Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Minimisation du volume dans la classe des corps de largeur constante en dimension 2 et 3.

Un corps de largeur constante est un compact convexe de R^N, N>=2, qui possède la même largeur dans toutes les directions de l'espace. Dans R^2, un corps de largeur constante tourne à l'intérieur d'un carré en restant à chaque instant en contact avec les 4 côtés du carré. Plus généralement, un rotor est un corps convexe de R^2 qui tourne à l'intérieur d'un polygone régulier à n>=3 côtés, en restant à chaque instant en contact avec les n côtés du polygone. Dans les années 1900, Blaschke et Lebesgue ont démontré géométriquement que dans la classe des corps de largeur constante, celui d'aire minimale est le triangle de Reuleaux. Dans cet exposé, on s'intéresse d'abord à une généralisation de ce résultat au cas des rotors. Dans les années 1965, Goldberg a conjecturé que le rotor d'aire minimale est un rotor régulier construit de façon analogue au triangle de Reuleaux. Ce problème peut être abordé à l'aide de la théorie du contrôle optimal. Nous envisagerons également le problème de minimisation du volume dans la classe des corps de largeur constante en dimension 3. On conjecture depuis 1934 que le minimum dans cette classe est le volume de Meissner. Nous donnons des conditions nécessaires d'optimalité sur un minimum local du volume dans cette classe.