Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Sur des problèmes topologiques de la géométrie systolique

Directeur de thèse : Yvan Babenko

Jury :
Ivan BABENKO, PR, Université Montpellier II,Directeur de thèse
Christophe BAVARD,PR, Université Bordeaux 1, Examinateur
Jacques LAFONTAINE, Professeur Emérite, Université Montpellier II, Examinateur
Stéphane SABOURAU, Professeur, Université Paris-Est Créteil, Rapporteur

Peter BUSER, Professeur, École polytechnique fédérale de Lausanne, Rapporteur
Résumé : Soit G un groupe de présentation finie. Un résultat de Gromov affirme l'existence de cycles géométriques réguliers qui représentent une classe d'homologie non nulle h dans le énième groupe d'homologie à coefficients entiers de G, cycles géométriques dont le volume systolique est aussi proche que souhaité du volume systolique de h. Ce théorème, dont aucune démonstration exhaustive n'avait été faite, a servi à obtenir plusieurs résultats importants en géométrie systolique. La première partie de cette thèse est consacrée à une démonstration complète de ce résultat. L'utilisation de ces cycles géométriques réguliers est connue sous le nom de technique de régularisation. Cette technique permet notamment de relier le volume systolique de certaines variétés fermées à d'autres invariants topologiques de ces variétés, tels que les nombres de Betti ou l'entropie minimale. La seconde partie de cette thèse propose d'examiner ces relations, et la mise en oeuvre de la technique de régularisation. La troisième partie est consacrée à trois problèmes liés à la géométrie systolique. Dans un premier temps on s'intéresse à une inégalité concernant les tores pleins plongés dans l'espace tridimensionnel. Puis, on s'intéresse ensuite aux triangulations minimales des surfaces compactes, afin d'obtenir des informations sur le volume systolique de ces surfaces. Enfin, on présente la notion de complexité simpliciale d'un groupe de présentation finie, et ses liens avec la géométrie systolique.