Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Les fondements mathématiques de la relativité générale revisités

L'objet de ce séminaire est de revisiter les fondements mathématiques de la géométrie riemannienne et de la relativité générale à la lumière de la théorie formelle des systèmes d'équations aux dérivées partielles et des pseudogroupes de Lie élaborée par D.C. Spencer en 1970. En particulier nous montrerons que le tenseur de Riemann et le tenseur de Weyl sont seulement des obstructions à la 2-acyclicité dans la cohomologie de Spencer des symboles d'ordre 1 des équations de Killing et des équations de Killing conformes respectivement. Il est alors possible de calculer le nombre de composantes linéairement indépendantes de ces tenseurs sans aucune méthode combinatoire. Ce résultat purement intrinsèque (pas besoin d'indice!) permet de donner une nouvelle interprétation du tenseur de Ricci dans un cadre conforme, en le liant seulement seulement aux élations(nom donné par E. Cartan aux transformations non-linéaires du groupe conforme) et en évitant la contraction d'indices habituelle. Ce résultat permet alors d'exhiber, toujours de façon intrinsèque, le lien avec l'électromagnétisme conjecturé par H. Weyl d'une façon purement calculatoire. En d'autres mots, nous démontrerons le théorème suivant:
Le tenseur de Ricci ne dépend que de la "différence" existant entre le groupe conforme (15 paramètres) et le sous-groupe de Weyl (groupe de Poincaré avec 10 paramètres plus une dilatation, soit 11 paramètres).
Nous insistons sur le fait que ces résultats, qui ne semblent pas connus, sont purement mathématiques et ne proviennent pas d'une quelconque hypothèse physique.