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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Quadriques réelles, variétés complexes, et polytopes convexes (collaboration avec F. Bosio)

Le but de l'exposé est de décrire, aussi précisément que possible, la topologie d'une classe de variétés différentiables compactes obtenues comme intersection transverse de quadriques réelles d'un type particulier.
La motivation de ce problème provient de la géométrie complexe : on peut munir toutes ces variétés (lorsqu'elles sont de dimension paire) d'une structure complexe non symplectique (et donc non kählérienne). En décrivant leur topologie, on contribue donc à approfondir le peu de connaissances que l'on possède sur la topologie des variétés compactes complexes non kählériennes.
Enfin, ces variétés différentiables présentent la particularité d'admettre une action lisse d'un tore réel avec pour quotient un polytope convexe. Le moyen de décrire leur topologie sera donc de faire une réduction combinatoire en expliquant comment la combinatoire du polytope code complètement la topologie de la variété.
Après avoir défini précisément la classe de quadriques que j'utilise et exhibé le polytope associé, j'expliquerai comment mettre une structure complexe sur ces variétés.
Dans une première partie, je montrerai comment elles s'obtiennent de produits de sphères par des opérations de chirurgie équivariante (c'est-à-dire respectant l'action du tore). Ces chirurgies correspondent à des transformations combinatoire du polytope associé appelées flips de polytopes.
Dans une deuxième partie, je donnerai une formule portant sur le polytope associé pour calculer l'homologie (à valeurs dans $\mathbb Z$) de ces variétés. J'en déduirai que leurs groupes d'homologie peuvent contenir une torsion arbitraire, et, qu'en ce sens, leur topologie peut être aussi compliquée que celle d'un complexe simplicial fini.
Enfin, j'en tirerai toutes les conséquences au niveau complexe.