Séance Séminaire

Séminaire de Théorie des Nombres de Montpellier

Actions infinitésimales d'opérateurs et équations différentielles.

Nous allons montrer qu'une équation différentielle peut toujours se déformer en un $\sigma$-module, où $\sigma$ est un automorphisme de l'anneau de fonctions de base satisfaisant une condition d'infinitésimalité, qui impose qu'il soit suffisamment proche de l'identité. Sous certaines conditions faibles le foncteur de déformation est une équivalence de catégories entre les équations différentielles $p$-adiques et une sous-catégorie pleine de celle des modules libres de type fini munis d'une action semilinéaire de $\sigma$. L'équivalence de déformation utilise une caractérisation des solutions de Taylor des équations différentielles $p$-adiques en tant que cocycles analytiques. On donne ensuite trois applications. La première concerne l'action du groupe $\Gamma$ apparaissant dans la théorie de Fontaine des $(\varphi,\Gamma)$-modules et les travaux successifs de L.Berger. On montre que l'on peut récupérer l'action d'un sous groupe de Gamma à partir de la simple connaissance de l'équation différentielle. La seconde application concerne la théorie des équations aux différences finies. On généralise les résultats sur les équations aux $q$-différences de André - Di Vizio (Astérisque 296), et Pulita (Compositio Math., à paraitre), à des automorphismes de la forme $f(T)\mapsto f(qT+h)$. La troisième application concerne la fonction Gamma $p$-adique de Morita, et la valeur aux entiers positifs de certaines fonctions $L$ $p$-adiques. On montre que la fonction Gamma est solution d'une équation différentielle et on montre comment en déduire certaines congruences pour des valeurs de fonctions $L$ aux entiers positifs.