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Philippe Castillon

Thèmes de recherche

Mes recherches portent sur la géométrie riemannienne et l'analyse globale, généralement sur des variétés non compactes. Plus précisément mon travail aborde les thèmes suivant : transport optimal sur les variétés riemanniennes,  théorie spectrale d'opérateurs géométriques, inégalités isopérimétriques et fonctionnelles, géométrie asymptotique en courbure négative.

Géométrie et transport optimal de mesures

Dans un travail en cours, je m'intéresse au problème de prescription de la courbure de Gauss des corps convexes. Dans le cadre euclidien, l'utilisation du transport optimal à permis une nouvelle approche de ce problème initialement étudié par Alexandrov. Pour les convexes de l'espace hyperbolique ou de la sphère, cette question de la prescription de la courbure de Gauss est aussi naturelle. Avec J. Bertrand, nous utilisons cette approche par transport de mesures pour l'aborder.

Les inégalités isopérimétriques (et leurs pendants analytiques : les inégalités de Sobolev) sont utilisées fréquemment en analyse globale. Ces inégalités sont intéressantes pour elles même, un des problèmes très étudié étant la détermination des constantes optimales. Dans l'espace euclidien, l'utilisation du transport optimal a apporté de nouvelles méthodes pour aborder ces problèmes, je cherche à adapter ces méthodes à un cadre non-euclidien, en particulier au cas des sous-variétés.

Théorie spectrale d'opérateurs géométriques

Dans les espace de courbure constante, les boules géodésiques sont les domaines extrémaux pour de nombreuses quantités géométriques, notamment pour certaines valeurs propres d'opérateurs géométriques. Bien qu'il soit raisonnable d'attendre de telles caractérisations dans les espaces où les sphères géodésiques ont beaucoup de symétries (comme dans les espaces symétriques de rang un), il y a peu de résultat connus. Avec B. Ruffini, nous traitons le cas le la première valeur propre de Steklov pour les domaines de volume fixé.

Les hypersurfaces minimales et de courbure moyenne constante sont points critiques de la "fonctionnelle volume". Je m'intéresse aux opérateurs de stabilité associés à ces problèmes variationnels qui sont des opérateurs de Schrödinger dont le potentiel dépend des courbures de la sous-variété et de la variété ambiante. Un problème naturel  dans ce cadre est d'obtenir des informations topologiques et/ou géométriques lorsqu'un tel opérateur est positif.

Variétés harmoniques et asymptotiquement harmoniques

Mon travail sur les hypersurfaces de courbure moyenne constante m'a conduit à m'intéresser aux variétés harmoniques (qui sont les variétés riemanniennes dont les sphères sont de courbure moyenne constante) sur lesquelles de nombreux problèmes naturels se posent, notamment celui de l'isopérimétrie.

Les variétés asymptotiquement harmoniques sont les variétés riemanniennes dont les horosphères sont de courbure moyenne constante. La valeur de cette courbure moyenne est un invariant asymptotique qu'on peut alors relier à d'autres invariants asymptotiques classiques, notamment en courbure négative (entropie volumique, spectre essentiel, mesures harmoniques et visuelles).


Publications


Articles

  1. J. Bertrand, P. Castillon. Prescribing the Gauss curvature of convex bodies in hyperbolic space, arXiv:1903.06502.

  2. P. Castillon, B. Ruffini. A spectral characterization of geodesic balls in non-compact rank one symmetric spaces, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (à paraître), arXiv:1611.06081.

  3. P. Bérard, P. Castillon. Inverse spectral positivity for surfaces, Rev. Mat. Iberoam., 30 (2014), 1237-1264.

  4. P. Castillon, A. Sambusetti. On asymptotically harmonic manifolds of negative curvature, Math. Z., 277 (2014), 1049-1072.

  5. P. Bérard, P. Castillon. Spectral positivity and Riemannian covering, Bull. London Math. Soc, 45 (2013), 1041-1048.

  6. P. Bérard, P. Castillon, M. Cvalcante. Eigenvalue estimates for hypersurfaces in Hn×R and applications, Pacific J. Math., 253 (2011), 19-35.

  7. P. Castillon. Submanifolds, isoperimetry and optimal transportation, J. Funct. Anal., 259 (2010), 79-103.

  8. P. Castillon. An inverse spectral problem on surfaces, Comment. Math. Helv., 81 (2006), 271--286.

  9. P. Castillon. Problèmes de petites valeurs propres sur les surfaces de courbure moyenne constante, Proc. Amer. Math. Soc., 130 (2001), 1153-1163.

  10. P. Castillon. Spectral properties of constant mean curvature submanifolds in hyperbolic space, Ann. Global Anal. Geom., 17 (1999), 563-580.

  11. P. Castillon. Sur les surfaces de révolution à courbure moyenne constante dans l'espace hyperbolique, Ann. Fac. Sci. Toulouse, 7 (1998), 379-400.

  12. P. Castillon. Sur l'opérateur de stabilité des sous-variétés à courbure moyenne constante dans l'espace hyperbolique, Manuscripta Math., 95 (1997), 385-400.

Notes, actes de séminaires

  1. P. Bérard, P. Castillon, Remarks on J. Espinar's "Finite index operators on surfaces", arXiv:1204.1604.

  2. P. Castillon. Un problème spectral inverse sur les surfaces, Sémin. Théor. Spectr. Géom., 20 (2001-02), 139-142.

  3. P. Castillon. Spectral properties and conformal type of surfaces, An. Acad. Bras. Ciênc. 74 (2002), 585-588.

  4. P. Castillon. Métriques à entropie topologique positive sur S2, Sémin. Théor. Spectr. Géom., 10 (1991-92), 97-107.

Thèse, mémoire

  1. Analyse globale et sous-variétés, mémoire de synthèse, habilitation à diriger les recherches, 2010.

  2. Sur les sous-variétés à courbure moyenne constante dans l'espace hyperbolique, PhD, 1997.


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-- Dernière modification, septembre 2019 --