Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Sur les quotients des géométries de Hilbert.

Je ferai d'abord une petite introduction aux géométries de Hilbert, définies sur un convexe propre quelconque de l'espace projectif, et présenterai quelques questions qu'on s'y pose, concernant par exemple les groupes d'isométries ou l'entropie volumique. Ensuite, je parlerai de quotients de ces géométries, en me concentrant très vite sur les quotients compacts, étudiés par Yves Benoist, en particulier. Parmi ces géométries "divisibles", celles définies par des ouverts strictement convexes se rapprochent des géométries hyperboliques pour plusieurs raisons. On discutera de ces similitudes, que ce soit au niveau de la géométrie ou des propriétés du flot géodésique sur la variété quotient. En particulier, je présenterai un résultat de rigidité que j'ai obtenu récemment, qui montre, entre autres, que l'entropie topologique du flot géodésique permet de caractériser la géométrie riemannienne hyperbolique parmi les géométries de Hilbert divisibles.