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Espaces de Teichmüller quantiques : problèmes et perspectives

L'espace de Teichmüller $\mathcal{T}(S)$ d'une surface épointée $S$ de caractéristique d'Euler négative est une variété rationnelle, munie de cartes naturelles via les coordonnées d'étirement de Thurston sur une triangulation idéale de $S$. L'espace de Teichmüller quantique $\mathcal{T}_q(S)$ est une algèbre amassée de polynômes non commutatifs, qui dépend d'un paramètre complexe $q\in \mathbb{C}^*$, et reproduit à la limite $q\rightarrow 1$ l'algèbre des fonctions sur $\mathcal{T}(S)$ muni de la structure de Poisson de Weil-Petersson. La théorie des représentations de $\mathcal{T}_q(S)$ est très riche, et contient beaucoup d'informations géométriques. On en présentera quelques résultats fondamentaux, et ses relations avec le groupe quantique $U_q sl_2$ aux racines de l'unité ainsi qu'avec le problème de la determination du comportement asymptotique des invariants quantiques des variétés de dimension trois.