Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Le spectre des longueurs sur une surface plate

Considérons la distance sur la surface de genre 2 obtenu par l'identification des côtés opposés d'un octogone régulier-- cette surface a une géométrie euclidienne sauf à un seul point où l'angle total est $6\pi$. Ça nous donne un exemple d'une structure de semi-translation: une distance plate singulière sur une surface hyperbolisable, avec angles coniques multiples de $\pi$. Ce sont les distances induites par différentielles quadratiques sur les surfaces de Riemann, donc bien étudiées du point de vue de billards rationnels, de la théorie de Teichmüller, et récemment de physique mathématique également. Je décrirai un travail commun avec Leininger et Rafi où on étudie le spectre des longueurs de telles distances, et on trouve un résultat de "rigidité spectrale" qui est optimal (c'est à dire: on sait exactement quels ensembles de courbes simples et fermées sont suffisants pour déterminer une distance plate). Si le temps le permet, j'expliquerai notre construction d'un bord à l'infini pour l'espace des surfaces plates, en analogie avec le bord de Thurston pour l'espace des surfaces hyperboliques.