Séance Séminaire

Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier

Codes différentiels construits sur des surfaces algébriques

Nous commencerons par une présentation de la théorie des codes correcteurs. Nous nous focaliserons ensuite sur les codes dits ``géométriques'' dont la construction fait appel à une vari\'et\'e $X$ sur un corps fini $\mathbf{F}_q$. La majorité des travaux effectués dans ce domaine portent sur le cas o\`u $X$ est une courbe. Dans cette situation, deux constructions de codes correcteurs coexistent. La première utilise des fonctions (codes fonctionnels) et la seconde des formes différentielles (codes différentiels). Par ailleurs, l'existence d'une relation d'orthogonalité entre ces deux types de codes est un outil intéressant pour l'étude de ces derniers ainsi que pour la construction d'algorithmes de décodage. Les travaux effectués lorsque $X$ est une variété de dimension supérieure à 2 ne portent que sur des codes de type fonctionnel dont la construction est aisée à généraliser en dimension quelconque. Dans cet exposé, nous proposerons une construction de codes utilisant des 2-formes différentielles sur une surface. Cette approche généralise la réalisation de codes différentiels sur une courbe. Nous étudierons ensuite les relations existant entre ces nouveaux codes et les codes fonctionnels provenant d'une même surface.