Soixante-douze égale cinq fois quatorze plus
deux et d'autres aspects mathématiques ou littéraires de ce
nombre.
Soit Ω un domaine borné de R2.
On considère le Laplacien avec conditions de Dirichlet dans Ω,
et on range ses valeurs propres par ordre croissant, avec
multiplicités. Le théorème de Courant (1923) énonce qu'une
fonction propre du Laplacien, associée à la n-ième
valeur propre, a au plus n domaines nodaux. Je parlerai
de résultats anciens et nouveaux concernant l'optimalité de ce
théorème : minoration du nombre des domaines nodaux ;
améliorations, dans certains cas, de la majoration de Courant ;
valeurs propres pour lesquelles la borne de Courant est atteinte.
On montre que sur une 3-variété, l'espace des métriques à géométrie bornée et courbure scalaire supérieure à 1, modulo difféomorphisme, est connexe par arcs. (collaboration avec G. Besson, F. Coda Marquès, S. Maillot)
La systole d'une surface riemannienne compacte
non simplement connexe est la plus petite longueur d'une courbe
fermée non-contractile. On étudie des inégalités géométriques
conformes optimales de type Blatter sur toute bouteille de Klein
riemannienne. Ces inégalités fournissent des bornes inférieures
conformes sur l'aire de la surface et font intervenir les
longueurs des classes d'homotopie des lacets qui sont les
candidats pour réaliser la systole.
Nous montrons qu'une application quasi
isométrique entre deux espaces symétriques de rang 1 est
à distance bornée d'une unique application harmonique.
For a compact n-dimensional
smooth manifold M and
for a positive integer k less than n/2, we
study the geometric functionals S2k(g) and G2k(g)
which are given respectively by the integral on M of the
trace and the square norm of the k-th exterior power of
the Riemann curvature tensor of the metric g. For k=1,
S2(g) is the Hilbert-Einstein functional and G2(g)
is the square L2 norm of the curvature
tensor.
We establish variational formulas for all the above functionals
and we study their critical metrics. In particular, we show that
an Einstein metric is critical for G2 if and
only if it is critical for S4. In dimensions
n=4k, we show that Thorpe metrics are critical for S2k
and G2k.
Throughout this talk, we will illustrate the usefulness of double
forms formalism in making easier these type of computations and
the derivatives more accessible.
On étudie les complexifications topologiquement
minimales du plan affine euclidien R² à
isomorphisme près et à difféomorphismes birationnels près. Un faux
plans réel est une surface algébrique non singulière S
définie sur les réels telle que :
• Le lieu réel S(R) est difféomorphe à
R²;
• Le lieu complexe S(C) a le type
d’homologie rationnelle du plan complexe ;
• S(C) n’est pas isomorphe au plan.
L’étude analogue dans le cas compact, c’est-à-dire la
classification des complexifications du plan projectif réel P²(R)
possédant l’homologie rationnelle du plan projectif complexe est
bien connue : P²(C) est l’unique telle
complexification. Nous prouvons que les faux plans réels existent
en donnant plusieurs exemples et nous abordons la question :
existe-t-il un faux plan réel qui ne soit pas birationnellement
difféomorphe au plan réel ? (Travail en commun avec Adrien
Dubouloz.)
On expliquera comment à toute fonction réelle
on peut associer une surface lorentzienne munie d'un champ de
Killing et satisfaisant certaines conditions de complétude et de
symétrie. On verra que le revêtement universel de tout tore
lorentzien muni d'un champ de Killing se plonge (en général
strictement) dans une telle surface et comment cela permet de
classifier ces tores.
La géométrie métrique, c'est celle qui s'occupe
d'espaces métriques. Qui ressemble à qui ? Qui peut être envoyé
dans qui ? En déformant à quel point la distance ? La géométrie
conforme (celle du théorème de représentation conforme), a eu ses
premiers résultats métriques (distorsion métrique de la
représentation conforme) au début du XXème siècle. La nouveauté,
c'est qu'on peut même faire de la géométrie conforme à grande
échelle, et donc, de la géométrie conforme des groupes.