Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Autour du théorème de plongement de Zimmer

L'expos\'e est une variation autour d'une question classique : \'etant donn\'ee une structure g\'eom\'etrique sur une vari\'et\'e $M$, quels sont les groupes de Lie qui peuvent agir sur $M$ en pr\'eservant la structure. Au cours des ann\'ees 80, R. Zimmer a introduit de nouveaux outils pour aborder ce probl\`eme , et a prouv\'e un th\'eor\`eme ``de plongement", dont voici une formulation dans le cadre des m\'etriques pseudo-riemanniennes. Si $H$ est un groupe de Lie simple non compact, qui agit isom\'etriquement sur une vari\'et\'e pseudo-riemanniene compacte de signature $(p,q)$, alors on a un plongement d'alg\`ebres de Lie $h \to o(p,q)$. Pour une classe de structures g\'eom\'etriques appel\'ees g\'eom\'etries de Cartan, nous montrerons comment obtenir des r\'esultats de plongement dans l'esprit de ceux de Zimmer, sans hypoth\`ese de simplicit\'e sur le groupe $H$, et en l'absence de mesure naturelle pr\'eserv\'ee par l'action.