Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Tissus en surfaces dans l'espace et polylogarithmes.

Le critère de Zagier montre que les relations fonctionnelles satisfaites par les polylogarithmes peuvent être interprétées (quand elles ont plus d'une variable), grâce à un changement de fonction, comme des relations abéliennes de tissus. Gangl a utilisé ce critère pour mettre au point une technique de recherche de telles relations, cette technique pouvant être interprétée comme une recherche de fonctions particulières sur une variété complexe X munie de deux diviseurs P et Q. Après avoir présenté cette technique, je développerai les liens existant entre le 15-tissu naturel défini sur l'espace X(6) (de dimension 3) des configurations de 6 points sur la droite projective et le 22-tissu correspondant à la relation de Goncharov satisfaite par le trilogarithme. Ces liens amènent naturellement à la définition d'un 165-tissu sur cet espace de dimension 3, lequel tissu met en évidence deux résultats : primo, la relation de Goncharov à 22 termes et 3 variables sur le trilogarithme peut s'exprimer comme combinaison linéaire de 60 relations de Spence-Kummer, chacune à 9 termes et uniquement 2 variables ; secundo, il existe une relation à 3 variables (et à 195 termes, les 15 fonctions définissant le "tissu naturel" évoqué plus haut étant utilisées 3 fois) satisfaite par le pentalogarithme.