Structure de catégorie de modèles sur Cat

d’après Thomason

Au cours de ses exposés, Georges a défini les équivalence faible de Cat comme étant les flèches de Cat dont l’image par le foncteur ‘espace classifiant’ B : Cat ⟶ Top est une équivalence faible. Si l’on note We′ la classe des équivalences faibles de Cat, le foncteur B induit une équivalence de catégories de We′^{−1} Cat vers la catégorie homotopique.

Le but du présent exposé est de raconter comment Thomason a construit (dans [Th]) une structure de catégorie de modèles fermée propre sur Cat de sorte que We′ soit la classe des équivalences faibles pour cette structure.

On notera Ord (resp. Ord′) la catégorie des ensembles ordonnés (resp. préordonnés), vue comme une sous-catégorie pleine de Cat.

1. Rappels sur les ensembles simpliciaux

La catégorie simpliciale, notée △, est la sous-catégorie pleine de Ord dont les objets sont les ensembles ordonnés [n] = {0, 1,…, n} pour n ∈ .

Pour n ∈ et pour i ∈ [n], on note s_{i}^{n} (ou simplement s_{i}) l’unique application croissante surjective [n + 1] → [n] prenant deux fois la valeur i, et, si n > 0, d_{i}^{n} (ou simplement d_{i}) l’unique application strictement croissante [n − 1] → [n] ne prenant pas la valeur i.

La catégorie des ensembles simpliciaux est la catégorie ˆ△ des préfaisceaux d’ensembles sur △. On identifiera △ à une sous-catégorie pleine de ˆ△ par le plongement de Yoneda. Pour X ensemble simplicial, et pour tout n ∈ , l’ensemble X_{n} = Hom_{△}([n], X) est l’ensemble des n-simplexes de X.

Pour i ∈ [n], l’application X(s_{i}^{n}) : X_{n} → X_{n+1} est appelée i-ième opérateur dégénérescence, et notée σ_{i}^{n} (ou σ_{i}); et, si n > 0, l’application X(d_{i}^{n}) : X_{n} → X_{n−1} est appelée i-ième opérateur face, et notée δ_{i}^{n} (ou δ_{i}).

La construction suivante, déjà mentionnée par Georges, nous sera indispensable. Soit A une petite catégorie, C une catégorie. Tout foncteur F : A ⟶ C définit un

foncteur F^{∗} : C ⟶ Â, donné sur les objets par

X ↦ F^{∗}(X) = Hom(F (?), X) .

Si la catégorie C admet des petites limites inductives, F^{∗} admet un adjoint à gauche, noté F_{!} . C’est l’unique foncteur Â ⟶ C qui prolonge F et commute aux petites limites inductives. De plus F ↦ F_{!} est un quasi-inverse du foncteur restriction

{foncteurs Â ⟶ C commutant aux petites limites inductives} ⟶ {foncteurs A ⟶ C } .

1.1. Remarque. Le foncteur F^{∗} commute aux limites inductives indexées par une petite catégorie I si et seulement si pour tout objet X de A, le foncteur Hom_{C}(F (X),?) commute aux limites inductives indexées par I.

Exemples.

1) Réalisation géométrique.

Soit F le foncteur △ ⟶ Top associant à [n] le n-simplexe géométrique standard. Alors le foncteur |?| = F_{!} est le foncteur réalisation géométrique ˆ△ ⟶ Top.

2) Nerf.

Soit F le foncteur △ ⟶ Cat associant à [n] l’ensemble ordonné [n] = {0, 1,…, n}, vu comme une catégorie. Alors F^{∗} : Cat ⟶ ˆ△ est le foncteur nerf, noté N. Il a pour adjoint à gauche le foncteur c = F_{!} : ˆ△ ⟶ Cat.

Remarques.

1) Si X est un ensemble simplicial, c(X) est la catégorie ayant pour objets les sommets de X et pour flèches les chemins obtenus par concaténation d’arêtes de X, modulo les relations exprimant la commutativité des triangles définis par les 2-simplexes de X.

2) Si C est une catégorie, N(C)_{n} est l’ensemble des foncteurs de [n] dans C; c’est donc l’ensemble des diagrammes de C de la forme X_{0} → X_{1} → ⋯ → X_{n}.

3) Le foncteur Hom_{Cat}([n],?) commute aux petites limites inductives filtrantes, donc N aussi (remarque 1.1.).

3) Le foncteur N est pleinement fidèle; autrement dit on a cN ≃ 1_{Cat} .

4) Rappelons que, par définition, B = |N|.

3) Subdivision barycentrique.

Si E est un ensemble ordonné, soit f(E) l’ensemble des parties finies totalement ordonnées non vides de E. On l’ordonne par l’inclusion. Ceci définit un foncteur

f : Ord ⟶ Ord .

Pour n ∈ , soit [n]′ l’ensemble simplicial Nf[n]. Pour tout entier m, [n]′_{m} s’identifie à l’ensemble des suites ∅ ≠ A_{0} ⊂ A_{1} ⊂ ⋯ ⊂ A_{m} ⊂ [n].

Soit F = Nf_{|△} : △ ⟶ ˆ△, [n] ↦ [n]′.

Le foncteur Sd = F_{!} : ˆ△ ⟶ ˆ△ est appelé subdivision barycentrique. On note Ex son adjoint à droite.

L’application f(E) ⟶ E, F ↦ sup(F), est un morphisme fonctoriel de f vers 1_{Ord} . Il en résulte un morphisme fonctoriel e : Sd ⟶ 1_{△}, et par adjonction un morphisme fonctoriel ε : 1_{△} ⟶ Ex.

1.2. Proposition. Pour tout ensemble simplicial X, e_{X} : Sd X ⟶ X et ε_{X} : X ⟶ Ex X sont des équivalences faibles.

Démonstration.

Soit We la classe des équivalences faibles de ˆ△; rappelons que pour w ∈ Fl( ˆ△) on a : w ∈ We ⟺ |w| est une équivalence d’homotopie faible ⟺ |w| est une équivalence d’homotopie. (La dernière équivalence vient du fait que la réalisation géométrique d’un ensemble simplicial est un objet fibrant et cofibrant dans Top).

Montrons la première assertion.

a) | Sd | et |?| sont isomorphes, car |[n]| et |[n]′| sont fonctoriellement homéomorphes.

b) Soit F un foncteur ˆ△ ⟶ Top commutant aux petites limites inductives, et ϕ^{0} , ϕ^{1} deux morphismes fonctoriels F ⟶ |?|. Alors pour tout ensemble simplicial X, ϕ_{X}^{0} et ϕ_{X}^{1} sont homotopes. (Considérer, pour t ∈ [0, 1], le morphisme ϕ^{t} : F ⟶ |?| défini par : ϕ_{[n]}^{t} = (1 − t)ϕ_{[n]}^{0} + tϕ_{[n]}^{1} ).

Appliqué à F = | Sd |, ceci montre que tout morphisme fonctoriel Sd X ⟶ X est une équivalence faible.

La seconde assertion est conséquence d’un résultat de Kan.

Si X est un ensemble simplicial, on note Ex^{∞} X la limite du système inductif

X ⟶ Ex X ⟶ Ex^{2} X ⟶ … ⟶ Ex^{n} X ⟶ …

et ε_{X}^{∞} la flèche naturelle X ⟶ Ex^{∞} X.

1.3. Théorème. (Kan) Pour tout ensemble simplicial X, Ex^{∞} X est un complexe de Kan, et ε_{X}^{∞} : X ⟶ Ex^{∞} X est une équivalence faible.

Démonstration. Voir l’article de Kan [2]. ⊓ ⊔ On conclut en observant que dans le triangle commutatif

X  w ε_{X}_{4 4 44 6} ε_{X}^{∞}  Ex X uε_{Ex X}^{∞}

Ex^{∞} X

deux des côtés sont des équivalences faibles, donc le troisième aussi. ⊓ ⊔

4) L’ensemble ordonné des faces d’un ensemble simplicial.

Le foncteur d’inclusion i′ : Ord′ ↪ Cat admet un adjoint à gauche p′ : pour une catégorie C, p′(C) est l’ensemble préordonné (Ob C, ≤) où x ≤ y ⟺ Hom_{C}(x, y) ≠ ∅. D’autre part, le foncteur d’inclusion i_{0} : Ord ↪ Ord′ admet un adjoint à gauche p_{0} : si E un ensemble préordonné, p_{0}(E) est le quotient de E par la relation d’équivalence x ∼ y ⟺ x ≤ y et y ≤ x.

Ainsi les petites limites inductives existent dans Ord et dans Ord′.

Le foncteur F = f_{|△} : △ ⟶ Ord s’étend en un foncteur F_{!} : ˆ△ ⟶ Ord dont nous allons donner maintenant une description explicite.

À tout ensemble simplicial X, on associe un ensemble préordonné Φ′(X). C’est l’ensemble ∐ X_{n} des simplexes de X, muni du préordre défini comme suit : si x, y sont deux simplexes de X, x ≤ y ⟺ ∃ϕ ∈ Fl △ | X(ϕ)y = x (x est ‘contenu dans y ’). Ceci définit un foncteur Φ′ : ˆ△ ⟶ Ord′ dont on vérifie aisément qu’il commute aux petites limites inductives.

Pour un ensemble simplicial X, on appelle ensemble ordonné des faces de X, et on note Φ(X), l’ensemble ordonné p_{0}(Φ′(X)); c’est donc le quotient de l’ensemble des simplexes de X par la relation d’équivalence : x ∼ y ⟺ x ≤ y et y ≤ x.

Rappelons qu’un simplexe x est non dégénéré si x = X(ϕ)y ⟹ ϕ injectif.

Exercice. La surjection canonique Φ′(X) ⟶ Φ(X) induit une bijection de l’ensemble des simplexes non dégénérés sur l’ensemble des faces.

Le foncteur Φ = p_{0}Φ′ : ˆ△ ⟶ Ord commute aux petites limites inductives. Par ailleurs Φ[n] s’identifie à l’ensemble des parties non vides de [n], qui n’est autre que f[n].

Ainsi, le foncteur F_{!} s’identifie à Φ.

Remarque. Si Y est un sous-ensemble simplicial de X, Φ(Y) est un crible de Φ(X).

Rapports entre faces et subdivision barycentrique

Soit p l’adjoint à gauche au foncteur d’inclusion i : Ord ↪ Cat. Pour toute petite catégorie C on a une flèche naturelle C ⟶ p(C), qui est un isomorphisme si et seulement si C est un ensemble ordonné.

On a pc[n]′ = pcNf[n] = pf[n] ≃ f[n] car f[n] est un ensemble ordonné. Ainsi, les foncteurs Φ et pc Sd, qui commutent aux petites limites inductives, coïncident sur △. Ils sont donc canoniquement isomorphes, et on les identifiera : Φ = pc Sd.

Si X est un ensemble simplicial, on a donc une flèche naturelle c Sd X ⟶ Φ(X), et par adjonction une flèche σ_{X} : Sd X ⟶ NΦ(X) qui, en général, n’est pas un isomorphisme.

1.4. Définition. Un ensemble simplicial X est régulier si tout simplexe non dégénéré de X est un monomorphisme de ˆ△ (on voit un n-simplexe comme un morphisme [n] → X).

1.5. Remarques.

1) Le nerf d’un ensemble ordonné est un ensemble simplicial régulier.

2) Si un ensemble simplicial X est régulier, il en va de même de ses sous-ensembles simpliciaux.

3) Un ensemble simplicial qui est réunion de sous-ensembles simpliciaux réguliers est régulier.

1.6. Proposition. Si X est un ensemble simplicial régulier, la flèche naturelle σ_{X} est un isomorphisme Sd X ⟶^{∼} NΦ(X).

Démonstration. On procède par étapes.

a) Un ensemble simplicial X est fini s’il est limite inductive finie d’objets de △, ce qui équivaut à dire que Φ(X) est un ensemble fini.

Tout ensemble simplicial est réunion filtrante de ses sous-ensembles simpliciaux finis. De plus les foncteurs Sd, Φ et N commutent aux petites limites inductives filtrantes. On peut donc supposer X fini.

b) Soit X un ensemble simplicial, Y, Z ⊂ X tels que X = Y ∪ Z. Alors NΦX = NΦY ⨿_{NΦT} NΦZ.

Cela résultera du lemme suivant, qui est immédiat.

1.7. Lemme. Soit A une catégorie, C et C′ deux cribles (ou deux cocribles) de A tels que C ∪ C′ = A. Alors N(A) = N(C) ⨿_{N(C∩C′)} N(C′). ⊓ ⊔

On applique le lemme à A = ΦX; C = ΦY et C′ = ΦZ sont deux cribles de A de réunion A et d’intersection ΦT.

c) Avec les mêmes hypothèses qu’en b), si σ_{Y} , σ_{Z} et σ_{T} sont des isomorphismes, il en va de même de σ_{X}, car Sd X = Sd Y ⨿_{Sd T} Sd Z.

d) Pour X = ∅ ou X = [n], σ_{X} est un isomorphisme. Soit X fini, régulier, non vide, et α un simplexe non dégénéré de X de dimension maximale n. Alors X = Y ∪ Z, où Y est l’image de α et Z le plus grand sous-ensemble simplicial de X ne contenant pas α. De plus Y ≃ [n], Z a moins de faces que X, ainsi que T = Y ∩ Z. On conclut par récurrence sur le nombre de faces, en utilisant c). ⊓ ⊔

1.8. Corollaire. Si X est un ensemble simplicial régulier, Sd X est régulier et on a : c Sd X = ΦX, Nc Sd X = Sd X et c Sd^{2} X = fΦ(X).

Démonstration. On a Sd X = NΦ(X) donc Sd X est régulier. D’autre part cN = 1_{Cat} , donc c Sd X = cNΦ(X) = Φ(X) et Nc Sd X = NΦ(X) = Sd X. On a pour tout ensemble ordonné E : ΦN(E) = f(E). Appliqué à E = Φ(X) cela donne fΦ(X) = ΦNΦ(X) = Φ(Sd X) = c Sd^{2} X. ⊓ ⊔

2. Catégories de modèles

Soit C une catégorie, et (A →^{i} B, X →^{p} Y) un couple de flèches de C. On dira que (i, p) a la propriété de relèvement si tout carré commutatif

\begin{matrix}Au i  w \\ Xup \end{matrix} ; {B  w \atop Y}

peut être complété en un diagramme commutatif

Au i wXup

B^{h h hh j} wY

Si Σ est une classe de flèches de C, on considère deux classes de flèches de C :

R_{G}(Σ) = {i | ∀p ∈ Σ, (i, p) a la propriété de relèvement}
R_{D}(Σ) = {p | ∀i ∈ Σ, (i, p) a la propriété de relèvement}

2.1. Remarques.

1) R_{G}(Σ) contient les isomorphismes, est stable par composition, par rétractes, par sommes, et par images directes.

De plus étant donnée un système inductif de C indexé par :

X_{0} ⟶^{f_{0}} X_{1} ⟶^{f_{1}} X_{2} ⟶ … ⟶ X_{n} ⟶^{f_{n}} X_{n+1} ⟶ …

admettant une limite, si chacune des flèches f_{n} appartient à R_{G}(Σ), la flèche naturelle g : X_{0} ⟶\underrightarrow{lim}X_{n} appartient à R_{G}(Σ). Appelant g = … f_{n}f_{n−1} … f_{0} la composée dénombrable (vers la gauche) des f_{n}, on dira que R_{G}(Σ) est stable par composition dénombrable vers la gauche.

On a évidemment les propriétés duales pour R_{D}(Σ).

2) Soit ν : C′ ⟶ C un foncteur admettant un adjoint à gauche γ. Pour i ∈ Fl C et p′ ∈ Fl C′, (i, ν(p′)) a la propriété de relèvement si et seulement si (γ(i), p′) a la propriété de relèvement.

Autrement dit, si Σ est une classe de flèches de C, on a

R_{D}(γ(Σ)) = ν^{−1}R_{D}(Σ) ;

et si Σ′ est une classe de flèches de C′,

R_{G}(ν(Σ′)) = γ^{−1}R_{G}(Σ′) .

2.2. Définition. Une catégorie de modèles fermée est une catégorie C munie de trois classes de flèches We, Fib, Cofib, telles que, si l’on pose Tfib = Fib ∩ We et Tcofib = Cofib ∩ We, on ait les axiomes suivants :

CM1 C admet des limites inductives et projectives finies. CM2 Si deux flèches d’un triangle commutatif de C sont dans We il en va de même de la

troisième. CM3 (a) Fib, (b) We et (c) Cofib sont stables par rétractes. CM4 (a) Cofib ⊂ R_{G}(Tfib) et (b) Fib ⊂ R_{D}(Tcofib). CM5 Toute flèche f de C s’écrit (a) f = pi , avec p ∈ Tfib, i ∈ Cofib, et (b) f = qj, avec

q ∈ Fib, j ∈ Tcofib.

On dit que c’est une catégorie de modèles fermée propre si elle vérifie en outre : Pr We est stable (a) par image directe par les flèches de Cofib, et (b) par images inverses

par les flèches de Fib.

2.3. Remarque. Cette définition est équivalente à celle de Quillen (donnée par Georges). En effet, les axiomes CM3, CM4, CM5 entraînent Fib = R_{D}(Cofib), Cofib = R_{G}(Fib), Tfib = R_{D}(Cofib), Tcofib = R_{G}(Fib). En outre il résulte de CM2 et CM5 que les éléments de We sont les flèches qui s’écrivent pi, avec p ∈ Tfib et i ∈ Tcofib.

2.4. Exemples. On connait deux exemples de catégories de modèles fermées propres :

— la catégorie Top des espaces topologiques, avec

We_{Top} = {équivalences d’homotopie faibles}, Fib_{Top} = {fibrations de Serre}, Tfib_{Top} = Fib_{Top} ∩ We_{Top}, et Cofib_{Top} = R_{G}(Tfib_{Top}) ;

— la catégorie ˆ△ des ensembles simpliciaux, avec

We = |?|^{−1} We_{Top}, Fib = {fibrations de Kan}, et Cofib = {monomorphismes} .

2.5. Remarque.

Soit M = (C, We, Fib, Cofib) une catégorie de modèles fermée, C′ une catégorie admettant des limites inductives et projectives finies, et ν : C′ ⟶ C un foncteur.

Posons We′ = ν^{−1} We, Fib′ = ν^{−1} Fib, et Cofib′ = R_{G}(Fib′ ∩ We′).

On constate alors immédiatement que M′ = (C′, We′, Fib′, Cofib′) vérifie CM1, CM2, CM3, CM4 (a); de plus si M est propre, et si ν préserve les carrés cartésiens, M′ vérifie Pr (b).

On serait donc tenté d’appliquer la remarque qui précède à la situation C = ˆ△, C′ = Cat, et ν = N; mais cela ne définit pas une structure de catégorie de modèle sur Cat.

Toutefois, Thomason s’est aperçu qu’il suffisait de remplacer N par ν = Ex^{2} N : Cat ⟶ ˆ△ pour que cela marche. Ce foncteur admet un adjoint à gauche γ = c Sd^{2} .

Posons donc :

We′ = ν^{−1}(We), Fib′ = ν^{−1} Fib, Cofib′ = R_{G}(Fib′ ∩ We′)

Tfib′ = Fib′ ∩ We′ et Tcofib′ = Cofib′ ∩ We′ .

On a vu (1.2.) que le morphisme fonctoriel ε_{X} : X ⟶ Ex X est une équivalence faible; on a donc, pour f ∈ Fl Cat : N(f) ∈ We ⟺ ν(f) ∈ We, de sorte que la classe We′ coïncide avec la classe des équivalences faibles de Cat.

2.6. Théorème. (Thomason) (Cat, We′, Fib′, Cofib′) est une catégorie de modèles fermée propre.

3. Démonstration du théorème Les petites limites inductives et projectives existent dans Cat, et le foncteur ν admet

un adjoint à gauche; il suffit donc de vérifier CM4 (b), CM5 et Pr (a).

Cornes et gidouilles

Soit n ∈ , n ≥ 1, et k ∈ [n]. Rappelons que d_{k} : [n − 1] ⟶ [n] est l’application strictement croissante d’image [n] − {k}; on la voit comme un morphisme de ˆ△. On note [n, k] le sous-ensemble simplicial de [n] réunion des images des d_{i} pour i ∈ [n] − {k}. On convient que [0, 0] = [0]. Les inclusions de la forme [n, k] ↪ [n] s’appellent les cornes simpliciales.

De même, notons ∂[n] le sous-ensemble simplicial de [n] réunion des images des d_{i} pour tout i ∈ [n]. On convient que ∂[0] = ∅. Par patanalogie, appelons gidouilles simpliciales les inclusions ∂[n] ↪ [n].

Par définition des fibrations de Kan, on a Fib = R_{D}({cornes simpliciales}). De plus, Tfib = R_{D}({gidouilles simpliciales}).

On appelle cornes (resp. gidouilles) catégoriques les images par γ des cornes (resp. des gidouilles) simpliciales.

Posons Σ_{c} = {cornes catégoriques} et Σ_{g} = {gidouilles catégoriques}.

On a Fib′ = ν^{−1}Fib = R_{D}(Σ_{c}), Tfib′ = ν^{−1}(Tfib) = R_{D}(Σ_{g}); et par définition Cofib′ = R_{G}R_{D}(Σ_{g}). (Par contre on ne sait pas encore que Tcofib′ = R_{G}R_{D}(Σ_{c}).)

L’assertion CM5 (a) signifie donc que toute flèche de C s’écrit pi avec p ∈ R_{D}(Σ_{g}) et i ∈ R_{G}R_{D}(Σ_{g}).

Ceci résulte immédiatement d’un énoncé très général.

Soit C une catégorie où les petites limites inductives existent.

3.1. Définition. Un objet X de C est dit fin si le foncteur Hom(X,?) commute aux limites inductives indexées par .

3.2. Proposition. Tout ensemble simplicial fini est un objet fin de ˆ△, et son image par γ est un objet fin de Cat.

Démonstration. On procède par étapes.

a) Si X est un ensemble simplicial fini, Hom(X,?) commute aux petites limites inductives filtrantes; en particulier X est un objet fin de ˆ△.

b) Pour tout n, Sd[n] = [n]′ est un ensemble simplicial fini, donc le foncteur Ex commute aux petites limites inductives filtrantes (remarque 1.1.), et comme N commute lui aussi aux petites limites inductives filtrantes, il en va de même de ν = Ex^{2} N.

c) Soit F : C′ ⟶ C un foncteur admettant un adjoint à droite G qui commute aux limites inductives indexées par . Alors l’image par F d’un objet fin de C′ est un objet fin de C.

d) Ceci s’applique au foncteur γ : ˆ△ ⟶ Cat, dont l’adjoint à droite ν commute aux limites inductives filtrantes; on en déduit que pour tout ensemble simplicial fini X, γ(X) est un objet fin de Cat. ⊓ ⊔

Si Σ est une classe de flèches de C, notons X(Σ) la classe des images directes de sommes de flèches de Σ, et Σ^{+∞} la classe des composées dénombrables vers la gauche de flèches appartenant à Σ. On a donc X(Σ)^{+∞} ⊂ R_{G}R_{D}(Σ).

3.3. Proposition. Soit Σ un ensemble de flèches de C dont les sources sont des objets fins. Alors toute flèche f de C s’écrit naturellement pi, où p ∈ R_{D}(Σ), et i ∈ X(Σ)^{+∞}.

3.4. Remarque. En particulier, on a i ∈ R_{G}R_{D}(Σ); de plus si f ∈ R_{G}R_{D}(Σ), f est un rétracte de i.

Démonstration.

Soit f : E ⟶ F une flèche de C. Soit D l’ensemble des carrés commutatifs de la forme

\begin{matrix}Au s  w \\ Euf \end{matrix} ; {B  w \atop F}

avec s ∈ S. Pour d ∈ D on notera

\begin{matrix}A_{d} u s_{d}  w \\ Euf \end{matrix} ; {B_{d}  w \atop F}

le carré correspondant.

Posons σ = ∐_{d∈D} s_{d} : A_{1} = ∐_{d} A_{d} ⟶ B_{1} = ∐_{d} B_{d}. Soit E_{1} = E ⨿_{A_{1}} B_{1} , i_{1} : E ⟶ A_{1} et p_{1} : E_{1} ⟶ F les flèches qui s’en déduisent. En tant qu’image directe de σ, i_{1} appartient à X(Σ), et on a f = p_{1}i_{1} .

On peut appliquer ce procédé à p_{1} : E_{1} ⟶ F en lieu et place de f, et, par itération, on construit une suite de morphismes appartenant à X(Σ) :

E ⟶^{i_{1}} E_{1} ⟶^{i_{2}} E_{1} ⟶^{i_{3}} E_{2} ⟶ …,

et des flèches p_{n} : E_{n} ⟶ F, avec f = p_{n}i_{n}. Soit E_{∞} la limite de ce système inductif, i : E ⟶ E_{∞} et p : E_{∞} ⟶ F les flèches qui s’en déduisent.

Alors f = pi, et i appartient à X(Σ)^{+∞} par construction; reste à vérifier que p est dans R_{D}(Σ).

Donnons-nous un carré commutatif

\begin{matrix}Au s  w a \\ E_{∞} uf \end{matrix} ; {B  w b \atop F}

avec s ∈ Σ, qu’il s’agit de compléter par une flèche B ⟶ E_{∞}.

L’objet A étant fin, a se relève en un morphisme a′ : A ⟶ E_{n} pour un n ∈ . Par construction, on peut trouver un morphisme c : B ⟶ A_{n+1} tel que b = p_{n+1}c et cs = i_{n}a′; et la composée de c avec E_{n} ⟶ E_{∞} convient. ⊓ ⊔

Appliquée à Σ = Σ_{g}, la proposition entraîne directement l’assertion CM5 (a).

Appliquée à Σ = Σ_{c}, elle entraîne que toute flèche de C s’écrit pi, avec p ∈ Fib′ et i ∈ X(Σ_{c})^{+∞} ⊂ R_{G}(Fib′); un tel i appartient en particulier à Cofib′, car on a R_{G}(Fib′) ⊂ R_{G}(Tfib′) = Cofib′.

Pour démontrer CM5 (b), il suffirait donc de montrer que X(Σ_{c})^{+∞} est contenu dans We′; mais ce n’est pas une simple formalité.

Pour surmonter cette difficulté, on fait la remarque suivante. Supposons qu’il existe une classe D ⊂ We′ vérifiant les conditions suivantes : D1 D contient les cornes catégoriques; D2 D est stable par sommes, images directes, et composition dénombrable vers la gauche; et voyons ce qu’il en résulte.

On a Σ_{c} ⊂ D par D1, et donc X(Σ_{c})^{+∞} ⊂ D par D2. En particulier, X(Σ_{c})^{+∞} ⊂ We′ d’où CM5 (b).

Par ailleurs soit A →^{i} B ∈ Tcofib′. On sait que i s’écrit qj, avec A_{∞} →^{q} B dans Fib′ et A →^{j} A_{∞} dans X(Σ_{c})^{+∞} ⊂ We′. On a i, j ∈ We′ donc q ∈ We′ en vertu de CM2, et (i, q) a la propriété de relèvement par CM4 (a). En particulier i est un rétracte de j. Or Σ_{c} ⊂ R_{G}(Fib′), donc j appartient à R_{G}(Fib′), ainsi que i qui est un rétracte de j. Ceci démontre CM4 (b).

Ainsi l’existence d’une telle classe D entraîne que (Cat, We′, Fib′, Cofib′) est une catégorie de modèles fermée. Reste à vérifier l’axiome Pr (b). Puisque nous avons invoqué un Deus ex machina pour démontrer CM5 (b) et CM4 (b) d’un seul coup, pourquoi ne pas en invoquer un second qui nous permettrait de conclure?

Supposons qu’il existe une classe D′ ⊂ Fl Cat vérifiant les conditions suivantes :

D1’ D′ contient les gidouilles catégoriques; D2’ D′ est stable par sommes, images directes, et composition dénombrable vers la gauche; D3’ We′ est stable par image directe par un élément de D′; et montrons que Pr (b) en résulte.

Soit f ∈ Cofib′; on l’écrit f = pi, avec p ∈ Tfib′ et i ∈ X(Σ_{g})^{+∞}. Puisque (f, p) a la propriété de relèvement par CM4 (a), f est un rétracte de i. Par ailleurs, on a X(Σ_{g})^{+∞} ⊂ D′ d’après D1’ et D2’, donc i ∈ D′. Soit w ∈ We′ ayant même source que i, et w′ son image directe par i. D’après D3’, on a w′ ∈ We′; et puisque f est un rétracte de i, l’image directe de w par f est un rétracte de w′ et à ce titre, appartient à We′. Ceci démontre Pr (b), et achève la démonstration du théorème.

Reste maintenant à fabriquer la machina d’où vont sortir nos Dei. Cette machine, c’est une nouvelle classe de flèches de Cat, les ‘morphismes de Dwyer’. C’est cette classe qui incarnera le Deus D′, le rôle de D étant dévolu à D′ ∩ We′.

4. Morphismes de Dwyer Soit B une catégorie. Si A est une sous-catégorie de B, on notera Z_{B}(A) le plus

petit cocrible de B contenant A; c’est la sous-catégorie pleine de B dont les objets sont les buts des morphismes de B ayant pour source un objet de A.

4.1. Définition. Soit B une catégorie et A un crible de B. On dira que A est un crible de Dwyer de B s’il existe un crocrible W de B contenant A et tel que l’inclusion A ⊂ W admette un adjoint à droite.

4.2. Remarque. S’il existe un tel cocrible W, c’est nécessairement Z_{B}A.

4.3. Proposition. Soit A un crible de B. C’est un crible de Dwyer si et seulement si pour tout objet b de B, la catégorie A_{|b} est vide ou admet un objet final.

Démonstration.

Soit A un crible de B, W = Z_{B}A, i l’inclusion A ↪ W. Pour b objet de B, on a A_{|b} ≠ ∅ si et seulement si b est un objet de W. Si i admet un adjoint à droite r, r(b) → b est un objet final de A_{|b} pour b objet de W. Inversement, si pour tout b objet de W, A_{|b} admet un objet final, choisissons un tel objet (r(b), u_{b}). Ceci définit un foncteur r : W ⟶ A qui est un adjoint à droite de i. ⊓ ⊔

4.4. Définition. Un morphisme f : A ⟶ B de Cat est un morphisme de Dwyer s’il est injectif, et si son image est un crible de Dwyer de B.

On note Dwy la classe des morphismes de Dwyer.

4.5. Proposition. La classe Dwy est stable par sommes, par rétractes, et par composition dénombrable vers la gauche. Il en va de même de la classe Dwy ∩ We′.

Démonstration. Montrons par exemple la stablilité de Dwy par composition dénombrable vers la gauche. Soit A_{0} ⊂ A_{1} ⊂ ⋯ ⊂ A_{n} ⊂ ⋯ ⊂ A_{∞}, où A_{n} est un crible de Dwyer de A_{n+1} et A_{∞} est la réunion des A_{n}. Alors A_{0} est un crible de A_{∞}. Reste à montrer que si a est un objet de A_{∞}, A_{0}_{|a} admet un objet final. Mais il existe n tel que a soit un objet de l’un des A_{n}. Si n = 0, c’est bon. Sinon, on conclut par récurrence en notant que A_{n−1}_{|a} admet un objet final a′ ⟶ a, et A_{0}_{|a} ⟶^{∼} A_{0}_{|a′}.

Par ailleurs on a N(A_{∞}) = ⋃ N(A_{n}). Si pour tout n, i_{n} : A_{n} ⟶ A_{n+1} appartient à We′, chacun des N(i_{n}) appartient à Tcofib, ainsi que leur composée N(A_{0}) ⟶ N(A_{∞}), donc A_{0} ⟶ A_{∞} appartient à We′.

Le reste est à l’avenant. ⊓ ⊔

4.6. Proposition. Soit X un ensemble simplicial régulier, Y un sous-ensemble simplicial de X, et i : Y ⟶ X l’inclusion. Alors on a γ(i) ∈ Dwy.

4.7. Remarques.

1) En fait, à ce stade, nous avons seulement besoin d’appliquer cet énoncé aux cornes et aux gidouilles simpliciales; nous verrons plus tard que dans cet énoncé, on peut supprimer l’hypothèse de régularité (voir 5.1.).

2) La proposition n’est plus vraie si l’on remplace γ par c. Par exemple, l’image par c de la gidouille ∂[1] ⟶ [1] n’est pas un morphisme de Dwyer. En effet c[1] = [1] = {0, 1} muni de l’ordre usuel, et c(∂[1]) = {0, 1} muni de l’ordre discret; ce n’est donc pas une sous-catégorie pleine de c[1].

Démonstration.

Rappelons que si X est un ensemble simplicial régulier, c Sd X est l’ensemble ordonné Φ(X) des faces de X, et γ(X) = c Sd^{2} X = est l’ensemble ordonné f(Φ(X)) des parties totalement ordonnées finies non vides de Φ(X) (voir 1.8.).

Soit i : Y ↪ X une inclusion d’ensembles simpliciaux réguliers. Alors ΦY est un crible de ΦX, et γ(i) est l’inclusion fΦY ↪ fΦX. On conclut par le lemme suivant, qui est immédiat.

4.8. Lemme. Soit B un ensemble ordonné, et A une partie de B munie de l’ordre induit. Alors :

a) f(A) est un crible de f(B);

b) si A est un crible de B, f(A) est un crible de Dwyer de f(B). ⊓ ⊔ ⊓ ⊔

4.9. Proposition. Considérons dans Cat un carré cocartésien

\begin{matrix}Au i  w f \\ A′ ui′ \end{matrix} ; B  w f′ B′

où i est un morphisme de Dwyer.

Alors :

(i) i′ est un morphisme de Dwyer;

(ii) l’application canonique NB ⨿_{NA} NC ⟶ N(B ⨿_{A} C) appartient à We; (iii) i ∈ We′ ⟹ i′ ∈ We′, et f ∈ We′ ⟹ f′ ∈ We′.

Démonstration. (i) Soit W = Z_{B}A, et W′ = W ⨿_{A}A′. On a donc deux carrés cocartésiens superposés :

\begin{matrix}Au j  w & A′ uj′ \\ Wu  w & W′ u \\ B  w & B′ \end{matrix}

Une image directe d’un crible (resp. un cocrible) est encore un crible (resp. un cocrible). Ainsi i′ est un crible, et W′ ⟶ B′ est un cocrible.

D’autre part j : A ↪ W admet un adjoint à droite r : W → A. On peut choisir r de sorte que rj = 1_{A}, la flèche d’adjonction 1_{A} ⟶ rj étant l’identité.

Posons r′ = r⨿_{A}1_{A′} : W′ ⟶ A′; alors r′j′ = 1′_{A}. La flèche d’adjonction α : jr → 1_{W} induit une flèche α′ : j′r′ → 1_{W′}.

Ceci fait du foncteur r′ un adjoint à droite de j′ : A′ ↪ W′.

Par conséquent i′ est un morphisme de Dwyer. De plus, on a W′ = Z_{B′}A′.

(ii) On procède par étapes.

a) Dans un premier temps, on travaille sur le morphisme de Dwyer i. Puisque j : A ⟶ W admet un adjoint à droite, Nj : NA ⟶ NW est un élément de We. Soit V la sous-catégorie pleine de B définie par Ob V = Ob B − Ob A; V et W sont des cocribles de W dont la réunion est W. Posons V_{0} = V ∩ W. On a alors B = V ⨿_{V_{0}} W. D’après le lemme 1.7, il en résulte NB = NV ⨿_{NV_{0}} NW.

b) Notons de même V′ la sous-catégorie pleine de B′ définie par Ob V′ = Ob B′ − Ob A′, et V′_{0} = V′ ∩ W′. Alors le morphisme f′ induit des isomorphismes de catégories

V ⟶^{∼} V′ et V_{0} ⟶^{∼} V′_{0} .

En effet, soit Q = B/A. Si on note V_{0}^{∗} la catégorie obtenue en adjoignant formellement un objet initial ∗ à V_{0} , on a Q ≃ V ⨿_{V_{0}} V_{0}^{∗}. Ainsi V s’identifie à la sous-catégorie pleine de Q dont les objets sont les q ≠ ∗, et V_{0} à celle dont les objets sont les q ≠ ∗ tels que Hom_{Q}(∗, q) ≠ ∅.

De même, Q′ = B′/A′ ≃ V′ ⨿_{V′_{0}} V′_{0}^{∗}. Or on a B′/A′ = (B ⨿_{A} A′)/(A ⨿_{A} A′) ≃ B/A, donc le morphisme Q → Q′ induit par f′ est un isomorphisme, d’où l’assertion.

c) La flèche NB ⨿_{NA} NA′ ⟶ N(B ⨿_{A} A′) se décompose comme suit :

NB ⨿_{NA} NA′ ⟶^{a} NB ⨿_{NW} NW′ ≃ (NV ⨿_{NV_{0}} NW) ⨿_{NW} NW′ = NV ⨿_{NV_{0}} NW′ ≃

NV′ ⨿_{NV′_{0}} NW′ ≃ NB′.

Il suffit donc de démontrer que la flèche a admet un quasi-inverse.

Or, Nj : NA ⟶ NW admet pour quasi-inverse Nr, et Nj′ : NA′ ⟶ NB′ admet pour quasi-inverse Nr′. Soit b : NB ⨿_{NW} NW′ ⟶ NB ⨿_{NA} NA′ la flèche induite par Nr et Nr′; c’est clairement un inverse à gauche de a. Par ailleurs le morphisme d’adjonction α : jr ⟶ 1_{W} induit une homotopie [1]×NW ⟶ NW de N(j)N(r) à 1_{NW} , et de même, le morphisme d’adjonction α′ : j′r′ ⟶ 1′_{W} induit une homotopie [1] × NW′ ⟶ NW′ de N(j′)N(r′) à 1_{NW′}. En outre, le carré

\begin{matrix}[1] × NW u  w \\ NW u \end{matrix} ; \begin{matrix}[1] × NW′  w \\ NW′ \end{matrix}

est commutatif par construction de j′ et α′. On en déduit une homotopie de ab à l’identité de NB ⨿_{NW} NW′. Ainsi b est le quasi-inverse cherché.

(iii) Notons w la flèche NB ⨿_{NA} NA′ ⟶ N(B ⨿_{A} A′), qui appartient à We, et soient u : NB ⟶ NB ⨿_{NA} NA′, v : NA′ ⟶ NB ⨿_{NA} NA′ les flèches naturelles. On a Nf′ = wu et Ni′ = wv. Supposons Nf ∈ We. Puisque i est injectif, Ni est injectif donc c’est une cofibration. Ainsi u ∈ We en vertu de Pr (b) pour ˆ△, et Nf′ = wu ∈ We donc f′ ∈ We′. Si i ∈ We′, Ni est une cofibration triviale, donc v, image directe de Ni, est une cofibration triviale. Ainsi Ni′ = wv ∈ We, d’où i′ ∈ We′. ⊓ ⊔

Conclusion Soit D = Dwy ∩ We′ et D′ = Dwy.

4.10. Proposition. D vérifie D1, D2, et D′ vérifie D1’, D2’, D3’.

Démonstration. Les propositions 4.5 et 4.9 entraînent que D vérifie D2 et D′, D2’ et D3’.

Les ensembles simpliciaux [n] étant réguliers, les cornes catégoriques et les gidouilles catégoriques sont des morphismes de Dwyer en vertu de 4.6.

Montrons que les cornes catégoriques appartiennent à D. Soit C une corne simpliciale; il s’agit de montrer : γ(C) ∈ We′, c’est-à-dire Nγ(C) ∈ We.

Si X est un ensemble simplicial régulier, Sd X est lui aussi régulier, et on a Nγ(X) = Nc Sd^{2}(X) = Sd^{2}(X) par 1.8. On a donc Nγ(C) = Sd^{2}(C). Or C ∈ We, et puisque | Sd | est isomorphe à |?|, Sd(We) ⊂ We, donc on a bien Nγ(C) ∈ We. ⊓ ⊔

Ceci achève la démonstration du théorème. ⊓ ⊔

5. Quelques compléments

5.1 Proposition. On a γ(Cofib) ⊂ Cofib′ ⊂ Dwy.

Démonstration. Pour tout p ∈ Tfib′, ν(p) ∈ Tfib, donc pour tout i ∈ Cofib, (i, ν(p)) a la propriété de relèvement; cela équivaut à dire que (γ(i), p) a la propriété de relèvement. Ainsi γ(Cofib) ⊂ R_{G}(Tfib′) = Cofib′.

D’autre part on a vu que tout élément de Cofib′ est un rétracte d’un élément de D′ (où D′ vérifie D1’—D3’). On applique ceci à D′ = Dwy, qui est aussi stable par rétractes, et on obtient la seconde inclusion. ⊓ ⊔

5.2. Proposition. Les objets cofibrants de Cat sont des ensembles ordonnés.

Démonstration. On utilisera le lemme suivant.

5.3. Lemme. Considérons dans Cat un carré cocartésien

\begin{matrix}Au i  w f \\ A′ ui′ \end{matrix} ; B  w f′ B′

où i est un morphisme de Dwyer. Si A, A′, B sont des ensembles ordonnés, il en va de même de B′.

Démonstration. Cela se vérifie à la main. Plus précisément, considérons l’ensemble E = A′ ⨿ (B − A). On construit sur E une relation ≤ en posant a ≤ b si et seulement si on est dans l’un des cas suivants :

(i) a, b ∈ A′ et a ≤ b dans A′; (ii) a, b ∈ B − A et a ≤ b dans B; (iii) a ∈ A′, b ∈ B − A, et il existe α ∈ A tel que a ≤ f(α) et α ≤ b dans B.

On vérifie que ≤ est une relation d’ordre sur E, et que (E, ≤) est la somme amalgamée de A′ et de B sur A dans Cat. ⊓ ⊔

Soit C un objet cofibrant de Cat. La cofibration i : ∅ ⟶ C se factorise sous la forme qj, où j : ∅ → A_{∞} appartient à X(Σ_{g})^{+∞}, et q : A_{∞} ⟶ C appartient à Tfib. De plus i est un rétracte de j. En particulier, C est une sous-catégorie de A_{∞}, et il suffit de montrer que cette dernière est un ensemble ordonné. Pour s’assurer de ce fait, on passe en revue la construction de A_{∞} et on constate qu’à chaque étape, les catégories qui apparaissent sont des ensembles ordonnés (∅ est un ensemble ordonné, les gidouilles catégoriques sont des cribles de Dwyer d’ensembles ordonnés; le lemme 5.3. montre donc que les sommes amalgamées que l’on doit former sont encore des ensembles ordonnés, et enfin une réunion filtrante d’ensembles ordonnés reste un ensemble ordonné). ⊓ ⊔

5.4. Corollaire. L’image du foncteur γ est contenue dans Ord.

Démonstration. Pour tout ensemble simplicial X, ∅ ⟶ X est une cofibration; donc son image par γ est une cofibration de Cat. Puisque γ(∅) est la catégorie initiale, γ(X) est cofibrant; c’est donc un ensemble ordonné. ⊓ ⊔

Éléments bibliographiques

[Th] R. W. Thomason, Cat as a Closed Model Category, Cahier de topologie et géométrie différentielle Vol. XXI-3 (1980) 305-324.

[K] Kan, On C. S. S. Complexes, Amer. J. Math. 79 (1959) 449-476.