’une représentation de G est équivalente à la donnée d’un L-comodule à droite. Tout morphisme de schémas affines p : T ⟶ S définit par changement de base un k -groupoïde de base T noté p^{∗}G; à toute représentation de G correspond fonctoriellement une représentation de p^{∗}G notée p^{∗}V .

Théorème 8.2. Soit L un k -bigébroïde de Hopf commutatif de base B ≠ 0, et G le k - groupoïde associé. Alors G est transitif si et seulement si L est géométriquement transitif.

Démonstration du théorème. Conservons les notations ci-dessus. Rappelons que si f : X ⟶ Y est un morphisme de k -schémas affines, f est couvrant pour la topologie fpqc si et seulement s’il existe T affine et un morphisme g : T ⟶ X tel que T soit fidèlement plat sur Y ; c’est en particulier le cas si X lui-même est fidèlement plat sur Y . Or si L est géométriquement transitif, il est fidèlement plat sur B ⊗_{k} B, d’après (7.3.), et donc G est transitif.

Supposons à présent G transitif, et montrons que L est géométriquement transitif si B ≠ 0. Si K est une extension de k, le K -groupoïde G_{K} = Spec L_{K}, obtenu à partir de G par changement de scalaires, est encore un K -groupoïde transitif; de sorte qu’en vertu de (7.3.), il suffit de montrer que L est transitif.

Or il résulte de la transitivité de G que l’unité η : B ⊗_{k} B ⟶ L est injective; on a donc End(I) = k si B ≠ 0. Il suffit donc de vérifier que le k -cogébroïde L sous-jacent à L satisfait aux conditions ST1 et ST2. Cela reposera sur le lemme suivant.

Lemme 8.3. Soit G un k -groupoïde affine transitif de base S. Soit P une propriété de S -schémas affines. On suppose que P verifie les conditions suivantes :

(1) soit p : T ⟶ S et q : T′ ⟶ T; alors P(p) ⇒ P(pq);

(2) avec les mêmes notations, si q est fidèlement plat, alors P(pq) ⇒ P(p);

(3) soit T un k -schéma affine, et p, q deux morphismes de T vers S, c’est-à-dire deux éléments de S(T). Si p et q sont isomorphes dans G(T), alors P(p) ⇔ P(q);

Alors si P est vérifiée par un S -schéma affine non vide, elle est vérifiée par tous.

Démonstration du lemme. Soit T un schéma affine, et α_{1} , α_{2} deux éléments de S(T). Nous dirons que α_{1} et α_{2} sont localement isomorphes (au sens fpqc) s’il existe un schéma affine T′ et un morphisme q de T′ vers T tel que T′ soit fidèlement plat sur T, et que α_{1}q et α_{2}q soient isomorphes dans G(T′).

Si α_{1} et α_{2} sont localement isomorphes, alors P(α_{1}) ⇔ P(α_{2}).

Montrons que lorsque G est transitif, deux éléments de S(T) sont toujours localement isomorphes. La transitivité se traduit par l’existence d’un schéma affine Z et d’un morphisme Z ⟶ G de telle sorte que Z soit fidèlement plat sur S × S. Soit pr_{1} , pr_{2} les deux projections de S × S sur S, et ϕ le morphisme de Z vers S × S. Le fait que ϕ se relève à G signifie que pr_{1}ϕ et pr_{2}ϕ sont isomorphes dans G(Z). Ainsi, pr_{1} et pr_{2} sont localement isomorphes. Soit à présent α_{1} , α_{2} ∈ S(T); alors α_{i} = pr_{i}(α_{1}, α_{2}), donc α_{1} et α_{2} sont localement isomorphes.

Considérons T_{1} , T_{2} deux schémas affines, et q_{1} ∈ S(T_{1}), q_{2} ∈ S(T_{2}). Soit T = T_{1}×T_{2} , p_{i} la projection de T sur T_{i}, α_{i} = q_{i}p_{i} (pour i = 1, 2). Alors P(q_{i}) ⇔ P(α_{i}) et P(α_{1}) ⇔ P(α_{2}), d’où le lemme.⊓ ⊔

Nous allons utiliser ce lemme à trois reprises.

Étant donné un S -schéma affine p : T ⟶ S, et une représentation V de G, soit P la propriété : p^{∗}V est un O(T)-module plat.

Il est clair que la propriété P vérifie les conditions (1), (2), (3) du lemme; elle est vraie lorsque T est le spectre d’un corps; elle est donc toujours vraie. Ainsi toute représentation de G est plate sur S;

En appliquant ceci à L = O(G), on voit que G est plat à droite sur S, et à gauche aussi par raison de symétrie. Or pour tout S -schéma p : T ⟶ S, le k -groupoïde p^{∗}G est encore transitif de base T; on en déduit que p^{∗}G est plat à droite et à gauche sur T.

Soit à présent V une représentation de type fini de G, et P la propriété : p^{∗}V est un O(T)-module projectif de type fini.

Le raisonnement ci-dessus s’applique, le seul point délicat étant de s’assurer que P vérifie (2), ce qui résulte immédiatement du lemme classique suivant.

Lemme. Soit A un anneau commutatif et B une A-algèbre fidèlement plate. Soit N un A-module. Si N ⊗_{A} B est projectif de type fini sur B, N est projectif de type fini sur A.

Démonstration. Soit N_{B} = N ⊗_{A} B, et supposons N_{B} projectif de type fini. Il est en particulier plat, et comme B est fidèlement plat sur A, N est plat. D’autre part N_{B} est de présentation finie, donc N aussi en vertu de (3.6.). Or un module de type fini sur un anneau commutatif est projectif si et seulement s’il est plat et de présentation finie, d’où le lemme.⊓ ⊔

On en déduit que P est toujours vraie, et donc L vérifie ST1.

De même, soit V une représentation quelconque de G, et P la propriété : p^{∗}V est limite inductive filtrante de sous-représentations de type fini.

Là encore, on fait le même raisonnement, et la seule difficulté est de montrer que P vérifie la condition (2); or pour tout S -schéma affine p : T ⟶ S, p^{∗}G est plat à gauche sur T. D’après la proposition 3.7, tout morphisme fidèlement plat de schémas affines q : T′ ⟶ T induit une équivalence de catégories q^{∗} entre les représentations de p^{∗}G et celles de (pq)^{∗}G; de plus les représentations de type fini se correspondent par q^{∗}; d’où la condition (2). Lorsque T est le spectre d’un corps, P est vraie en vertu de (3.3.); par conséquent P est toujours vraie, et donc L vérifie ST3, d’où le théorème 8.2.⊓ ⊔

REMARQUE. Pour un groupoïde, la transitivité s’exprime en termes de fidèle platitude; l’essentiel de la démonstration ci-dessus consiste à vérifier que, dans le cas commutatif, un k -bigébroïde de Hopf fidèlement plat sur B ⊗_{k} B est projectif sur B ⊗_{k} B. J’ignore si cette propriété reste vraie lorsque le bigébroïde n’est plus supposé commutatif. (La démonstration ci-dessus n’est plus valable dans ce cas.) Cependant, je crois que la définition de la transitivité d’un bigébroïde de Hopf donnée dans la section 7 est la bonne dans la mesure où elle est issue de la théorie des cogébroïdes.

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