Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Calcul de l’énergie du ground state de l’équation de Gross-Pitaevskii dans la limite de Thomas-Fermi

En dimensions $d=1,2 {\rm \ ou\ } 3$, et pour des valeurs de $\epsilon>0$ suffisamment proches de 0 (limite dite de Thomas-Fermi), l'\'equation de Gross-Pitaevskii avec potentiel quadratique $$i u_t + \epsilon^2 \Delta u + (1 - |x|^2) u - |u|^2 u = 0,\quad (t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d$$ admet une unique solution stationnaire strictement positive et radiale not\'ee $\eta_\epsilon$ et appel\'ee ground state car elle minimise l'\'energie de Gross-Pitaevskii $$E_\epsilon(u)=\int_{\mathbb{R}^d}\left(\epsilon^2|\nabla u|^2+(|x|^2-1)|u|^2+\frac{1}{2}|u|^4\right)dx.$$ Le but de l'expos\'e est de montrer comment on peut calculer un d\'eveloppement asymptotique quand $\epsilon$ tend vers 0 de l'\'energie du ground state $E_\epsilon(\eta_\epsilon)$.