Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Optimisation de formes dans la classe des corps de largeur constante et des rotors

Un corps de largeur constante est un compact convexe de $\mathbb{R}^N$, $N\geq 2$, qui possède la même largeur dans toutes les directions de l'espace. Dans $\mathbb{R}^2$, un corps de largeur constante tourne à l'intérieur d'un carré en restant à chaque instant en contact avec les 4 côtés du carré. On définit plus généralement dans $\mathbb{R}^2$ un {\it{rotor}} qui est un corps convexe qui tourne à l'intérieur d'un polygone régulier à $n\geq 3$ côtés, en restant à chaque instant en contact avec les $n$ côtés du polygone. Dans les années 1900, Blaschke et Lebesgue ont démontré géométriquement que dans la classe des corps de largeur constante, celui d'aire minimale est le triangle de Reuleaux. Dans cet exposé, on s'intéresse à une généralisation de ce résultat au cas des rotors. Dans les années 1965, Goldberg a conjecturé que le rotor d'aire minimale est un {\it{rotor régulier}} construit de façon analogue au triangle de Reuleaux. Nous reformulons d'abord analytiquement ce problème d'optimisation de formes comme un problème de contrôle optimal. Puis, à l'aide du principe du maximum de Pontryagin et du théorème de Noether, nous démontrons la conjecture de Goldberg. Nous aborderons également le problème de minimisation du volume dans la classe des corps de largeur constante en dimension 3.