Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Compactification des variétés asymptotiquement hyperboliques

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Eric Bahuaud. Les variétés asymptotiquement hyperboliques ont été largement étudiées depuis les travaux de Feffermann et Graham sur les invariants conformes des variétés compactes. L'espace modèle est l'espace hyperbolique obtenu en partant de la boule unité et en envoyant son bord à l'infini à l'aide d'un facteur conforme. Le cadre habituel imite cette construction : Une métrique $g$ sur une variété $M \subset \bar{M}$ (où $\bar{M}$ est une variété compacte à bord) sera dite asymptotiquement hyperbolique si $\bar{g} = \rho^2 g$ (avec $\rho : \bar{M} \to $ une fonction définissante pour $\partial M$) se prolonge de manière lisse en une métrique sur $\bar{M}$. Un calcul standard montre alors que la courbure sectionnelle de $g$ tend vers $-1$ à l'infini avec des corrections d'ordre $e^{-r}$ où $r$ est la distance à un point (quelconque mais fixé) de $M$. Nous proposons d'étudier le problème inverse : étant donnée une variété Riemannienne dont la courbure sectionnelle tend vers $-1$ à l'infini, peut-on construire un bord à l'infini $\partial M$ et étendre la métrique "compactifiée" à $\bar{M}$ ? Nous étudierons la régularité de la métrique ainsi construite. Nous nous intéresserons en particulier au cas des variétés d'Einstein.