Séance Séminaire

Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Le groupe fondamental intrinsèque d'une catégorie linéaire.

Une catégorie sur un anneau $k$-est une petite catégorie dont les morphismes sont des $k$-modules et la composition est $k$-bilinéaire. Par exemple chaque $k$-algèbre fournit une $k$-catégorie avec un seul objet. Le groupe fondamental doit tenir compte de la structure $k$-linéaire, ce n'est pas le groupe fondamental de Quillen et Segal. Par ailleurs le groupe fondamental considéré par de la Peña et Martinez Villa dépend très fortement de la présentation par générateurs et relations. Avec Andrea Solotar et Maria Julia Redondo nous montrons que les revêtements galoisiens fournissent le cadre adéquat pour un groupe fondamental intrinsèque. Les automorphismes du foncteur fibre forment un groupe, isomorphe à la limite inverse des groupes de Galois. Si le revêtement universel $U$ existe, le groupe fondamental intrinsèque est celui des automorphismes de $U$. De retour aux algèbres, le groupe fondamental que nous introduisons s'interprète comme la limite inverse des groupes qui graduent "effectivement" une $k$-algèbre donnée. C'est un nouvel invariant de sa classe d'isomorphisme. Ces techniques permettent de décrire de façon naturelle le morphisme canonique qui va du groupe des caractères abéliens sur un groupe de Galois vers le premier groupe de cohomologie de Hochschild-Mitchell.