Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Structure de Koszul-Vinberg sur $R^2$

Soit $K$ un corps de caractéristique nulle et $V$ un $K$-espace vectoriel. On désigne par $A(V)$ l'espace des structures d'algèbres définies dans $V$. Pour certaines des sous-variétés de $A(V)$, l'algèbre homologique fournit des outils efficaces pour l'examen de leur géométrie algébrique et de leur topologie transverse. Il en est ainsi de la sous-variété $Ass(V)$ des structures associatives et pour la sous-variété $L(V)$ des structures d'algèbre de Lie. Entre $Ass(V)$ et $L(V)$ se trouve la variété $KV(V)$ des structures de Koszul-Vinberg. L'intérêt pour cette sous-variété tient de ces rapports avec la géométrie des variétés localement plates hyperboliques, de ceux avec la géométrie des variétés riemanniennes localement hessiennes et ceux avec la géométrie de l'information. On note $KV(n)$ l'espace des structures $KV$ algèbres de $R^n$. Il est une sous-variété algébrique singulière de l'espace vectoriel des formes bilinéaires de l'espace vectoriel $R^n$ dans lui-même. A ce jour, on dispose d'outils homologiques pous sa géométrie locale, mais les techniques effectives sont rares surtout lorsque la dimension est élevée. En fait, $KV(n)$ habite $R^{n^3}$. Le cas de la dimension 1 est bien maîtrisé puisque $KV(1)$ est isomorphe à $R$. L'objectif de notre exposé est de décrire la variété $KV(2)$ qui contient toutes les difficultés génériques.