Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Intégration convexe, plongements isométriques et visualisation.

En 1954, F. Nash énonce un théorème déconcertant : il n'y a pas d'obstruction à l'existence de plongements isométriques en petite codimension ! Complété par N. Kuiper, son résultat implique qu'il existe des plongements isométriques de tores plats dans l'espace euclidien de dimension trois mais aussi, que l'on peut plonger isométriquement la sphère ronde de rayon 1 dans une boule de rayon $\frac{1}{2}$ ou encore, que l'on peut effectuer le retournement de la sphère de façon isométrique... Bien sûr, la courbure de Gauss interdit à tous ces objets d'être de classe $C^2$, mais ils sont tout de même de classe $C^1$ et possèdent en tout point un espace tangent. Plus tard, en revisitant les travaux de nombreux géomètres, M. Gromov invente une technique qui généralise et éclaire de façon extraordinaire la manière dont F. Nash et N. Kuiper ont construit leurs plongements isométriques : c'est la technique de l'intégration convexe. A l'aide de cette méthode, une implémentation est possible et la visualisation des plongements paradoxaux de F. Nash et N. Kuiper devient envisageable. Nous nous intéresserons au cas des tores plats.