Nicolas Bongiorno — Étude des points rationnels des champs toriques
Les travaux récents de Darda et Yasuda ont introduit une théorie des hauteurs pour les champs de Deligne–Mumford, fournissant le cadre adéquat pour formuler un principe de Batyrev–Manin sur la distribution des points rationnels de hauteur bornée sur les champs, prolongeant ainsi une conjecture classique sur les variétés. Ce point de vue a apporté un éclairage nouveau sur des problèmes issus de la théorie des nombres, en particulier la conjecture de Malle sur le dénombrement des extensions de corps de nombres à groupe de Galois prescrit G, qui peut être interprétée comme l’étude des points rationnels sur le champ classifiant BG.
Dans cet exposé, je présenterai mes travaux récents sur la distribution des points rationnels sur les champs toriques. Je commencerai par introduire les champs toriques via leur description comme quotient de leur torseur universel. J’introduirai ensuite l’ensemble des secteurs d’un champ et j’expliquerai comment cet ensemble permet de mesurer l’obstruction pour un point rationnel à s’étendre en un point entier. On verra alors comment l’introduction d’un groupe de Picard orbifold, prenant en compte à la fois le groupe de Picard usuel et les secteurs non triviaux, dits tordus, du champ, fournit le bon cadre pour définir des hauteurs sur les champs. Je terminerai en expliquant comment la construction d’un torseur universel étendu donne une paramétrisation explicite des points rationnels sur les champs toriques, intégrant à la fois les coordonnées toriques usuelles et les contributions provenant des secteurs tordus. Si le temps le permet, j’expliquerai un ingrédient clé de la preuve de la paramétrisation entière, à savoir le relèvement de l’accouplement age, entre secteurs et fibrés en droite, au torseur universel.
Niels Borne — Un groupe fondamental quasi-unipotent
Via la correspondance de Riemann-Hilbert, on peut interpréter la complétion pro-algébrique du groupe fondamental topologique d'une variété complexe comme le groupe de Tannaka de la catégorie des fibrés vectoriels munis d'une connexion intégrable. Ce groupe fondamental algébrique a alors un sens sur tout corps. Cependant, il est connu qu'il ne se comporte pas bien par changement de base, ce qui a conduit Deligne à définir le groupe fondamental de de Rham comme son plus grand quotient unipotent. Deligne, par son formalisme, ou même explicitement, suggère qu'il est possible de définir des variantes du groupe fondamental de de Rham. Je décrirai une version quasi-unipotente définie en termes du bord de la variété, et j'étudierai ses premières propriétés. J'essaierai aussi de donner une interprétation champêtre des fibrés vectoriels à connexion utilisés dans la définition.
Damien Calaque — Algèbres d'extensions de sous-variétés et théorème de formalité
Dans cet exposé je vais présenter un travail en cours avec Alex Vitanov, dans lequel nous utilisons des méthodes de géométrie formelle et un théorème de formalité pour essayer de décrire l'algèbre des Ext du faisceau associé à un plongement fermé de sous-variétés algébriques lisses.
Lucien Hennecart — Le théorème de décomposition BPS
Dans cet exposé, je vais expliquer un travail en collaboration avec Tasuki Kinjo (Kyoto) dont l'objectif est d'établir une version quantitative du théorème de décomposition (au sens de Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber) pour le morphisme d'un champ algébrique symétrique vers son bon espace de modules.
Ce résultat permet de reconstruire la cohomologie des champs lisses à partir de la cohomologie d'intersection du champ des points gradués selon une formule précise. Il admet des applications à l'étude de l'homologie de Borel-Moore des champs possédant des structures $0$ ou $(-1)$-symplectiques. J'expliquerai notamment un résultat de pureté des structures de Hodge entrant en jeu, et un résultat de surjectivité de Kirwan pour les morphismes de restriction au lieu semistable.