Modélisation, analyse et simulation de problèmes de contact en mécanique des solides et des fluides.

Mots clés: problèmes d'évolution, comportement asymptotique, contact unilatéral, frottement de Coulomb, compliance normale, élasticité, estimations d'erreur a priori et a posteriori, résidu, opérateur de quasi-interpolation, méthode des éléments finis étendus, adaptation de maillages, stabilisation par multiplicateurs de Lagrange, domaine fictif, dynamique des globules rouges, équations de Navier-Stokes.

Résumé:  La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La  deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.

Keywords:  evolution problems, asymptotic behavior,  unilateral contact, Coulomb friction, normal compliance, elasticity, a priori and a posteriori error estimates, residuals, quasi-interpolation operator, eXtended Finite Element Method, mesh adaptivity, Lagrange multiplier stabilization, fictitious domain, dynamic of red blood cells, Navier-Stokes equations.

Abstract: The modelling of contact problems leads to significant difficulties either conceptual, mathematical or computational. Motivated by the prominent position held by contact phenomena, we are interested in the modelling, the analysis and the numerical experiments of contact problems in solid and fluid mechanics. In a first theoretical part, we study the asymptotic behavior of solutions of time-dependent variational problems arising in frictional contact mechanics. The second part is devoted to the control of computations quality in structural mechanics. In order to find a convenient formulation and to carry out a study of contact problems with the eXtended Finite Element Method (XFEM), we first obtain a residual a posteriori error estimator for the XFEM method in the linear case, another one for the unilateral contact problem with Coulomb friction approximated  with a standard finite element method, and  a third one for the latter problem approximated by a stabilized Lagrange multiplier method (i.e., which do not require any inf-sup condition). This parts ends with a definition of unilateral contact with the XFEM followed by an a priori error analysis. The third part is concerned with numerical simulations in fluid mechanics, more precisely the contact treatment in the red blood cells dynamics in a twodimensional setting.